Pertemuan-24
Integral Lipat Tiga
∫∫∫ F ( x, y, z )dx dy dz
R
dx ⋅ dy ⋅ dz = dv → unsur volume [isi]
Di sini (Integral lipat tiga) di samping perubahan dalam dx dan dy, kita juga meninjau perubahan dz
Contoh:
1.
Hitung
∫∫∫
dz dy dx ; V merupakan volume dengan batas-batas bidang
y ≤ z ≤ x + 2 , 0 ≤ y ≤ 3x ,
v
−2 ≤ x ≤5
Jawab:
V =∫
5
V =∫
5
x = −2
x = −2
V =∫
5
x = −2
∫
3x
∫
y =0
dx ∫
x+2
z= y
3x
y =0
dz dy dx = ∫
( x + 2 − y ) dy = ∫
dx ∫
5
x = −2
3x
y =0
dy ⎡z
⎢⎣
x+2
y
⎤
⎥⎦
1 2⎞
⎛
⎜ xy + 2 y − y ⎟
2 ⎠
⎝
3x
dx
0
( )⎤⎥ dx
9 3
V = x + 3x −
x
2⋅3
5
2
V = 133 + 63 −
2.
x = −2
1
⎡ 2
2
⎢⎣3x + 6 x − 2 9 x
3
5
−2
⎦
= [125 + 8] + 3 [25 − 4] −
3
[125 + 8]
2
399
= 3,5
2
Hitung Integral lipat tiga f ( x, y, z ) = 2 x y z dalam daerah pejal R yang dibatasi oleh tabung
1
parabola z = 2 − x 2 dan bidang-bidang z = 0, y = x dan y = 0 !
2
Jawab:
Integral Lipat Tiga
165
∫∫∫
R
2xyz dv = ∫
x =0
= 2∫
2
= 2∫
2
x =0
x =0
=∫
2
2
x =0
x dx ∫
x
y =0
x dx ∫
x
y =0
x (2 −
∫
1
2− x 2
2
z =0
x
∫
y =0
1
2− x 2
2
z =0
y dy ∫
2xyz dz dy dx
z dz
1
2− x 2 ⎞
⎛
2 ⎟
1
⎜
y ⎜ z2
⎟ dy
⎜2 0
⎟
⎝
⎠
x
1 2 2
x ) dx ∫ y dy
=0
y
2
x
1 4 ⎡ y2 ⎤
⎥ dx
= ∫ x (4 − 2 x + x ) ⎢
0
4
⎢⎣ 2 0 ⎥⎦
1 2
1
= ∫ (4x - 2x 3 + x 5 ) x 2 dx
2 0
4
2
2
1 2
1
= ∫ (4x 3 − 2x 5 + x 7 ) dx =
0
2
4
3.
2
1 ⎛⎜ 4 1 6 1 8 ⎞⎟
x − x + x
2 ⎜⎝
3
32 0 ⎟⎠
=
1⎛
64 256 ⎞ 1 ⎛
64 ⎞
⎜16 − +
⎟ = ⎜16 − + 8 ⎟
2⎝
3
32 ⎠ 2 ⎝
3
⎠
=
1⎡
64 ⎤ 1 ⎡ 72 64 ⎤ 1 ⎡ 8 ⎤ 4
24 - ⎥ = ⎢ - ⎥ = ⎢ ⎥ =
⎢
2⎣
3 ⎦ 2 ⎣ 3 3 ⎦ 2 ⎣3⎦ 3
Hitung
∫∫∫
( x 2 + y 2 ) dv ; yang R-nya dibatasi oleh z = 2 − ( x 2 + y 2 ) dan z = 0 !
