Matakuliah : METODE NUMERIK I
Tahun
: 2008
HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI
PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pertemuan 11
METODE PICARD
Perhatikan Persamaan differensial berikut:
dy
 f ( x, y )
dx
y  y0 ..untuk...x  x0
y
x
x
 dy   f ( x, y)dx  y  y   f ( x, y)dx........(*)
0
y0
Bina Nusantara
x0
x0
Selesaikan persamaan (*) dengan substitusi y0 diperoleh
nilai pendekatan y berikutnya
1. Diberikan syarat awal y = y0 untuk x = x0
x
2. Hitung
y1  y0   f ( x, y0 )dx
x0
x
3. Hitung
y2  y0   f ( x, y1 )dx
x0
x
4. Hitung
y3  y0   f ( x, y2 )dx
x0
dan seterusnya.
Bina Nusantara
Contoh : Selesaikan Persamaan :
dy
 y  2 x, dengan y (0)  y0  1
dx
1. y(0) = 1
x
x


2. y1 = 1 + ( 2x +y1)dx =1+ ( 2x + 1 ) dx
0
0
= 1 + x + x2
x
x
3. y2 = 1 +

( 2x +y1)dx =1+
=1+x+
 (2x +1 + x + x )dx
2
0
0
Bina Nusantara
= 1+ [x2+ x]ox
3x2/2
+
x3/3
Bila diselesaikan secara analitik diperoleh
Cont,
Dengan memasukkan syarat awal , y(0) = 1, didapat c = 3.
Sehingga
Bina Nusantara
METODE TAYLOR
Pendekatan Deret Taylor sebagai penyelesaian
persamaan diferensial untuk ∆X atau h tertentu
adalah sebagai berikut:
y ' ' ( x0 )
y( x1 )  y ( x0h )  y( x0 )  hy ' ( x0 )  h
 ....
2!
2
Bina Nusantara
Gunakan Deret Taylor order 2 untuk menyelesaikan PDB
berikut
Contoh :
dy
  y  x  1;.. pada....,0  x  1,..untuk.. y (0)  1
dx
Deret Taylor order 2
2
h
y ( x1 )  y ( x0h )  y ( x0 )  hy ' ( x0 ) 
y ' ' ( x0 )
2!
Bina Nusantara
Hitung:
1. y(x0)=1
2. y’(x0)=-y0+x0+1=-1+0+1=0
3. y’’(x0)= d/dx(dy/dx) = -y’(x0)+1=-0+1 =1
Selanjutnya substitusikan ke persamaan deret
Taylor order 2, andaikan h=0,1
Untuk X1 =0,1, maka
0,12
y (0,1)  1  0,1(0) 
(1)  1,0050
2!
Dapat dilanjutkan untk nilai x berikutnya, hasilnya dapat dilihat pada
tabel berikut
Bina Nusantara
X
Bina Nusantara
Metode Euler
Perhatikan turunan pertama suatu fungsi
y '  f ( x, y )
Substitusikan ke persamaan berikut
y ( x  h)  y ( x )  h. y ' ( x )  O ( h 2 )
atau
y ( x  h)  y ( x )  h. f ( x, y )  O ( h 2 )
abaikan....O ( h 2 )
untuk....x  x0 , , , , , , maka
y1  y0  h. f ( x0 , y0 )
y2  y1  h. f ( x1 , y1 )
dst .
Bina Nusantara
Metode Euler secara umum dapat dinyatakan dengan
yx1  yx  h. f ( xk , yk )
atau
yk 1  yk  h. y 'k
Bina Nusantara
Selesaikan PDB berikut menggunakan metode Euler
Contoh :
dy
  y  x  1;.. pada....,0  x  1,..untuk.... y(0)  1, dan..., h  0,1
dx
Bina Nusantara
Hasilnya adalah sebagai berikut
Bina Nusantara
Soal Latihan
Gunakan Metode Deret Taylor order 2 dan Metode Euler
1.Selesaikan...PDB...berikut
dy
2
 y.x  y;.. pada....,0  x  2,
dx
untuk.... y (0)  1, dan..., h  0,5; dan...h  0,25
2. y’=-y+x, pada 0≤x≤2, y(0)=1, h=0,5 dan h=0,2
Bina Nusantara