Matakuliah : METODE NUMERIK I
Tahun
: 2008
Hampiran Numerik Penyelesaian Persamaan
Polinomial
Pertemuan 4
Bentuk umum persamaan polinomial:
f ( x )  Pn ( x ) 
n
k
a
x
 k
k 0
 a0  a1 x  a 2 x  a3 x  ...  a n x
2
3
n
Dengan ak adalah konstanta bilangan riil dan an  0
Persamaan polinomial termasuk pada persamaan non-linier
Dapat diselesaikan baik dengan metoda terbuka
maupun metoda tertutup tetapi kurang effisien untuk n
yang besar
Bina Nusantara
1. Metoda Müller
Muller menggunakan pendekatan proyeksi parabola melalui
tiga titik pada sumbu x sebagai pengganti proyeksi garis melalui
dua titik pada sumbu x seperti pada metoda Secant
Misalkan tiga titik tsb adalah: [ x0,f(x0)]; [ x1,f(x1)]; [ x2,f(x2)]
Misalkan persamaan parabola melalui tiga titik tersebut adalah:
f ( x)  a( x  x2 ) 2  b( x  x2 )  c
Maka:
f ( x 0 )  a ( x 0  x 2 ) 2  b( x 0  x 2 )  c
f ( x1 )  a( x1  x 2 ) 2  b( x1  x 2 )  c
f ( x 2 )  a ( x 2  x 2 ) 2  b( x 2  x 2 )  c  c
Bina Nusantara
……………..(1)
Misalkan:
h0  x1  x 0
h1  x 2  x1
0
f ( x1 )  f ( x 0 )

x x  x0
1
f ( x 2 )  f ( x1 )

x 2  x1
Disubtitusikan ke persamaan (1), diperoleh:
a
1   0
h1  h0
b  ah1   1
c  f ( x2 )
Bina Nusantara
……………….(2)
Akar persamaan polinomial diperoleh dengan iterasi berikut:
x3  x 2 
 2c
…………………..(3)
b  b 2  4ac
Contoh:
f ( x)  x 3  13x  12  0, tentukan akar persamaan
Jawaban:
Misalkan: x0 = 4.5; x1 = 5.5; x2 = 5
f(4.5) = 20.625; f(5.5) = 82.875; f(5) = 48 = c
a = 15
h0 = 1;
h1 = -0.5
b = 62.25
0 = 62.25; 1 = 69.75
Bina Nusantara
Dengan rumus iterasi:
x3  x 2 
Diperoleh:
x3  x 2 
 5
b  b 2  4ac
 2c
b  b 2  4ac
 2( 48)
62.25  (62.25) 2  4(15)( 48)
 3.976487
Bina Nusantara
 2c
Iterasi berikutnya adalah dengan menggunakan:
X0 = 5.5; x1 = 5 dan x2 = 3.976487
Kemudian dihitung kembali, h0; h1; 0 dan 1 untuk memperoleh
nilai a, b dan c
Hasil iterasinya adalah sbb.:
n
xn
n (%)
0
5
-
1
3.976487
25.74
2
4.00105
0.6139
3
4.00000
0.0262
4
4
0.0000119
Bina Nusantara
2. Metoda Bairstow
f ( x )  Pn ( x ) 
n
k
a
x
 k
k 0
 a0  a1 x  a 2 x  a3 x  ...  a n x
2
3
n
dibagi dengan: (x2 – rx – s ) yang menghasilkan:
f n2 ( x)  b2  b3 x  b4 x  ....  bn1 x
2
Dengan sisa pembagian:
R  b1 ( x  r )  b0
Bina Nusantara
n 3
 bn x
n2
Hubungan rekurensi (recurrence relationship) dengan pembagian
Fungsi kuadrat diperoleh:
bn = an
bn-1 = an-1 + r b0
bi = ai + r bi+1 + s bi+2, untuk i = (n-2), (n-3),…, 2,1,0
Untuk membuat pembagian menuju nol, maka b0 dan b1 harus
menuju nol. b0 dan b1 masing-masing fungsi dari r dan s
b0
b0
b0 (r  r , s  s)  b0 
r 
