Pertemuan-22 & 23
Luas Bidang Lengkung
Menghitung luas bidang lengkung
dx dy = cos γ ⋅ ds ⎫
r r
⎬
k ⋅ n = cos γ
⎭
γ
adalah sudut antara bidang (pada ds) dan bidang xy, sehingga
r
∇ϕ
n=
∇ϕ
z = f ( x, y )
z − f ( x, y ) = 0
ϕ ( x, y , z ) = z − f ( x, y )
∂F
∂ϕ
= − (x)
∂x
∂x
∂F( y )
∂ϕ
=−
∂y
∂y
∂ϕ
=1
∂z
r ∇ϕ
n=
=
∇ϕ
−i
∂F
∂F
−j
+k
∂x
∂y
2
⎛ ∂F ⎞ ⎛ ∂F ⎞
⎟⎟ + 1
⎜
⎟ + ⎜⎜
⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
2
γ
adalah sudut antara vektor k dan normal ds
r
cos γ = k • n = k •
−i
∂F
∂F
−j
+k
∂x
∂y
2
⎛ ∂F ⎞ ⎛ ∂F ⎞
⎟⎟ + 1
⎜
⎟ + ⎜⎜
⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
2
1
cos γ =
2
⎛ ∂F ⎞ ⎛ ∂F ⎞
⎟⎟ + 1
⎜
⎟ + ⎜⎜
⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
2
Luas = ∫∫ ds = ∫∫
s
s
dx ⋅ dy
cos γ
F diganti dengan z
F ( x, y ) = z
Luas = ∫∫
D
2
⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞
⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + 1 ⋅ dx dy
⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
2
Contoh:
1.
z = 2 − (x 2 + y 2 )
∫∫
( x 2 + y 2 ) ds (s = surface; permukaan)
s
s adalah permukaan paraboloida yang terletak di atas bidang xy
r r
cos γ = k • n =
1
∫∫
s
2
⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞
⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + 1
⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
2
=
1
4x + 4 y 2 + 1
2
( x 2 + y 2 ) ds = ∫∫ ( x 2 + y 2 ) (4x 2 + 4 y 2 + 1) dx dy
s
Lebih mudah pakai Koordinat Polar:
158
Kalkulus II
0≤r≤ 2
0 ≤ ϕ ≤ 2π
r2 = x2 + y2
∫∫
( x 2 + y 2 ) ds = ∫∫ ( x 2 + y 2 ) (4x 2 + 4 y 2 + 1) dx dy
s
s
=∫
2π
∫
ϕ =0
2
r 2 ⋅ (4 s 2 + 1) ⋅ r ⋅ dr dϕ
r =0
Misal: p 2 = 4 r 2 + 1 → r 2 = ( p 2 − 1) / 4
r = 0 → p = t =1
Jika
r = 2 →p= 9 =3
8 r dr = 2p dp
r dr =
=∫
2π
ϕ=∂
dϕ ∫
1
p dp
4
3
p =1
(
)
⎛ p2 − 1 ⎞
3
1
1 2π
4
2
⎜
⎟
⎜ 4 ⎟ (p ) 4 p dp = 16 ∫ϕ = 0 dϕ∫p =1 p − p dp
⎝
⎠
⎡1 5 1 3 3 ⎤
1 2π
= ∫ dϕ ⎢ p − p ⎥
16 ϕ =0
3 1 ⎦⎥
⎢⎣ 5
1 2π ⎡ 1
1
(
)
(27 - 1)⎤⎥ dϕ
243
1
= ∫
−
−
⎢
0
ϕ
=
16
3
⎣5
⎦
3
1 2π ⎛ 242 26 ⎞
1 259
ϕ
= ∫ ⎜
− ⎟ dϕ = ⋅
0
ϕ
=
16
3 ⎠
16 15 1
⎝ 5
1 259
149
= ⋅
⋅ [2π − 0] =
π
16 15
30
2.
Hitung
∫∫
xyz ds ; dengan G adalah bagian dari kerucut z 2 = x 2 + y 2 di bidang z = 1 dan z = 4
G
Luas Bidang Lengkung
159
!
