Pertemuan-26
Teorema Stokes
[
]
r r
r r
A
d
r
=
∇
x
A
• n ds
∫
∫∫
c
s
Bukti :
r r
[
]• n ds = ∫∫ [∇ x (A i + A j + A k ]• nr ds
∇
x
A
∫∫
x
s
y
z
s
Untuk mudahnya kita hitung A x terlebih dulu:
∫∫ (∇ x A
x
s
∫∫ (∇ x A
s
x
s
∫∫ (∇ x A
s
) n ds = ∫∫
x
i
∂
∂k
Ax
j
∂
∂y
0
k
r
∂
• n ds
∂z
0
⎛ ∂A
∂A ⎞ r
) n ds = ∫∫ ⎜⎜ j x − k x ⎟⎟ • n ds
∂y ⎠
⎝ ∂z
s
⎛
r ∂A
r ∂A ⎞
) n ds = ∫∫ ⎜⎜ ( j • n ) x − (k • n ) x ⎟⎟ ds
∂z
∂y ⎠
s ⎝
Catatan:
r
r = ( x , y , z ) = i x + jy + k z
Teorema Stokes
[vektor posisi]
181
z = f ( x, y )
r
∂x
∂y
∂z
dr
=i
+j
+k ,
∂y
∂y
∂y
∂y
= j+k
⎛ ∂x
⎞
⎜⎜ = 0 ⎟⎟
⎝ ∂y
⎠
∂z
∂y
r
r dr
r
n•
= 0 , [ n adalah selalu ⊥ dengan vektor singgung]
∂y
r
r dr r
r
∂z
n•
= n • j + (n • k ) = 0
∂y
∂y
r
r
∂z
n • j = −(n • k )
∂y
Kembali ke pokok bahasan:
⎛ r
r ∂A
∂A
∫∫ ⎜⎜⎝ (n • j ) ∂z − (k • n ) ∂y
x
x
⎞
⎟⎟ ds
⎠
⎡ r
r
∂A ⎤
∂z ∂A x
= ∫∫ ⎢− (n • k ) ⋅
− (n • k ) x ⎥ ds
∂y ∂z
∂y ⎦
⎣
⎛ ∂A
r
∂A x ∂z ⎞
= ∫∫ − (n • k ) ⎜⎜ x +
⋅ ⎟ ds
∂z ∂y ⎟⎠
⎝ ∂y
Catatan:
z = f ( x, y )
∂F ( x, y, z ) ∂F ∂F ∂z
=
+
⋅
∂y
∂y ∂z ∂y
Ax ( x, y, z ) = F ( x, y, f(x, y))
⎛ ∂A x ⎞
⎛ ∂F ⎞
r
⎟⎟ ds = ∫∫ − (n • k ) ⎜⎜ ⎟⎟ ds
∂y ⎠
⎝ ∂y ⎠
r
dx dy = cos γ ds = (n • k ) ds
→
∫∫ − (n • k ) ⎜⎜⎝
r
Sehingga:
r
∫∫ (∇ × A i ) • n
x
s
ds = − ∫∫
∂F
dx dy
∂y
Dengan Dalil Green:
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫∫
r
r
⎛ ∂Q ∂P ⎞
⎜⎜
⎟⎟ dx dy
−
⎝ ∂x ∂y ⎠
dengan Q( x, y ) = 0 , P ( x, y ) = F ( x, y )
maka:
182
Kalkulus II
∂F
dx dy = ∫ F dx = ∫ Ax dx
c
∂y
r
Jadi ∫∫ (∇ x A x i ) • n ds = ∫ Ax dx
− ∫∫
c
dan analog :
r
∫∫ (∇ x A j ) • n ds = ∫ A dy
r
∫∫ (∇ x A k ) • n ds = ∫ A dz
r r
∫∫ (∇ x A) • n ds = ∫ (A dx + A dy + A dz )
y
y
c
z
c
z
x
c
y
z
= ∫ ( Ax i + Ay j + Az k ) • ( i dx + j dy + k dz)
c
= ∫ (Ax , Ay , Az )• (dx, dy, dz )
c
r r
r r
(
∇
x
A
)
•
n
ds
=
A
∫∫
∫ • dr → terbukti
c
S
Contoh Soal:
1.
