Matakuliah : METODE NUMERIK I
Tahun
: 2008
HAMPIRAN NUMERIK FUNGSI
(PENGEPASAN KURVA)
PERTEMUAN 6
Hampiran numerik fungsi
(Interpolasi dan Regressi)
Pengepasan Kurva (Curva Fitting)
Tujuan:
• Mencari pola hubungan variabel x dan variabel y
berupa kurva mulus y=f(x) yang paling tepat
• Memperkirakan nilai y* jika ditentukan x* sebagai
pasangan dari y*
Bina Nusantara
Metode Pengepasan Kurva
Bina Nusantara
Bentuk Umum polinomial derajat n adalah
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + a2xn
Interpolasi Linier.
Mencari interpolasi antara dua titik xi dan xi+1 dibuat
sebuah garis lurus di antara kedua titik tersebut seperti pada
gambar berikut
Bina Nusantara
Persamaan garis ditentukan dengan formula
berikut:
( x  xi )
y
( yi 1  yi )  yi
( xi 1  xi )
Contoh:
Persamaan garis yang melalui titik P(1,2) dan Q (4,4) adalah
( x  1)
y
(4  2)  2
(4  1)
atau y
Bina Nusantara
= 2/3x + 4/3
Menentukan polinomial melalui 3 titik
Contoh:
Tentukan persamaan garis melalui
x
1,0
2,0
3,0
f(x)
2,5
10
25
Bentuk 3 polinomial f(x) menggunakan polinomial derajat 2
2,5 = a0 + a1 (1,0) + a2 (1,0)
10 = a0 + a1 (2,0) + a2 (2,0)
25 = a0 + a1 (3,0) + a2 (3,0)
a0, a1 dan a2 tidak diketahui
Bina Nusantara
SPL dengan 3 persamaan
Selesaikan SPL
Dalam bentuk matrik
Menggunakan salah satu metode yang ada
Diperoleh persamaan f(x) = 2,5 - 3,75X + 3,75X2
Bina Nusantara
Bina Nusantara
Interpolasi Lagrange
Dibentuk fungsi
dimana
Bina Nusantara
Menggunakan data sebelumnya diperoleh persamaan polinomial
lagrange
Bina Nusantara
Bina Nusantara
Bina Nusantara
Bina Nusantara
Bina Nusantara
Bentuk Umum: y(x)=f(xi)= a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn
Koefisien a0, a1, a2, …,an dapat dihitung dengan menentukan
J
J
J
 0,
 0,
 0,...dimana
a0
a1
a2
Bina Nusantara
Sehingga SPL berikut dapat diselesaikan
untuk mendapatkan koefisien a0, a1, a2, dst
na0  ( xi )a1 ( xi2 )a2  ...  ( xim )am   yi
( xi )a0  ( xi2 )a1  ( xi3 )a3  ...  ( xim1 )am   xi yi
.....................
.....................
.....................
( xim )a0  ( xim1 )a1  ( xim2 )a3  ...  ( xi2 m )am  xim yi
Bina Nusantara
Contoh : Nyatakan y sebagai fungsi dari x dari data-data berikut ini
Bina Nusantara
Bina Nusantara
Bina Nusantara
Polynomial Newton
y2 = a0 + a1(x2 – x0) + a2(x2 – x0)(x2 – x1)
y1  y0
y 2  y0 
( x2  x0 )
y2  a0  a1 ( x2  x0 )
x1  x0
a2 

( x2  x0 )( x2  x1 )
( x2  x0 )( x2  x1 )
Koefisien diperoleh dari data
Hitung ak menggunakan tabel Divided
Difference
Bina Nusantara
Tabel Divided Difference
x0
x1
x2
x3
Bina Nusantara
y0
a0
y1
y1  y0
F0 
x1  x0
y2
y2  y1
F1 
x2  x1
y3
y3  y 2
F2 
x3  x2
a1
F1  F0
S0 
x 2  x0
F2  F1
S1 
x3  x1
a2
S1  S 0
T0 
x3a3 x0

Contoh Divided Difference
0
10
20
30
Bina Nusantara
0
a0
a1
10  0
F0 
1
10  0
a2
3 1
S0 
 .1
20  0
40  10
.2  .15
1
F1 
3
T0 

20  10
30  0 600
63
40
 a3
S1 
 .15
30  10
100  40
F2 
6
30  20
10
100
Contoh Divided Difference
• Divided difference table gives a0 = 0, a1 = 1, a2 = .1, and
a3 = 1/600
• Polynomial p(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)(x – x1) +
a3(x – x0)(x – x1)(x – x2) = 0 + 1(x – 0) + 0.1(x – 0)(x –
10) + (1/600)(x – 0)(x – 10)(x – 20) = x + 0.1x(x – 10) +
(1/600)x(x – 10)(x – 20)
• Check p(30) = 30 + .1(30)(20) + (1/600) (30)(20)(10) =
30 + 60 + 10 = 100 (correct)
Bina Nusantara
Constant Step Size
• Divided differences work for equal or unequal step size in x
• If Dx = h is a constant we have simpler results
–
–
–
–
–
Bina Nusantara
Fk = Dyk/h = (yk+1 – yk)/h
Sk = D2yk/h2 = (yk+2 – 2yk-1 + yk)/h2
Tk = D3yk/h3 = (yk+3 – 3yk+2 + 3yk+1 – yk)/h3
Dnyk is called the nth forward difference
Can also define backwards and central differences
Newton Interpolating Polynomial
5
Y Values
4
Polynomial
Data
3
2
1
0
-1
0
1
2
3
X Values
Bina Nusantara
4
5
6
Soal Latihan
Bina Nusantara