Pertemuan-25
Teorema Divergensi (Gauss)
∫∫
s
r r
r
A • n ds = ∫∫∫ ∇ • A dv
vol
S = surface (permukaan)
Dalam perhitungan matematis bentuk ‘volume’ lebih cepat daripada bentuk ‘surface’. Tetapi jika dalam
menghadapi bentuk fisis dari benda yang hendak dihitung, kita akan lebih mudah menghitung surface/
permukaan benda daripada isi (‘volume’) dari benda.
Bukti :
r ⎛∂ ∂ ∂⎞
∂A ∂A ∂A
∇ • A = ⎜⎜ , , ⎟⎟ • (Ax , Ay , Az ) = x + y + z
∂x
∂y αz
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
γ 1 = sudut tumpul
γ 2 = sudut lancip
r
dx dy = cos γ 2 ds2 = k • n 2
dx dy = − cos γ 1 ds1 = − k • n1
Diambil dulu untuk yang Az :
∫∫∫
D
f2 ( x, y )
f1 ( x , y )
f 2 ( x , y ) ∂A
∂Az
z
⋅ ∂z ∂x ∂y = ∫∫ ∂x ∂y ∫
⋅ ∂z
f
x
y
(
,
)
1
∂z
∂z
D
[
= ∫∫ dx dy Az (x, y, z)
f2
f1
]
D
Teorema Divergensi
173
= ∫∫ dx dy [Az ( x, y, f 2 ) − Az ( x, y, f1 )]
D
= ∫∫ Az ( x, y, f 2 )dx dy - ∫∫ Az ( x, y, f1 )dx dy
D
D
r
= ∫∫ Az ( x, y, f 2 )(k • n 2 ) - ∫∫ Az ( x, y, f1 )(− k • n1 )
s1
s2
= ∫∫ Az ( x, y, z ) (k • n ) ds + ∫∫ Az ( x, y, z ) (k • n ) ds
s1
s2
= ∫∫ Az (k • n ) ds = ∫∫ Az k • n ds
s
s
∂Az
∫∫∫ ∂z
Jadi
Vol
⋅ dz dx dy = ∫∫ Az k • n ds
s
Demikian halnya untuk yang Ax dan Ay , sehingga jika masing-masing dijumlah :
∂Ax
∫∫∫ ∂z
Vol
⋅ dz dx dy = ∫∫ Ax i • n ds
s
∂Ay
∫∫∫ ∂z
⋅ dz dx dy = ∫∫ Ay j • n ds
s
Vol
∂Az
∫∫∫ ∂z
⋅ dz dx dy = ∫∫ Az k • n ds +
s
Vol
⎛ ∂Ax ∂Ay ∂Az ⎞
⎜⎜
⎟dz dx dy = ∫∫ (Ax i + Ay j + Az k )• n ds
+
+
∫∫∫
s
∂z
∂z
∂z ⎟⎠
Vol ⎝
∫∫∫ (∇ • A) dv = ∫∫ (A • n ) ds
r
r
s
[terbukti]
Vol
Contoh:
r
A = (2 x − z ) i + x 2 y j − xz 2 k
S adalah permukaan kubus :
x=0, y=0,
x=1, y=1,
z=0
z=1
Dikerjakan dengan 2 cara:
−
−
Cara langsung (surface)
Cara Teorema Divergensi (volume)
Jawab:
a.