Hitung
r
r r
x2 + y2
2
(
∇
x
A
)
•
n
ds
dengan
A
=
3
y
i
−
xz
j
+
yz
k
yang
dibatasi
dan z = 2 !
z
=
∫∫S
2
Jawab:
1.
Dengan cara biasa :
r
∫∫ (∇ × A i ) • n
x
ds
s
ϕ = x2 + y 2 − 2z = 0
r
∇ϕ
n=
∇ϕ
r
A = 3 y i − xz j + yz 2 k
x2 + y2
z=
=
2
Teorema Stokes
1
2
(x
2
+ y2 )
183
∂z
=
∂x
∂z
=
∂y
1
2
(2 x ) = x
1
2
(2 y ) = y
∇ϕ = 2 x i + 2 y j − 2 k = 2(x i + y j − k )
∇ϕ =
(2 x )2 + (2 y )2 + (− 2)2
= 4x2 + 4 y 2 + 4
r ∇ϕ
2(x i + y j − k ) 2(x i + y j − k )
n=
=
=
∇ϕ
4x2 + 4 y2 + 4 2 x2 + y 2 +1
r xi + y j−k
n=
x2 + y 2 +1
cosγ =
1
2
⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞
⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜ ⎟
⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠
2
ds =
dxdy
=
cos γ
1
=
x + y2 +1
2
2
dxdy
1
x2 + y2 +1
ds = x 2 + y 2 + 1 dx dy
i
∂
∇×A =
∂x
Ax
j
∂
∂y
Ay
k
i
∂
∂
=
∂x
∂z
Az
3y
j
∂
∂y
− xz
k
∂
∂z
yz 2
∇ × A = a11 ⋅ K11 + a12 ⋅ K12 + a13 ⋅ K13
∂
∂y
− xz
∇ × A = i ⋅ (− 1)
1+1
∂
∂
1+ 2
∂z + j ⋅ (− 1) ∂x
3y
yz2
( )
( )
∂
∂
1+ 3
∂z + k ⋅ (− 1) ∂x
yz 2
3y
∂
∂y
− xz
⎡ ∂ yz 2 ∂ (− xz )⎤ ⎡ ∂ yz 2 ∂ (3y ) ⎤
⎡ ∂ (− xz ) ∂ (− xz ) ⎤
∇×A = i ⎢
−
−
−
⎥ − j⎢
⎥+k⎢
∂z ⎦ ⎣ ∂x
∂z ⎦
∂y ⎥⎦
⎣ ∂x
⎣ ∂y
∇ × A = i (z 2 + x) − j (0 − 0) + k (− z − 3)
∇ × A = i (z 2 + x) + k (− z − 3) = (z 2 + x, 0 ,− z − 3) r x i + y j − k
n=
=
x2 + y2 +1
(∇ × Ar )• nr = (z
(∇ × Ar )• nr =
2
1
x + y +1
(∇ × Ar )• nr = xz
184
+ x, 0 ,− z − 3)•
2
2
2
[x(z
2
1
x2 + y 2 +1
(x, y,−1)
]
+ x ) + 0 ⋅ y − 1(− z − 3)
+ x2 + z + 3
x2 + y2 +1
Kalkulus II
1
x2 + y2 +1
(x, y,−1)
(
)
(
)
r r
xz 2 + x 2 + z + 3
∇ × A • n ds =
⋅ x 2 + y 2 + 1 dx dy
2
2
x + y +1
r r
∇ × A • n ds = xz 2 + x 2 + z + 3 dx dy
(
)
dengan koordinat kutub
0 ≤ ϕ ≤ 2π
0≤r≤2
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
z=
x2 + y2 r 2
=
2
2
(∇ × Ar )• nr ds = xz
2
+ x2 + z + 3
⋅ x 2 + y 2 + 1 dx dy
x + y +1
2
2
(∇ × Ar )• nr ds = (xz + x + z + 3) dx dy
(∇ × Ar )• nr ds = [(r cosϕ )( r ) + (r cosϕ ) + r + 3]r dr dϕ
r
(∇ × A )• nr ds = [(r cos ϕ )( r )+ r cos ϕ + r + 3] r dr dϕ
r
(∇ × A )• nr ds = [ r cos ϕ + r cos ϕ + r + 3r ] dr dϕ
2
2
1
2
1
4
2π
r
∫ [
2
1
ϕ =0 r =0 4
2