R
Jawab:
166
Kalkulus II
x dipegang konstan:
− 2 ≤x≤ 2
− 2 − x2 ≤ y ≤ 2 − x2
0 ≤ z ≤ 2 − (x 2 + y 2 )
∫∫∫
( x 2 + y 2 ) dx dy dz = ∫
=∫
2
2
x =- 2
R
x =- 2
dx ∫
2− x
y = − 2− x
2
=∫
dx ∫
2− x 2
x =- 2
2
2
y = − 2− x 2
dx ∫
2− x 2
y = − 2− x 2
dy ⋅ ( x 2 + y 2 ) z
dy ∫
2 -( x 2 + y 2 )
0
( x 2 + y 2 ) dz
2−( x 2 + y 2 )
0
( x 2 + y 2 )(2 − ( x 2 + y 2 )) dy
Lebih mudah diubah ke Koordinat Polar
r 2 = x2 + y2
0≤r≤ 2
0 ≤ ϕ ≤ 2π
=∫
2π
=∫
2π
=∫
2π
=∫
2π
ϕ =0
ϕ =0
ϕ =0
2
dϕ ∫
r =0
r 2 (2 − r 2 ) r ⋅ dr
⎛1
1
dϕ ⎜ r 4 − r 6
⎜2
6
⎝
⎡⎧ 1
⎢⎨ 2
⎣⎩
( 2)
4
−
1
6
2
0
⎞
⎟
⎟
⎠
( 2 ) ⎫⎬ − ⎧⎨ 12 (0)
6
4
⎭ ⎩
−
1 6 ⎫⎤
(0) ⎬⎥ dϕ
6
⎭⎦
8⎞
⎛
⎜ 2 − ⎟ dϕ
6⎠
⎝
0
2
= ϕ
3
2π
=
0
2
[2π − 0] = 4 π
3
3
Soal :
1.
7
2x
x −1
∫−3 ∫0 ∫y
Integral Lipat Tiga
dz dy dx
167
Jawab : -40
2.
4
2z
∫ ∫ ∫
z −1
1
y+2 z
0
Jawab:
dx dy dz
189
2
3.
Tentukan Isi benda pada yang dibatasi oleh Y = x 2 , y + z = 4, x = 0 dan z = 0 !
4.
128
15
Tentukan isi benda padat yang dibatasi oleh tabung x 2 = y dan z 2 = y dan bidang y = 1
Jawab:
Jawab: 2
5.
1
1
2
x =0
y =0
z= x2 + y2
∫ ∫ ∫
Jawab:
x y z dz dy dx = K
3
8
Tentukan tafsiran fisisnya !
6.
Cari volume di daerah kuadran I yang dibatasi oleh
x y z
+ + = 1 di mana a, b, c positif !
a b c
abc
Jawab:
6
7.
Carilah isi daerah yang dibatasi z = x 2 + y 2 dan z = 2x
Jawab:
π
2
Didalam Integral lipat 3 ada tiga sistem koordinat :
1.
2.
3.
Koordinat Kartesian (sudah dibahas)
Koordinat Tabung
Koordinat Bola
ad 2. Koordinat Tabung
168
Kalkulus II
¡
ad 3. Koordinat Bola
Contoh:
1.
Tentukan volume benda padat di bawah bidang paraboloid z = 4 − x 2 − y 2 di atas bidang z = 0 juga
oleh bidang y = 0 dan tabung x 2 + y 2 = 2 x
Jawab:
Kita pakai koordinat tabung, sebab bentuk bangun ‘bersesuaian’ dengan bentuk tabung.
Integral Lipat Tiga
169
0≤ϕ ≤
π
2
0 ≤ r ≤ 2 cos ϕ
0 ≤ z ≤ 4 - x2 − y2 → 0 ≤ z ≤ 4 − r2
Isi = ∫∫∫ dv = ∫
π /2
0
0
vol
π
2
= ∫ dϕ ∫
0
π
2
0
= ∫ dϕ ∫
2
0
2 cos ϕ
2 cos ϕ
0
4− r 2
r dz ⋅ dr ⋅ dϕ
0
r dr ∫
4− r 2
dz
⎛⎜ z 4− r ⎞⎟r dr
⎝ 0 ⎠
2
(4 − r ) r dr = ∫
2
π
2
0
⎛ 2 1 4 2 cos ϕ ⎞
⎜ 2r − r
⎟ dϕ
⎜
⎟
4
0
⎝
⎠
1
⎡
2
4⎤
⎢2 ⋅ (2 cos ϕ ) − 4 (2 cos ϕ ) ⎥ dϕ
⎣
⎦
π
2
0
π
= ∫ 8 cos 2ϕ dϕ − ∫
2
0
π
4 ⋅ cos 4ϕ dϕ
2
0
= 8∫
π
2
0
=
∫
0
0
π
=∫
2 cos ϕ
0
= ∫ dϕ ∫
∫
2 cos ϕ
2
⎡1
⎤
3 π2
⎡ cos 2ϕ + 1⎤
2
3
d
4
cos
sin
cos
d
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
−
+
⎢
⎥
⎢⎣
⎥⎦
2
4 ∫0
⎢⎣ 4
⎥⎦
0
π
8 π2 cos 2ϕ dzϕ
+ 4ϕ
2 ∫0
2
π
2
0
− cos3ϕ sin ϕ
π
2
0
− 3∫
π
2
0
⎡ cos 2ϕ + 1⎤
⎥⎦ dϕ
⎢⎣
2
π
8
= sin 2ϕ
4
π
2
0
+ 4ϕ
2
0
3 ⎡ sin 2ϕ
= 2π + ⎢
+ϕ
2 ⎢⎣ 2
2.
