1
Pertemuan 8
PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL
Persamaan Differensial Parsial adalah persamaan yang memuat
differensial parsial.
Variabel independen dinyatakan dalam x dan y sedang variabel dependen dalam z atau
u yang dinyatakan sebagai berikut :
u
 p
x
 2u
r ,
x 2
,
u
 q
y
 2u
s ,
xy
 2u
 t
y 2
Order dari persamaan differensial parsial sama dengan order dari turunan tertinggi dari
differensial parsial.
Membentuk persamaan differensial parsial dapat dilakukan dengan :
A. Mengeliminasi konstante dan
B. Mengeliminasi fungsi.
Contoh :
Bentuk persamaan differensial parsial dari :
x2 + y2 + ( z – c )2 = a2
…………………… (1)
Jawab : Ada 2 konstante yaitu a dan c.
Turunkan ke x didapat :
z
 0
2x + 2( z – c )
x
x+(z–c)p = 0
…………………….. (2)
Turunkan ke y didapat :
z
 0
2y + 2( z – c )
y
y+(z–c)q = 0
…………………..…. (3)
Eliminasi c dari (2) dan (3) didapat :
x+(z–c)p = 0
y+(z–c)q = 0
1
2
xq - yp = 0
( yang ditanyakan )
Bentuk persamaan differensial dari : z = f(x2 – y2 )
Jawab :
z
= f!( x2 – y2 ) (2x)
x
z
q =
= f!( x2 – y2 ( -2y)
y
p =
………………….. (1)
………………….. (2)
dari (1) dan (2) didapat :
- 2y p - 2xq = 0 atau
yp + xq = 0
Bentuk persamaan differensial parsial dari :
z = ax2 + by2 + ab
Turunkan ke x dan y kemudian eliminasi a dan b didapat :
z
z
 p  2ax
 q  2by
x
y
p
q
a =
, b =
2x
2y
 p 
z    x2 
 2x 
 q  2  p 
  y   
 2x 
 2y 
 q 
 
 2y 
pq  2px 2 y  2qxy 2  4xyz
Mencari Penyelesaian dari Persamaan Differential Parsial :
A . Dengan mengintegralkan langsung :
2
3
2 z
Selesaikan persamaan differensial :
 cos ( 2x - 3y )
x y
Jawab :
2 z
 z

 cos ( 2x - 3y )
x y
x y
z
  cos ( 2x - 3y ) dx
y

z

1/2
sin ( 2x - 3y )  F(y)
 ( 1/2 sin ( 2x - 3y )
 F(y) )dy
= 1/6 cos ( 2x – 3y ) + H(y) + G(x).
2 z
Selesaikan persamaan differensial :
 xy 2
x y
z
1 2 2

x y  F(y)
y
2
z 
1 2 3
x y  H(y)  G (x)
6
2 z
Selesaikan persamaan differensial :
 x2y
x y
2
Dengan syarat z( x , 0 ) = x
dan z( 1 , y ) = cos y
Jawab :
Integralkan ke y dan x didapat :
z
= ½ x2 y2 + F(x) ,
∫ F(x) dx = G(x).
x
z = 1/6 x3 y2 + G(x) + H(y).
………………… (1)
masukkan syarat :
z( x , 0 ) = H(0) + G(x) = x2
G(x) = x2 – H(0)
Z(1 , y ) =
1/6
…………..…….. (2)
y2 + H(y) + G(1) = cos y
3
4
H(y) = cos y -
1/6
y2 - G(1)
……………… (3)
Eliminasi H(y) dan G(x) dari (1) didapat :
z =
1/6
x3 y2 + x2 – H(0) -
dari (2) untuk x = 1
1/6
y2 - G(1) + cos y
G(1) = 1 – H(0)
z =
1/6
x3 y2 + x2 – H(0) -
z =
1/6
x3 y2 + x2 -
1/6
1/6
y2 - ( 1 – H(0)) + cos y
y2 - 1 + cos y
2 z
 z
y 2
z
Syarat bila y = 0 maka z = ex dan
= e-x
y
Bila z merupakan fungsi dari y saja maka
Selesaikan persamaan differensial :
z = A sin y + B cos y dimana A dan B konstante. Karena z fungsi dari x
dan y maka A dan B fungsi dari x jadi :
z = F(x) sinh y + H(x) cosh y
…………………….. (1)
didapat z = H(x) = ex ……………….. (2)
untuk y = 0
( sinh y = (ey – e-y )/2 ,
cosh y = ( ey + e-y )/2 )
z = F(x) sinh y + ex cosh y
z
 F(x) cosh y  e x sinh y
y
z
untuk y = 0
= F(x) = e-x
y
dengan substitusi didapat :
…………………. (3)
z = e-x sinh y + ex cosh y
Selesaikan persamaan differensial :
Jawab :
2 z
1 z

