Matakuliah : METODE NUMERIK I
Tahun
: 2008
HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI PERSAMAAN
DIFERENSIAL BIASA ORDER 2
Pertemuan 13
Bentuk umum persamaan diffrensial orde dua:
y” = f(x,y,y‘) dengan nilai awal y(x0) =y0
dan y’(x0)=z0
Untuk menyelesaikan PDB orde dua, diubah menjadi PDB
orde satu melali transformasi:
y’ = z
y” = f(x,y,y‘)
y(x0) =y0; y’(x0)=z
Bina Nusantara
z’ = f(x,y,z)
y(x0) =y0;
y” = f(x,y,y‘) dengan nilai awal y(x0) =y0
dan y’(x0)=z0
Diubah menjadi sistim persamaan diffrensial biasa orde satu
dy
z
dx
dz
 f ( x, y , z )
dx
Bina Nusantara
, y ( x0 )  y0
, z ( x0 )  z0
Atau dengan notasi vektor:
y’=f(x,y)
y0
Dimana:
;y(x0) =
z
 y '


y  ,y  f 

z
 f ( x, y , z ) 
 y0 
y ( x0 )   
 z0 
Bina Nusantara
Selanjutnya sistim persamaan diffrensial orde satu ini
diselesaikan secara simultan menggunakan metode
yang tersedia
Contoh:
1. Nyatakan PDB orde dua berikut kedalam sistim PDB
orde satu
y  3 y  2 y  0; y(0)  1 dan y' (0)  0.5
"
'
Jawaban:
y  f ( x, y, y' )  3 y  2 y
"
Misalkan: y’ = z
Bina Nusantara
'
y  z '  f ( x, y , z )  3 z  2 y
"
y (0)  1
z (0)  0.5
Sistim PDB orde satu:
dy
z
dx
dz
 3z  2 y
dx
Bina Nusantara
; y (0)  1
; z (0)  0.5
Dalam bentuk vektor:
y’ = f(x,y); y(0) = y0
Dimana:
 y
y   
z
z


f  

3z  2y 
 1 
y0  

 0.5
Bina Nusantara
2. Nyatakan PDB orde tiga berikut kedalam sistim PDB
orde satu
y" '3 y" y '  x  y ;
2
y(0)  0, y' (0)  0.5 dan y" (0)  1
Jawaban:
y" '  f ( x, y, y' , y" )  3 y" y' x  y
Misalkan:
y’ = z, y” = z’ = t
Maka:
Bina Nusantara
2
y" '  t '  f ( x, y, z , t )  3t  z  x  y2
y (0)  0
z (0)  0.5
t (0)  1
Sistim PDB orde satu menjadi:
Bina Nusantara
dy
 z,
dx
dz
 t,
dx
dt
2
 3t  z  x  y ,
dx
Bina Nusantara
y(0)  0
z(0)  0.5
t(0 )  1
Dalam notasi vektor:
 y


y  z
 t 
0


y (0)  0.5
 1 
Bina Nusantara
z




f 
t

2
 3t  z  x  y 
Soal Latihan
Menggunakan metode Euler dan Runge-Kutta order-4
1. Selesaikan y’’+0,5y’+7y=0, bila y(0)=4 dan y’(0)=0
pada 0≤x≤5 dengan h=0,5
2. y’= -2y + 5e-x dan z’= -½ (y.z2)
pada 0≤x≤1, h=0,2, bila y(0)=2 dan z(0)=4
3. y’’-x+y=0
pada 0≤x≤4, h=0,1, bila y(0)=2 dan y’(0)=0
Bina Nusantara