⎤
3π 5
= π
⎥ = 2π −
4
4
0⎥
⎦
π
2
Tentukan isi dari bagian bola dengan jari-jari a yang terletak di dalam kerucut. Setengah sudut puncak
kerucut adalah α. Poros kerucut melalui pusat bola. Puncak kerucut pada permukaan bola.
I = ∫∫∫ dv = ∫
2π
0
Vol
I =∫
2π
I =∫
2π
I =∫
2π
0
0
0
170
cos 3ϕ sin ϕ
3 π2
−
− ∫ [cos 2ϕ + 1] dϕ
4
2 0
0
2
π
α
2a cos θ
0
0
∫ ∫
r 2 sin θ dr dθ dϕ
α
2a cos θ
0
0
dϕ ∫ sin θ dθ ∫
α
dϕ ∫
0
⎡1
sin θ ⋅ dθ ⎢ r 3
⎣⎢ 3
r 2 dr
2 a cos θ
0
⎤
⎥
⎦⎥
α
⎡1
⎤
dϕ ∫ sin θ dθ ⎢ (8a 3 cos3 θ − 0)⎥
0
⎣3
⎦
Kalkulus II
α
8a 3 2π
dϕ ∫ cos3θ sin θ dθ
∫
0
0
3
α
8a 3 2π
3
I =−
dϕ ∫ (cosθ ) d(cos θ )
∫
0
0
3
I=
I =−
8a 3
3
∫
2π
I =−
8a 3
3
∫
2π
α⎤
⎡1
dϕ ⋅ ⎢ cos 4 θ ⎥
0
⎣4
⎦
1
dϕ ⋅ cos 4 α − cos 4 0
4
0
[
0
[
]
]
2 a 3 2π
cos 4 α − 1 dϕ
∫
0
3
2π
2a 3
I =−
cos 4 α − 1 ∫ dϕ
0
3
I =−
[
]
[
][
[
]
]
2a 3
2π
cos 4 α − 1 ϕ 0
3
2a 3
I =−
cos 4 α − 1 [2π − 0]
3
I =−
2a 3
2a 3
(2π ) − (2π ) cos 4 α
I=
3
3
4
I = a 3π 1 − cos 4 α
3
[
Jika α =
]
π
[berarti tidak ada kerucut di dalam bola], maka
2
Isi bola =
4 3
πa dengan a sebagai jari-jarinya.
3
Soal:
1.
Hitung isi benda padat yang dibatasi oleh paraboloid z = x 2 + y 2 dan bidang z = 4 !
Jawab: 8π
2.
Isi benda padat yang dibatasi oleh bola r 2 + z 2 = 5 dan di bawah paraboloid r 2 = 4 z
Jawab:
2π
(5 5 − 4 )
3
3.
Isi daerah yang dibatasi oleh z = 4 − x 2 − y 2 dan bidang xy !
Jawab: 8π
Integral Lipat Tiga
171
4.
Hitung
∫∫∫
x 2 + y 2 + z 2 dv dimana v adalah daerah yang dibatasi oleh bidang z = 3 dan kerucut
V
2
z = x + y 2 (Berikan tafsiran fisis)
Jawab:
5.
6.
27π
(2 2 − 1)
2
Perlihatkan bahwa isi daerah yang dibatasi oleh kerucut z = x 2 + y 2 dan paraboloida z = x 2 + y 2
adalah
π
!
6
Hitung
∫∫∫
v
2
dv
(x + y + z )
2
2
2
2
3
2
; dimana v adalah daerah yang dibatasi oleh bola-bola x 2 + y 2 + z 2 = a 2
dan x + y + z 2 = b2 di mana a > b > 0 !
(berikan tafsiran fisis).
⎛a⎞
Jawab: 4 π ln ⎜ ⎟
⎝ b⎠
7.
Carilah isi daerah yang dibatasi di atas bola r = 2a cos θ dan di bawah kerucut θ = α di mana
0 < α < π/2
Jawab:
4 3
a (1 − cos 4 α)
3
-oo0oo-
172
Kalkulus II