 y
x y
y x
:
4
5
  z
1 

 z   y
x  y
y 
 z
1 

 z   yx  F(y)
y 
 y
ze
1
 y dy
P Diff. Order satu dengan Penyelesaian
  ( xy  F(y) ) e
1
 y dy
dy  G(x)
ln y
ln y
ze
  ( xy  F(y) ) e
dy  G(x)
z y
1 2
xy  H(y)  G(x)
2
Selesaikan persamaan differensial :
Jawab :
z
y
2 z
 e 2ycos x
x y
= e2y sin x + F(y)
z = ½ e2y sin x + H(y) + G( x )
Selesaikan persamaan differensial :
Jawab :
2 z
y

 2
x y
x
z
 y ln x + 2x + F(y)
y
z = ½ y2 ln x + 2xy + H(y) + G(x)
Selesaikan persamaan differensial : t
Jawab :
2 z
z
 2
 x2
x t
x
  z

 2z  = x2
t
x  t

 z

 2z   1/3 x 3  F( t )
t
 t

2 
F(t)
 z
x3
 z   1/3


t
t 
t
 t
..................... (1)
5
6
Ini merupakan persamaan differential linear orde satu yang bentuknya :
 dy
 dx  P( x ) y  Q( x ) ,

mempunyai penyelesai an
Dari (1) diatas didapat :
ze2ln t = ∫ [ 1/3
1/3
=
1/3
1/6 x
P dx
  Q( x ) e 
P dx

dx  c 

F (t ) 2lnt
x3
+
] e dt + G( x )
t
t
x3 F( t ) 2
(
 t  t ) t dt + G( x )
t2 z =
t2 z =
y e
 ( x t  tF (t ))dt  G( x) t
3
3 2
t
+ G( x )
+ H( t ) + G( x )
Persamaan Differensial Parsial Linear yang Homogen Order n
Dengan koefisien konstan.
Bentuknya :
 nz
 nz
nz
nz
a 0 n  a1 n -1  a 2 n - 2 2  , , , , , , , a n n  Q(x , y)
x
x y
x y
y
Homogen karena semua derivative parsial dari order yang sama .
Bila Q(x , y ) = 0 maka didapat persamaan reduksi atau persamaan
komplemen yaitu
a0
 nz
 nz
 nz
 nz

a

a

,
,
,
,
,
,
,
a
 0
1
2
n
x n
x n -1y
x n - 2y 2
y n
Untuk mencari penyelesaian digunakan operator D yaitu

 Dx ,
x

2
 Dy ,
 Dx D y
y
 x y
dan seterusnya
Cara penyelesaian :
misalkan Dx = m dan Dy = 1
1.
didapat a0mn + a1mn-1 + a2mn-2 + … an = 0 yaitu Persamaan Auxiliary
2.
dengan akar-akar m1 , m2 , …….
6
7
a . Bila akar – akar tidak sama yaitu m1 # m2 # m3 # …..maka :
3.
penyelesaian umum :
z = F( y + m1x) + G( y + m2x ) + ….
b . Bila akar – akar sama yaitu m1 = m2 = m3 = …= m
maka :
penyelesaian umum :
z = F( y + mx) + xG( y + mx ) + ….
Contoh :
Selesaikan persamaan differensial parsial :
3 z
3 z
3 z
4

3
x3
x 2y
x y 2
 0
atau ditulis dalam bentuk ( Dx3 – 4Dx2Dy + 3Dx Dy2 ) z = 0
didapat persamaan auxiliary : m3 – 4m2 + 3m = 0
m( m – 1 ) ( m – 3 ) = 0
m1 = 0 , m2 = 1 , m3 = 3
penyel. umum
z = F( y ) + G( y + x ) + H( y + 3x ).
Selesaikan persamaan diff parsial :
2 z
2 z
4
x 2
x y
 4
2 z
 0
y 2
atau ditulis dalam bentuk ( Dx2 – 4Dx Dy + 4 Dy2 ) z = 0
didapat persamaan auxiliary : m2 – 4m + 4 = 0
m12 = 2
z = F( y + 2x ) + xG( y + 2x )
Selesaikan persamaan diff parsial :
atau ditulis dalam bentuk
2 z
2 z

