Pertemuan
8
Persamaan Differensial
Parsial
11 July 2017
1
PERSAMAAN DIFFERENSIAL
PARSIAL
Persamaan Differensial Parsial adalah persamaan yang memuat
differensial parsial. Variabel independen dinyatakan dalam x dan y
sedang variabel dependen dalam z atau u yang dinyatakan
sebagai berikut :
u
 p
x
 2u
r ,
2
x
11 July 2017
u
,
 q
y
 2u
s ,
xy
 2u
 t
2
y
2
Membentuk persamaan differensial parsial dapat
dilakukan
dengan :
A. Mengeliminasi konstante dan
B. Mengeliminasi fungsi.
C Contoh :
1
Bentuk persamaan differensial parsial dari :
x2 + y2 + ( z – c )2 = a2
(1)
Jawab : Ada 2 konstante yaitu a dan c.
11 July 2017
3
Turunkan ke x didapat :
2x + 2( z – c ) z  0
x
x+(z–c)p = 0
…….. (2)
Turunkan ke y didapat :
z
2y + 2( z – c )
 0
y
y+(z–c)q = 0
………. (3)
11 July 2017
4
Eliminasi c dari (2) dan (3) didapat :
x+(z–c)p = 0
y+(z–c)q = 0
xq - yp = 0
11 July 2017
( yang ditanyakan )
5
2.
Bentuk persamaan differensial dari : z = f(x2 – y2 )
z
Jawab : p =
= f!( x2 – y2 ) (2x) ………….. (1)
x
z
q =
= f!( x2 – y2 ( -2y)
……….. (2)
y
dari (1) dan (2) didapat :
- 2y p - 2xq = 0 atau
yp + xq = 0
11 July 2017
6
Mencari Penyelesaian dari Persamaan
Differential Parsial :
Dengan mengintegralkan langsung :
Contoh .
differensial :
11 July 2017
Selesaikan persamaan
2 z
 cos ( 2x - 3y )
x y
7
Penyelesaian
2 z
 z

 cos ( 2x - 3y )
x y
x y
z

y


z

1/2
cos ( 2x - 3y ) dx
sin ( 2x - 3y )  F(y)
 ( 1/2 sin ( 2x - 3y )
 F(y) )dy
= 1/6 cos ( 2x – 3y ) + H(y) + G(x).
11 July 2017
8
Contoh .
Selesaikan persamaan differensial :
2 z
 xy 2
x y
z

y
z 
11 July 2017
1 2 2
x y  F(y)
2
1 2 3
x y  H(y)  G (x)
6
9
Contoh .
Selesaikan persamaan differensial :
2 z
 x2y
x y
Dengan syarat z( x , 0 ) = x2
dan
z( 1 , y ) = cos y
Jawab :
zIntegralkan ke y dan x didapat :
x = ½ x2 y2 + F(x) ,
∫ F(x) dx = G(x).
z = 1/6 x3 y2 + G(x) + H(y).
11 July 2017
…….…… (1)
10
masukkan syarat :
z( x , 0 ) = H(0) + G(x) = x2
G(x) = x2 – H(0)
…………..…….. (2)
Z(1 , y ) = 1/6 y2 + H(y) + G(1) = cos y
H(y) = cos y - 1/6 y2 - G(1)
………… (3)
Eliminasi H(y) dan G(x) dari (1) didapat :
z = 1/6 x3 y2 + x2 – H(0) - 1/6 y2 - G(1) + cos y
11 July 2017
11
dari (2) untuk x = 1
G(1) = 1 – H(0)
z = 1/6 x3 y2 +
x2 – H(0) - 1/6 y2 - ( 1 – H(0)) + cos y
z = 1/6 x3 y2 +
x2 - 1/6 y2 - 1 + cos y
Contoh .
Selesaikan persamaan differensial :  2 z
 z
2
y
Syarat bila y = 0 maka z = ex dan
11 July 2017
z
-x
=
e
y
12
Bila z merupakan fungsi dari y saja maka
z = A sin y + B cos y dimana A dan B konstante.
Karena z fungsi dari x dan y maka A dan B fungsi
dari x jadi :
z = F(x) sinh y + H(x) cosh y
…………….. (1)
untuk y = 0 didapat z = H(x) = ex ……….. (2)
( sinh y = (ey – e-y )/2 ,
cosh y = ( ey + e-y )/2
)
11 July 2017
13
z = F(x) sinh y + ex cosh y
z
 F(x) cosh y  e x sinh y
y
untuk y = 0z
= F(x) = e-x ………………. (3)
dengan
substitusi didapat :
y
z = e-x sinh y + ex cosh y
11 July 2017
14
Contoh .
2 z
1 z
Selesaikan persamaan differensial :

 y
x y
y x
  z
1 

Jawab :
 z   y

x  y
y 
 z
1 

 z   yx  F(y)
y 
 y
P Diff. Order satu dengan
1 dy
1 dy
y
y
ze
  ( xy  F(y) ) e
dy  G(x)
Penyelesaian
ln y
ln y
ze
  ( xy  F(y) ) e
dy  G(x)
1 3
z y  xy  H(y)  G(x)
3
11 July 2017
15
Terima kasih
11 July 2017
16