174
Kalkulus II
x=0
n = −i
ds = dz ⋅ dy
r
A = (2 x − z ) i + x 2 y ⋅ j − xz 2 k = 2 x − z , x 2 y,− xz 2
r
n = − i = (- 1,0,0 )
(
)
(arah normal selalu keluar)
r r
A • n = (2 x − z , x 2 y,− xz 2 )• (- 1,0,0)
r r
A • n = (2 x − z )(− 1) + x 2 y (0) − xz 2 (0 )
r r
A • n = −2 x + z (untuk x = 0)
r r
A• n = z
→
1
1
0
0
∫ ∫
z dydz =
1
1
0
0
∫ ∫
1 2
z
2
z dydz =
Teorema Divergensi
1
=
0
[
]
1 2
1
1 − 02 =
2
2
1
2
175
ds = dz ⋅ dy
r
A = (2 x − z ) i + x 2 y ⋅ j − xz 2 k = 2 x − z , x 2 y,− xz 2
r
n = i = (1,0,0)
r r
A • n = (2 x − z , x 2 y,− xz 2 )• (1,0,0 )
r r
A • n = (2 x − z )(1) + x 2 y (0 ) − xz 2 (0 )
r r
A • n = 2 x − z (untuk x = 1)
r r
A • n = 2(1) − z = 2 − z
(
1
1
0
0
∫ ∫
(2 − z ) dz dy = 2 z −
1 2
z
2
)
1
=
0
1
1
⎛
⎞ ⎛
⎞
= ⎜ 2(1) − (12 )⎟ − ⎜ 2(0) − (0 2 )⎟
2
2
⎝
⎠ ⎝
⎠
1 3
=2− =
2 2
1
1
0
0
∫ ∫
(2 − z ) dz dy =
3
2
y = 0
r
n = − j
r
A = (2 x − z ) i + x 2 y ⋅ j − xz 2 k = 2 x − z , x 2 y,− xz 2
r
n = − j = (0,-1,0)
r r
A • n = 2 x − z , x 2 y,− xz 2 • (0,-1,0)
r r
A • n = (2 x − z )(0 ) + x 2 y (− 1) − xz 2 (0 )
r r
A • n = − x 2 y (untuk y = 0)
r r
A • n = − x 2 (0 ) = 0
(
(
1
1
0
0
∫ ∫
)
)
0 dx dz = 0
y =1
r
n= j
ds = dx dz
r
A = (2 x − z ) i + x 2 y ⋅ j − xz 2 k = 2 x − z , x 2 y,− xz 2
r
n = j = (0,1,0 )
(
176
)
Kalkulus II
r r
A • n = 2 x − z , x 2 y,− xz 2 • (0,1,0 )
r r
A • n = (2 x − z )(0 ) + x 2 y (1) − xz 2 (0 )
r r
A • n = x 2 y (untuk y = 1)
r r
A • n = x 2 (1) = x 2
(
1
1
0
0
∫ ∫
)
1
1
x 2 dx dz = ∫ dz ∫ x 2 dx
[ ][ x ]
0
0
= z0
1
3 1
0
1
3
[(
= [1 − 0] 13 13 − 03
= (1)( ) =
1
3
1
1
0
0
∫ ∫
x 2 dx dz =
)]
1
3
1
3
z =1
r
n = −k
ds = dx dy
r
A = (2 x − z ) i + x 2 y ⋅ j − xz 2 k = 2 x − z , x 2 y,− xz 2
r
n = -k = (0,0,-1)
r r
A • n = 2 x − z , x 2 y,− xz 2 • (0,0,-1)
r r
A • n = (2 x − z )(0 ) + x 2 y (0 ) − xz 2 (− 1)
r r
A • n = xz 2 (untuk z = 0)
r r
2