3
∫∫ (∇ × A ) • n ds = ∫∫ (xz
=∫
2
4
6
1
4
r
2 2
2
2
1
2
2
1
2
2
3
)
+ x 2 + z + 3 dx dy
]
r 6 cos ϕ + r 3 cos 2 ϕ + 12 r 3 + 3r dr dϕ
[
2π
2
1
2
]
2
dϕ ⎡ ∫ 14 r 6 cos ϕ + r 3 cos 2 ϕ + 12 r 3 + 3r dr ⎤
⎢⎣ r =0
⎥⎦
ϕ =0
=∫
2π
2
dϕ ⎡ 14 ⋅ 17 r 7 cos ϕ + 14 r 4 cos 2 ϕ + 12 ⋅ 14 r 4 + 32 r 2 ⎤
⎢⎣
0⎥
ϕ =0
⎦
=∫
[ (2 − 0 )cos ϕ + (2 − 0 )cos ϕ + (2 − 0 ) + (2
= ∫ dϕ [ (128) cos ϕ + (16 ) cos ϕ + (16 ) + (4 )]
= ∫ [ cos ϕ + 4 cos ϕ + 2 + 6] dϕ
=∫
2π
ϕ =0
dϕ
1
28
2π
7
1
4
1
28
ϕ =0
2π
7
4
4
2
1
4
2
1
8
4
1
8
4
3
2
2
− 02
3
2
2
128
ϕ = 0 28
=∫
2π
[
32
ϕ =0 7
=
32
7
]
cos ϕ + 4 cos 2 ϕ + 8 dϕ
(sin ϕ ) 02π + 4⎡⎢ 12 cos ϕ sin ϕ 02π + 22−1 ∫0 (cos ϕ )
2π
⎣
2−2
[ ]
2π
⎤
dϕ ⎥ + 8ϕ 0
⎦
(sin 2π − sin 0) + [2 cos ϕ sin ϕ + 2ϕ 02π ]+ [8(2π − 0)]
= 327 (0 − 0 ) + [2(cos 2π sin 2π − cos 0 sin 0) + 2(2π − 0 )] + 8(2π )
=
32
7
= 0 + [2(1 ⋅ 0 − 1 ⋅ 0 ) + 2(2π )] + 16π
Teorema Stokes
185
)]
= 4π + 16π = 20π
r r
∫∫ ∇ × A • n ds = 20π
(
2.
)
Dengan Teorema Stokes
r
Karena normal n arah ke bawah, maka Integral pada lingkaran harus sesuai dengan arah penarik
gabus (dari kanan ke kiri). Jadi arah σ adalah dari 2 π → 0 .
r
A = 3 y i − xz j + yz 2 k = 3 y, − xz, yz 2
r
r = ( x, y , z ) = i x + j y + k z
r
dr = (dx, dy, dz ) = i dx + j dy + k dz
r r
A • dr = 3 y, − xz, yz 2 • (dx, dy, dz )
r r
A • dr = 3 y dx − xz dy + yz 2 dz
(
(
)
)
Untuk Teorema Stokes yang perlu diperhatikan hanya lingkaran permukaannya (lihat gambar, yang
bergaris tebal) sehingga:
x = 2 cos σ
y = 2 sin σ
→ dx = −2 sin σ dσ
→ dy = 2 cos σ dσ
z=2
→ dz = 0
(disebut σ karena untuk membedakan dengan ϕ, yang merupakan sudut putar untuk seluruh bidang)
186
Kalkulus II
r r
2
A • dr = 3(2 sin σ )(− 2 sin σ dσ ) − (2 cos σ )(2 )(2 cos σ dσ ) + (2 sin σ )(2 ) (0 )
r r
A • dr = −12 sin 2 σ dσ − 8 cos 2 σ dσ + 0
r r
A • dr = −4 sin 2 σ dσ − 8 sin 2 σ dσ − 8 cos 2 σ dσ
r r
A • dr = −4 sin 2 σ dσ − 8 sin 2 σ + cos 2 σ dσ
r r
A • dr = −4 sin 2 σ dσ − 8 dσ
r r
A • dr = − 4 sin 2 σ − 8 dσ
(
(
∫π
0
2
)
r r
A • dr = ∫ 0 − 4 sin 2 σ − 8 dσ
2π
r
(
)
r
π
∫ π A • dr = − ∫ (− 4 sin
0
2
2
2
0
r
r
π
∫ π A • dr = ∫ (4 sin
0