s  0
r
s
b1
b1
b1 (r  r , s  s)  b1 
r 
s  0
r
s
Bina Nusantara
Turunan parsial dapat ditentukan dengan cara pembagian sintetik
seperti menentukan koefisien b yaitu dengan menuliskan:
b0
b0 b1
b1
 c1 ;

 c2 ;
 c3
r
s r
s
Sehingga:
c1 r  c2 s  b0
c 2 r  c3 s  b1
dimana:
c n  bn
c n 1  bn 1  rc n
ci  bi  rc i 1
Bina Nusantara
Untuk i= n – 2 sampai dengan i= 1
Contoh:
Tentukan akar persamaan polinomial orde 5 berikut:
f ( x)  1.25  3.875x  2.125x  2.75x  3.5x  x
2
3
4
5
Gunakan perkiraan awal r0 = s0 = -1 kemudian iterasikan sampai
Galat relatif kurang dari 1 %
Jawaban:
Dari pembagian sintetik menentukan koefisien b diperoleh:
b5 = a5 = 1; b4 = -4.5; b3 = 6.25; b2 = 0.375; b1 = - 10.5 dan
b0 = 11.375
Dari pembagian sintetik menentukan koefisien c diperoleh:
c5 = b5 = 1; c4 = -5.5; c3 = 10.75; c2 = - 4.875; c1 = - 16.375
Bina Nusantara
Maka:
-16.375  r – 4.875  s = -11.375
- 4.875  r + 10.75  s = 10.5
 r = 0.3558 dan  s = 1.1381
Iterasi pertama untuk r dan s adalah:
r1 = r0 +  r = -1 + 0.3558 = - 0.6442
s1 = s0 +  s = -1 + 1.1381 = 0.1381
r( r1 ) = | (0.3558/-0.6442| 100 % = 55.23 %
s( s1) = | (1.1381/ 0.1381| 100 % = 824.1 %
Karena galat relatif masih tinggi, perhitungan dilanjutkan
dengan iterasi ke-2
Bina Nusantara
Dari pembagian sintetik menentukan koefisien b diperoleh:
b5 = a5 = 1; b4 = -4.1442; b3 = 5.5578; b2 = - 2.0276;
b1 = - 1.8013 dan b0 = 2.1304
Dari pembagian sintetik menentukan koefisien c diperoleh:
c5 = b5 = 1; c4 = -4.7884; c3 = 8.7806; c2 = - 8.3454;
c1 = 4.7874
Maka:
4.7874  r – 8.3454  s = -2.1304
– 8.3454  r + 8.7806  s = 1.8013
 r = 0.1331 dan  s = 0.3316
Iterasi ke dua untuk r dan s adalah:
r2 = r1 +  r = - 0.6442 + 0.1331 = - 0.5111
s1 = s0 +  s = 0.1381 + 0.3316 = 0.4697
Bina Nusantara
r( r2 ) = | (0.1331/-0.5111| 100 % = 26.0 %
s( s2) = | (0.3316/ 0.4697| 100 % = 70.6 %
Karena galat relatif masih tinggi, perhitungan dilanjutkan
dengan iterasi ke-3, dan seterusnya
Setelah iterasi ke-4 diperoleh haga r dan s yaitu:
r4 = - 0.5 dengan r( r4 ) = 0.063 %
Jadi r = r4 = -0.5 dan
s4 = 0.5 dengan s( s4) = 0.040 %
s = s4 = 0.5
Persamaan kuadarat: (x2 – rx – s ) = (x2 + 0.5x – 0.5 ) adalah
merupakan faktor dari f(x)
Dua akar pertama dari f(x) diperoleh yaitu:
x1, 2 
 0 .5 
x1  0.5
x 2  1.0
Bina Nusantara
( 0.5) 2  4(0.5)
2
Hasil pembagian f(x) dengan (x2 + 0.5x – 0.5 ) yaitu:
f 3 ( x)  2.5  5.25 x  4 x  x
2
3
Akar-akar dari f3 (x) ini dicari dengan menggunakan r = - 0.5 dan
s = 0.5 sebagai perkiraan awal
Setelah lima iterasi diperoleh: r = 2 dan s = - 1.249 dan