z = x2 + y2 = r
1
−
∂z 1 2
= x + y 2 2 ⋅ (2 x )
∂x 2
∂z
x
=
2
∂x
(x + y2 )
(
)
∂z 1 2
= x + y2
∂y 2
y
∂z
=
2
∂y
x + y2
(
∫∫
) ⋅ (2 y )
xyz ds = ∫
y
G
1
2
−
∫
2
2
⎞
⎛
⎟
⎜ ⎛ ∂z ⎞ ⎛⎜ ∂z ⎞⎟
x yz ⋅ ⎜ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + 1 ⋅ dx dy ⎟
⎟
⎜ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
⎠
⎝
∫
⎛
⎞
x2
y2
⎟
+
+
⋅
x yz ⋅ ⎜ 2
1
dx
dy
⎜ x + y2 x2 + y2
⎟
⎝
⎠
=∫
y
x
x
Kita pakai Koordinat Polar (karena untuk menentukan batas x dan y adalah susah , lebih mudah
menentukan batas ϕ dan r)
1≤ r ≤ 4
0 ≤ ϕ ≤ 2π
r2 = x2 + y2
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
∫∫
xyz ds = ∫
=∫
2π
ϕ =0
G
= 2∫
2π
= 2∫
2π
ϕ =0
160
4
r =1
r cos ϕ ⋅ r sin ϕ ⋅ r
4
r =1
ϕ =0
3.
∫
cos ϕ ⋅ sin ϕ dϕ ∫
ϕ =0
=
2π
( 2 ) r dr dϕ
r 4 ⋅ 2dr
⎡1 5 4 ⎤
⎢ r ⎥ ⋅ sin ϕ d (sin ϕ )
⎢⎣ 5 1 ⎥⎦
1023
sin ϕ d (sin ϕ )
5
2
1
⋅ (1023) sin 2 ϕ
5
2
2π
=0
0
1
1
Hitung luas bagian permukaan bola yang berjari-jari a yang terletak pada tabung ( x − a) 2 + y 2 = a 2
2
2
!
Kalkulus II
z2 = a2 − x2 − y2
z = a2 − x2 − y2
↑
Persamaan bola
∂z 1
− 2x
−x
= ⋅
=
2
2
2
2
∂x 2 a − x − y
a − x2 − y2
∂z
−y
=
2
∂y
a − x2 − y2
Luas = ∫∫
D
= ∫∫
D
x2 + y2
+ 1 ⋅ dx dy
a2 − x2 − y2
a2
⋅ r dr dϕ = ∫∫
a2 − x2 − y2
D
a
a − r2
2
⋅ r dr dϕ
Penentuan batas :
π
1
Luas = a ∫ 2
ϕ =0
2
∫
π
1
luas = a ∫ 2 dϕ
ϕ =0
2
∫
a cos ϕ
r dr dϕ
a2 − r 2
0
a cos ϕ
0
r
a2 − r 2
dr
π
a cos ϕ 1
− 2r
1
⋅
luas = − a ∫ 2 dϕ ∫
dr
0
0
2
2 a2 − r 2
Luas Bidang Lengkung
161
π
a cos ϕ
1
luas = − a ∫ 2 dϕ a 2 − r 2
0
0
2
π
1
luas = − a ∫ 2
a 2 − (a 2 cos 2 ϕ ) − a dϕ
0
2
)
(
(
)
π
π
1
2
2
2
luas = − a ∫
a sin ϕ − a dϕ = − a ∫ 2 (a sin ϕ − a ) dϕ
0
0
2
π
1
luas = − a 2 ∫ 2 (sin ϕ − 1) dϕ
0
2
1
π /2
luas = − a 2 ⋅ (−cos ϕ 0 + a 2ϕ
2
1
a 2π
⎛π
⎞
luas =
− a 2 = a 2 ⎜ − 1⎟
2
2
⎝2 ⎠
π/2
0
= −a 2( 0 − ( − 1 )) + a 2 ⋅
π
2
⎛π
⎞
luas = 2 a 2 ⎜ − 1⎟ = a 2 (π − 2)
⎝2 ⎠
Soal:
1.
Hitung
∫∫
F ( x, y, z )ds
S
F ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z ; s adalah daerah yang dibatasi oleh
z = x + y + 1 ; 0 ≤ x ≤ 1,
Jawab:
0 ≤ y ≤1
8 3
3
Sama dengan Soal No. 1 , untuk F ( x, y, z ) = x + y ; s daerah yang dibatasi z = 4 − x 2 ;
2.
0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1
Jawab: 2 +
3.
∫∫ ( x
2
π
3
+ y 2 ) ds , di mana s adalah permukaan kerucut z 2 = 3 ( x 2 + y 2 ) yang dibatasi oleh z = 0 dan z =
S
3 !
Tafsirkan gambar fisis !
Jawab: 9 π
4.
162
Cari luas permukaan paraboloida 2z = x 2 + y 2 yang berada di luar kerucut z = x 2 + y 2 !
Kalkulus II
Jawab:
5.
(
)
2
π 5 5 −1
3
Carilah luas permukaan kerucut z 2 = 3 ( x 2 + y 2 ) yang dipotong oleh z = x 2 + y 2
Jawab: 6 π
Luas Bidang Lengkung
163