)
2
2
0
2
σ − 8 ) dσ
σ + 8 ) dσ
[
r r
⎡ 1 sin 2−1 σ ⋅ cos σ 2π + 2−1 2π sin 2− 2 σ ⋅ dσ ⎤ + 8σ
•
=
A
d
r
4
2 ∫0
∫2π
⎢⎣ 2
⎥⎦
0
r r
2π
2π
0
A
∫ • dr = 4 12 sin σ ⋅ cos σ + 12 σ 0 + 8σ 0
0
[
2π
r
2π
0
]
][ ]
r
∫ π Ar • dr = 4[ (sin 2π ⋅ cos 2π − sin 0 ⋅ cos 0) + (2π − 0)] + 8(2π − 0)
r
∫ π A • dr = 4[ (0 ⋅1 − 0 ⋅1) + (2π )] + 8(2π )
0
1
2
2
0
1
2
1
2
2
r
1
2
r
∫ π A • dr = 4[0 + π ] + 16π = 4π + 16π
0
2
∫π
0
2
2.
r r
A • dr = 20π
Hitung:
∫∫ (∇ × F)• n ds
r
r
!
S
r
Dengan F = y i − x j + yz k ; dan S adalah bidang yang dibatasi z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 1 , z = 1
Jawab:
Dengan Teorema Stokes:
Teorema Stokes
187
r
F = y i − x j + yz k = (y, - x, yz)
r
r = ( x, y , z ) = i x + j y + k z
r
dr = (dx, dy, dz ) = i dx + j dy + k dz
r r
F • dr = (y, - x, yz) • (dx, dy, dz )
r r
F • dr = y dx − x dy + yz dz
x = 1 ⋅ cos σ
→ dx = − sin σ dσ
y = 1 ⋅ sin σ
→ dy = cos σ dσ
z =1
→ dz = 0
r r
F • dr = sin σ ⋅ (− sin σ dσ ) − cos σ ⋅ (cos σ dσ ) + sin σ ⋅ (1)(0)
r r
F • dr = − sin 2 σ dσ − cos 2 σ dσ + 0
r r
F • dr = − sin 2 σ + cos 2 σ dσ = −dσ
(
)
r r
F • dr = ∫ 0 − dσ
∫π
0
2π
2
r r
0
2π
F
∫ • dr = − ∫ − dσ
2π
0
r r
0
2π
F
∫ • dr = ∫ dσ
2π
0
[ ] = 2π − 0
r r
0
F
∫ • dr = σ
2π
∫π
0
2
2π
0
r r
F • dr = 2π
r
∫∫ (∇ × F) • n ds = ∫
r
0
2π
r r
F • dr = 2π
S
3.
Soal sama dengan no. 3 dengan arah normal kedalam (berarti bendanya lubang dalam bidang S).
Jawab:
r
Kalau n ke dalam berarti arah σ adalah dari 0 ke 2π.
188
Kalkulus II
r
F = y i − x j + yz k = (y, - x, yz)
r
r = ( x, y , z ) = i x + j y + k z
r
dr = (dx, dy, dz ) = i dx + j dy + k dz
r r
F • dr = (y, - x, yz) • (dx, dy, dz )
r r
F • dr = y dx − x dy + yz dz
x = 1 ⋅ cos σ
→ dx = − sin σ dσ
y = 1 ⋅ sin σ
→ dy = cos σ dσ
z =1
→ dz = 0
r r
F • dr = sin σ ⋅ (− sin σ dσ ) − cos σ ⋅ (cos σ dσ ) + sin σ ⋅ (1)(0)
r r
F • dr = − sin 2 σ dσ − cos 2 σ dσ + 0
r r
F • dr = − sin 2 σ + cos 2 σ dσ = −dσ
(
∫
2π
0
)
r r
F • dr = ∫ 2π − dσ
0
r r
2π
2π
F
∫ • dr = − ∫ dσ
0
0
∫
2π
∫
2π
0
0
[ ] = −[2π − 0]
r r
F • dr = − σ
2π
0
r r
F • dr = −2π
r
∫∫ (∇ × F) • n ds = ∫
r
2π
0
r r
F • dr = −2π
S
4.