persamaan kuadrat (x2 – rx – s ) = (x2 - 2x + 1.249 ) adalah
faktor dari f3(x)
Akar ke tiga dan ke empat dari f(x) diperoleh yaitu:
2  2 2  4(1.249)
x 3, 4 
 1  0.499i
2
x3  1  0.499i Hasil pembagian f (x) dengan (x2 - 2x + 1.249 )
x 4  1  0.499i
Bina Nusantara
3
yaitu: f1(x) = x – 2. Jadi akar ke lima dari f(x)
yaitu x5 = 2
2. Metoda Birge-Vieta
Birge-Vieta mengembangkan metoda Newton khusus untuk
mencari akar-akar persamaan polinomial
Rumus iterasi metoda Newton:
f ( xn )
xn1  xn  '
f ( xn )
Bina Nusantara
f(x) dan f’(x) dievaluasi dengan aturan Horner secara rekursif
untuk memperoleh koefisien b seperti yang telah digunakan
Bairstow sehingga diperoleh hubungan rekurensi koefisien sbb:
bn = an
bi = ai + xn bi+1
Dengan i = n – 1 sampai 0 dan f(xn) = b0
Bila
f ( x)  a0  a1 x  a 2 x  a3 x  ...  a n x
2
3
n
dibagi dengan (x – xn) diperoleh fungsi g(x) orde (n – 1) dengan
sisa pembagian b0, dan f(x) = (x – xn) g(x) + b0 dimana:
g ( x)  b1  b2 x  b3 x  b4 x  ...  bn x
2
Bina Nusantara
3
n 1
Turunan pertama dari f(x) = (x – xn) g(x) + b0 yaitu:
f’(x) = (x – xn) g’(x) + g(x)
f’(xn) = g(xn) yaitu suatu polinomial orde (n – 1) dan dapat
dievaluasi dengan aturan Horner untuk memperoleh hubungan
rekurensi koefisien c yaitu:
cn = bn
ci = bi + xn ci+1
Dengan i = n – 1 sampai 1 dan g(xn) = c1
Rumus iterasi Bierge-Vieta untuk persamaan polinomial:
Bina Nusantara
 b0 
xn1  xn   
 c1 
Contoh:
Tentukan akar persamaan polinomial f(x) = x3 – x – 1 disekitar
X0 = 1.3
Jawaban:
Dari hubungan rekurensi pembagian sintetik untuk menentukan
koefisien b dan c diperoleh:
i
ai
bi=ai+x0 bi+1
ci=bi+x0 ci+1
3
1
1
1
2
0
1.3
2.6
1
-1
0.69
4.07
0
-1
-0.103
Bina Nusantara
Iterasi pertama memberikan:
  0.103 
x1  1.3  
  1.325
 4.07 
Iterasi ke dua:
i
ai
bi=ai+x1 bi+1
ci=bi+x1 ci+1
3
1
1
1
2
0
1.325
2.265
1
-1
0.755625
4.267
0
-1
0.001203
Bina Nusantara
Iterasi ke dua memberikan:
 0.001203 
x 2  1.325  
  1.3247181
 4.267 
Iterasi ke tiga:
i
ai
bi=ai+x2 bi+1
ci=bi+x2 ci+1
3
1
1
1
2
0
1.324718
2.64434
1
-1
0.154878
4.26434
0
-1
0.000004
Bina Nusantara
Iterasi ke tiga memberikan:
 0.000004 
x3  1.3247181  
  1.3247179
 4.26434 
r( x3 ) = | (-0.0000002/1.3247179)| 100 % = 0.00002 %
Bina Nusantara
Soal Latihan
1. Menggunakan Metode Muller, tentukan akar
dari f(x) = 2x4 – 3x2 + 6
2. Menggunakan Metode Bairstow, tentukan akar
dari f(x) = x4 – 2x3 + 6x2 -2x + 5
3. Menggunakan Metode Bierge-Vieta, tentukan
akar persamaan polinomial
f(x) = x3 – x2 + 2x -3 disekitar X0 = 1.27
Bina Nusantara