A • n = x(0 ) = 0
(
(
1
1
0
0
∫ ∫
)
)
0 dx dy = 0
z =1
r
n=k
ds = dx dy
r
A = (2 x − z ) i + x 2 y ⋅ j − xz 2 k = 2 x − z , x 2 y,− xz 2
r
n = k = (0,0,1)
r r
A • n = 2 x − z , x 2 y,− xz 2 • (0,0,1)
r r
A • n = (2 x − z )(0 ) + x 2 y (0 ) − xz 2 (1)
r r
A • n = − xz 2 (untuk z = 1)
r r
2
A • n = − x(1) = - x
(
(
1
1
0
0
∫ ∫
)
1
1
− x dx dy = ∫ dy ∫ − x dx
[ ][
0
0
= y 0 − 12 x 2
1
[ (
1
0
]
= (1 − 0) − 12 12 − 0 2
= (1)(−
Teorema Divergensi
)
1
2
)= −
)]
1
2
177
1
1
0
0
∫ ∫
− x dx dy = − 12
r
∫∫ (A • n ) ds =
r
S
1 1
1 1
1 1
1 1
0 0
0 0
0 0
0 0
∫ ∫ z dydzz dydz + ∫ ∫ (2 − z ) dz dy + ∫ ∫ 0 dx dz + ∫ ∫ x
2
1 1
1 1
0 0
0 0
dx dz + ∫
∫ 0 dx dy + ∫ ∫ − x dx dy = 9 + 2 = 11
6
6
6
⎛∂ ∂ ∂⎞
, , ⎟⎟
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
b. ∇ = ⎜⎜
r
A = (Ax , Ay , Az )
r ⎛∂ ∂ ∂⎞
∇ • A = ⎜⎜ , , ⎟⎟ • (Ax , Ay , Az )
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
r ∂ Ax ∂Ay ∂Az
∇• A =
+
−
∂x
∂y
∂z
r
A = (2 x − z ) i + x 2 y j − xz 2 k = 2 x − z, x 2 y,− xz 2
(
r ∂ (2x − 2) ∂ (x y ) ∂ (xz )
∇• A =
+
−
2
r
1 1 1
∫∫∫ (∇ • A) dv = ∫ ∫ ∫ (2 + x
0 0 0
)
2
∂x
∂y
r
∇ • A = 2 + x2 − 2x z
∂z
2
− 2 xz ) dz dy dx
vol
r
1
1
(
A
) dv = ∫ dx ∫ (2 + x 2 − 2 xz ) dz
∇
•
∫∫∫
0
0
vol
r
1
⎡2z + x 2 z − xz 2 1 ⎤
(
A
)
dv
dx
∇
•
=
∫∫∫
∫0 ⎢⎣
0⎥
⎦
vol
[(
) (
)]
r
1
2
2
∇
•
(
A
) dv = ∫ 2(1) + x 2 (1) − x(1) − 2(0 ) + x 2 (0 ) − x(0 ) dx
∫∫∫
0
vol
r
1
1
1 1
∇
•
(
A
) dv = ∫ (2 + x 2 − x) dx = 2x + x 3 − x 2
∫∫∫
0
3
2 0
vol
r
⎡
∫∫∫ (∇ • A) dv = ⎢⎣2(1) + 3 (1)
1
vol
r
1
1
∫∫∫ (∇ • A) dv = 2 + 3 − 2 =
vol
2.
178
3
−
= 12 + 32 + 0 + 13 + 0 − 12 = 32 + 13
1 2⎤ ⎡
(1) ⎥ − ⎢2(0) + 1 (0)3 − 1 (0)2 ⎤⎥
2
3
2
⎦ ⎣
⎦
12 2 3 11
+ − =
6 6 6 6
Tentukan Flux yang keluar dari medan vektor:
r
A = 4 x i − 2 y 2 j + z 2k
Kalkulus II
yang dibatasi oleh bidang S dengan batas-batas x 2 + y 2 = 4 ,
z = 0 dan z = 3 !