4
x 2
x y
 5
2 z
 0
y 2
Dx2 + 4Dx Dy - 5 Dy2 = 0
didapat persamaan auxiliary : m2 + 4m - 5 = 0
(m+5)(m–1) = 0
m1 = 1 dan m2 = -5
7
8
z = F( y + x ) + G( y - 5x )
Selesaikan persamaan differensial parsial :
3 z
3z

x 3
x 2 y
 8
3 z
3 z

12
 0
xy 2
y 3
m3 - m2 - 8m + 12 = 0
( m – 2 )2 ( m + 3 ) = 0 ,
penyelesaian umum
m12 = 2 , m3 = -3
z = F( y + 2x ) + xG( y + 2x ) + H( y – 3x )
penyelesaian umum dari : F( Dx , Dy )z = Q( x , y )
… (A)
adalah :
penyelesaian umum dari persamaan reduksi ( bila Q ( x,y ) = 0 ) + salah
satu
penyelesaian khusus dari (A)
Mencari penyelesaian khusus :
1. Bila
Q ( x , y ) = eax+by
penyelesaian khusus adalah
z =
1
eax  by
F ( Dx , Dy )
1
eax  by
F ( a , b)
2. Bila
Q ( x , y ) = cos ( ax + by ) atau sin ( ax + by )
penyelesaian khusus adalah
z =
=
3. Bila
1
sin (ax  by )
F ( Dx , DxDy , Dy 2 )
2
1
sin (ax  by )
F (a , - ab , - b 2 )
2
Q ( x , y ) = xm yn …
penyelesaian khusus adalah
z =
1
x m y n ....
F ( Dx , D y )
pembagian sehingga berbentuk a0 + a1 Dx + a2 Dx Dy + ..
dilakukan
( Binomial )
8
9
4. Bila
Q ( x , y ) = eax+by V( x , y )
z = exa+by
penyelesaian khusus adalah
1
V(x , y )
F ( D x  a, D y  b )
p – mq = Q( x , y )
5. Untuk persamaan dari orde satu yang berbentuk
z = ∫ Q( x , c - mx ) dx dimana c = y + mx
Contoh :
Selesaikan persamaan differensial parsial :
3 z
3 z

3
x3
x 2 y
 4
3 z
 e x  2y …… (1)
3
y
Jawab :
m3 - 3 m2 + 4 = 0
………………..
( m - 2 )2 ( m + 1 ) = 0 ,
( A.E)
m12 = 2 , m3 = -1
penyelesaian umum dari persamaan reduksi .
z = F( y + 2x ) + xG( y + 2x ) + H( y – x ) …. ( C.F )
penyelesaian khusus
z =
=
1
e x  2y
3
D x - 3 D x D y  4D y
3
2
1
1 3 - 3 .1 2.2  4.2 3
e
x  2y

1 x  2y
e
27
penyelesaian umum dari (1) adalah
z = F( y + 2x ) + x G( y + 2x ) + H( y – x ) +
3 z
3 z
 7
x3
x y 2
Selesaikan Persamaan Diff Parsial :
1 x + 2y
e
27
3 z
- 6 3  sin ( x  2y )
y
…… (1)
m3 - 7 m - 6 = 0
Jawab
………………..
( A.E)
(m+1)(m+2)(m–3) = 0
m1 = -1 ,
C.F
m3 = -2 , m3 = 3
z = F( y - x ) + G( y - 2x ) + H( y + 3x )
Penyelesaian Khusus
9
10
z =
1
sin ( x  2y )
2
3
D x - 7 D x D y - 6D y
=
1
sin ( x  2y )
- D x  28 D x  24D y
=
1
sin ( x  2y )
 24D y
3
27D x
9D x - 8D y
=
1
3
(9D x ) 2 - (8D y ) 2
=
1
3
9 - 16
cos ( x  2y )
- 81  256
sin ( x  2y )
 -
1
cos ( x  2y )
75
Penyelesaian khusus dapat juga dilakukan sebagai berikut :
1
sin ( x  2y )
2
(D x  D y ) ( D x - D x D y - 6 D y )
2
1
1
1
sin ( x  2y ) 
sin ( x  2y )
(D x  D y ) ( - 1  2  24 )
(D x  D y ) 25
1
1
sin ( x  2( c  x ) ) dx 
sin ( 3x  2c ) dx

25
25 
 -
1
cos (3x  2c )
75
 -
1
cos ( x  2y )
75
Penyelesaian Umum dari (1)
z = F( y - x ) + G( y - 2x ) + H( y + 3x ) -
1
cos ( x  2y )
75
Terima Kasih
10