r
F = y z i + 3x z j + z 2 k
r r
Hitung: ∫∫ ∇ × F • n ds
(
)
S
dengan S dibatasi x 2 + y 2 + z 2 = 16 dan z = 2 ,
normal ke arah luar ! (berarti benda padat dalam s)
Teorema Stokes
189
jawab:
r r
F • dr = yz, 3xz, z 2 • (dx, dy, dz )
r r
F • dr = yz dx + 3 xz dy + z 2 dz
(
)
(
) (
) (
) (
)
r r
2
F • dr = 12 sin σ (2 ) − 12 sin σ dσ + 3 12 cos σ (2) 12 cos σ dσ + (2 ) (0 )
r r
Fr • dr = −24 sin 2σ dσ + 72 cos 2 σ dσ + 0
r
F • dr = −24 sin 2σ dσ + 72 cos 2 σ dσ
r r
F • dr = −24 sin 2σ dσ − 24 cos 2 σ dσ + 96 cos 2 σ dσ
r r
F • dr = −24 (sin 2σ + cos 2 σ ) dσ + 96 cos 2 σ dσ
r r
F • dr = −24 (1) dσ + 96 cos 2 σ dσ
r r
F • dr = − 24 + 96 cos 2 σ dσ
(
r
)
∫ π F • dr = ∫ π (− 24 + 96 cos σ ) dσ
r r
π
F
∫ π • dr = −∫ (− 24 + 96 cos σ ) dσ
0
r
0
2
2
2
0
2
2
2
0
r r
2π
2
F
∫2π • dr = ∫0 24 − 96 cos σ dσ
r r
0
2π
2π
2
F
∫ • dr = 24∫ dσ − 96∫ cos σ dσ
(
0
2π
0
∫ π F • dr = 24[σ
0
2
)
0
]− 96⎡⎢⎣ cos σ ⋅ sin σ + ∫ (cos
r r
F • dr = 24[2π − 0] − [48cos σ ⋅ sin σ + 48σ ]
r
r
2π
1
2
0
2π
2−1
0
2π
2−1
2 0
2π
2π
0
0
2− 2
σ )dσ ⎤⎥
⎦
∫π r
r
∫ π F • dr = 48π − [48(cos 2π ⋅ sin 2π − cos 0 ⋅ sin 0) + 48(2π − 0)]
r r
F
∫ π r • dr = 48π − [48(1 ⋅ 0 − 1 ⋅ 0) + 48(2π )]
r
∫ π F • dr = 48π − [0 + 96π ] = 48π − 96π = −48π
0
2
0
2
0
2
0
2
∫∫ (∇ × F)• n ds = ∫ π F • dr = −48π
r
r
0
v
r
2
S
Soal:
1.
Dengan Teorema Stokes hitung
r
∫∫ (∇ × A)• n ds , di mana :
r
S
a.
190
r
A = x 2 i + y 2 j + z 2 k ; S adalah belahan bola z = 1 − x 2 − y 2 dan arah normal yang ke atas.
Kalkulus II
Jawab: 0
b.
r
A = ( y + z ) i + (x 2 + z 2 ) j + y k ; S adalah setengah tabung z = 1 − x 2 antara y = 0 dan y = 1
dan normal ke atas.
Jawab: - 2
c.
r
A = 2 y i + 3x j − z 2 k ; di mana S adalah permukaan setengah atas dari bola x 2 + y 2 + z 2 = 9 .
Jawab: 9π
2.
r
∫∫ (∇ × A)• n ds ;
r
Hitung
r
A = (− z + x) i + (x 2 + yz ) j − 3xy 2 k dan S adalah permukaan kerucut
S
z = 2 − x 2 + y 2 di atas bidang xy.
Jawab: 12 π
3.
r
F = ( z − y ) i + y j + x k ; C adalah perpotongan tabung x 2 + y 2 = x dengan bola x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,
terarah berlawanan arah perputaran jarum jam jika dilihat dari atas.
Hitung
v
r
∫ F • dr
c
Jawab:
Teorema Stokes
!
π
4
191