Jawab:
⎛∂ ∂ ∂⎞
∇ = ⎜⎜ , , ⎟⎟
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
r
A = 4 x i − 2 y 2 j + z 2 k = 4 x , −2 y 2 , z 2
(
)
r ⎛∂ ∂ ∂⎞
∇ • A = ⎜⎜ , , ⎟⎟ • 4 x,−2 y 2 , z 2
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
r ∂ (4 x ) ∂ − 2 y 2 ∂ z 2
∇• A =
+
+
= 4 − 4 y + 2z
∂x
∂y
∂z
(
(
)
) ( )
x = r cos ϕ = 2 cos ϕ
y = r sin ϕ = 2 sin ϕ
∫∫∫ (∇ • A) dv = ∫ ∫ ∫
r
2π
2
3
ϕ =0 r =0 z =0
(4 − 8 sin ϕ + 2z) r dz dr dϕ
v
=∫
2π
=∫
2π
=∫
2π
=∫
2π
=∫
2π
=∫
2π
0
0
0
0
0
0
2
3
dϕ ∫ r dr ⎡ ∫ (4 − 8 sin ϕ + 2z) dz ⎤
⎢⎣ z =0
⎥⎦
0
2
3
dϕ ∫ r dr ⎡(4 − 8 sin ϕ ) ⋅ z + z 2 ⎤
⎢⎣
0⎥
0
⎦
[
(
dϕ ∫ r dr (4 − 8 sin ϕ )(3 - 0) + 32 − 0 2
2
0
)]
dϕ ∫ r [12 − 24 sin ϕ + 9] dr
2
0
dϕ ∫ r [21 − 24 sin ϕ ] dr
2
0
dϕ ∫
2
0
Teorema Divergensi
[(21 − 24 sin ϕ )r ] dr
179
=∫
2π
=∫
2π
=∫
2π
=∫
2π
⎡ 21 − 24 sin ϕ 2 2 ⎤
r ⎥ dϕ
⎢
2
⎥
0⎦
⎣⎢
0
⎡ 21 − 24 sin ϕ 2
2 − 02
⎢⎣
2
(
0
⎦
⎡ 21 − 24 sin ϕ ⎤
(4)⎥ dϕ
⎢
2
⎣
⎦
0
0
)⎤⎥ dϕ
[42 − 48 sin ϕ ] dϕ
2π
= 42 ϕ − 48 cos ϕ 0
= 42 (2π − 0) − 48 (cos 2π − cos 0)
= 84π − 48(1 − 1)
= 84π
3.
Dengan menggunakan Teorema Divergensi hitung
2
∫∫
s
r r
r
F • n ds untuk F ( x, y, z ) = z i + x j + y k dan
2
S adalah bidang yang dibatasi 0 ≤ z ≤ 9 − x − y .
Jawab:
r
F ( x, y, z ) = z i + x j + y k = (z, x, y )
⎛∂ ∂ ∂⎞
∇ = ⎜⎜ , , ⎟⎟
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
r 2 = x2 + y2 = 9
r ⎛∂ ∂ ∂⎞
∇ • F = ⎜⎜ , , ⎟⎟ • (z, x, y )
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
r ∂z ∂x ∂y
+
+
∇•F =
∂x ∂y ∂z
=0+0+0=0
r
∫∫∫ ∇ • F dv = ∫∫∫ 0 dv = C
vol
4.
180
V
r
Soal sama dengan No. 3 untuk F = x 2 i + y 2 j + z 2 k
Kalkulus II
S adalah 0 ≤ z ≤ 4 − x 2 − y 2
Jawab:
r 2 = x2 + y2 = 4
∇ ⋅ F = 2x + 2 y + 2z
0 ≤ ϕ ≤ 2π
0≤r≤2
0 ≤ z ≤ 4 − r2
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
r
F = x 2i + y 2 j + z 2 k = x 2 , y 2 , z 2
(
)
⎛∂ ∂ ∂⎞
∇ = ⎜⎜ , , ⎟⎟
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
r 2 = x2 + y2 = 4
r ⎛∂ ∂ ∂⎞
∇ • F = ⎜⎜ , , ⎟⎟ • x 2 , y 2 , z 2
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
r ∂ x2 ∂ y2 ∂ z 2
∇•F =
+
+
= 2x + 2 y + 2z
∂x
∂y
∂z
r
∇ • F = 2(r cos ϕ ) + 2(r sin ϕ ) + 2 z = 2r cos ϕ + 2r sin ϕ + 2 z
(
)
( ) ( ) ( )
2π
4− r 2
∫∫∫ (∇ • F ) dv = ∫ϕ =0 ∫r =0 ∫z=0
2
(2r cos ϕ + 2r sin ϕ + 2 z ) dz dr dϕ
vol
( )]
= ∫ dϕ ∫ r dr [(2 r cos ϕ + 2 r sin ϕ )((4 − r ) − 0) + ((4 − r )
= ∫ dϕ ∫ r dr [(2 r cos ϕ + 2 r sin ϕ )(4 − r ) + (4 − r ) ]
= ∫ dϕ ∫ r [2 r ( cos ϕ + sin ϕ )(4 − r ) + 16 - 8r + r ] dr
=∫
2π
0
[
dϕ ∫ r dr (2 r cos ϕ + 2 r sin ϕ )z + 2 ⋅ 12 z 2
2
0
2π
2
0
0
2π
2
0
0
2π
2
0
0
Teorema Divergensi
4− r 2
0
2 2
2
2 2
2
2
− 02
2
4
181
)]
[( cos ϕ + sin ϕ )(8r − 2r
= ∫ dϕ ⎡( cos ϕ + sin ϕ )( r − r ) +
⎢⎣
=∫
2π
0
dϕ ∫
2
2
2π
8
3
0
=∫
2π
0
[( cos ϕ + sin ϕ ){ (2
8
3
=∫
2π
=∫
2π
=∫
2π
=∫
2π
0
0
0
0
4
0
3
3
5
2
5
) (
]
) + 16r - 8r 3 + r 5 dr
16
2
)} { (
2
r 2 − 84 r 4 + 16 r 6 ⎤
0⎥
⎦
) (
)} (
[( cos ϕ + sin ϕ ){83 (8) − 52 (32)}+ {8(4) − 2(16)}+ 16 (64)]dϕ
[( cos ϕ + sin ϕ ){643 − 645 }+ {32 − 32}+ 323 ]dϕ
[( cos ϕ + sin ϕ ){64(13 − 15 )}+ 323 ]dϕ
[( cos ϕ + sin ϕ ){64(515−3 )}+ 323 ]dϕ
=∫
2π
0
[128
( cos ϕ + sin ϕ ) + 323 ]dϕ
15
32
= 128
15 (sin ϕ − cos ϕ ) + 3 ϕ 0
2π
{(sin 2π − sin 0) − (cos 2π − cos 0)}+ 323 (2π − 0)
= 128
15
{(0 − 0) − (1 − 1)}+ 323 (2π ) =
= 128
15
∫∫∫ (∇ • F ) dv =
64
3
64
3
π
π
vol
Soal:
1.
Dengan Teorema Gauss, hitung
a.
r
F ( x, y , z ) = z i + x j + y k
∫∫
r r
F • n ds untuk :
s
S adalah belahan bola 0 ≤ z ≤ 9 − x 2 − y 2
Jawab: 0
b.
r
F ( x, y, z ) = x i + 2 y j + xyz 2 k
S adalah kotak 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ b , 0 ≤ z ≤ c
Jawab:
c.
3a 2 b2 c 2
4
r
F ( x, y , z ) = x 2 i + y 2 j + z 2 k
S adalah benda padat paraboloida 0 ≤ z ≤ 4 − x 2 − y 2
Jawab:
2.
∫∫
64π
3
r r
A • n ds = K untuk:
s
182
)]
− 03 − 52 25 − 05 + 8 2 2 − 0 2 − 2 2 4 − 0 4 + 16 26 − 06 dϕ
Kalkulus II
r
A = (2 xy + z ) i + y 2 j − ( x + 3 y ) k
daerah dibatasi 2x + 2y + z = 6, x = 0, y = 0, z = 0
Jawab: 27
3.
Hitung
∫∫
r r
r
F • n ds dimana F = ( z 2 − x) i − xy j + 3z k dan S adalah permukaan daerah yang
s
dibatasi oleh
z = 4 − y 2 , x = 0, x = 3 dan bidang xy.
Jawab: 46
4.
∫∫
r
r r
A • n ds di mana A = (2 x + 3 z ) i − ( xz + y ) j + (y 2 + 2 z ) k dan S adalah permukaan bola yang
s
mempunyai titik pusat (3, -1, 2) dan jari-jari 3.
Jawab: 108 π
5.
∫∫
r r
r
F • n ds , F = 2 x i + 3 y j + 4 z k , S adalah bola pejal 9 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 25
s
Jawab: 1176 π
-oo0oo-
Teorema Divergensi
183