PERTEMUAN VI
Transformasi Sinus dan Cosinus Fourier.
Rumus V dan VI pada pertemuan sebelumnya :
V. Transformasi Sinus Fourier
Fs f(x)  Fs (  ) 
2
f(x) 

2
:


 f(  ) sin d
0

 F (  ) sinx d
( inverse )
s
0
VI. Transformasi Cosinus Fourier :
Fc f(x)  Fc (  ) 
f(x) 
2

2


 f(  ) cos d
0

 F (  ) cosx d
c
( inverse )
0
Contoh
1 . Cari Transformasi Sinus Fourier dari f(x) = 1/x

2 sinx
Penyelesaian
Fs (  ) 
dx
 0 x



2 
 2


2
2 sinx
dx
 0 x
LihatsoalII -1 )
1


2 Carilah f(x) bila diketahui :  f(x) cos x dx  

0
0

2
F(  ) 
 f(x) cos x dx


0 x  1
 1
0
1
f(x) 
2

F(  ) cos x d


0


2

2
1
2


0
1
 (1 -  ) cos x d 
0
2  cos x
1
 2  2
 x
x

(1 -  ) cos x d
2 1- 
1


sin  - 2 cos x 

  x
x

2 (1 - cos x )
x 2
1


3. Cari f(x) bila diketahui :  f(x) sin x dx  2
0

 0
0  1
1  2
  2
Peyelesaian : Ruas kiri dan kanan dikalikan dengan

1


2

f(x)
sin

x
dx

2

 0


0


1


Fs(f(x) = Fs(α) = 2


0


0








f ( x) 
1
2



2

2

2

didapat :
0  1
1  2
  2
2

2

0  1
1  2
  2
Fs ( ) sin  d
0
1
2

2
sin

x
d


2
sin x d 


0
1

2
2 1
41


cos

x
cos x



 x
0 x
1
2 1
1 4  1
1

  - cos x   -  cos 2x - cos x 
  x
x   x
x

1
2



4 Buktikan

0
cos x d

 e -x ,
2
2
 1
Bukti :
f ( x) 
2
 1  cos x - 2 cos 2x 
x
2
misalkan


cos x d  e

0
x  0
f ( x)  e  x
Dari rumus VI diperoleh :

-u
cos u du  e - x (  e -u cos u du 
0

2
0


0

cos x d
 e -x
2
 1
atau

0
1
 1
2
cos x d

 e -x
2
2
 1
f(x) = e  ax
5 Cari Transformasi sinus Fourier dari
Jawab :
Fs f(x)   Fs (  ) 


6
2

2


e
- ax

 f(x) sin x
dx
0
sin x dx
0

 - a sin x -  cos x


e - ax
 a2  2

2 
1

. 
2
2

  a 

2


 0
2 
 
2

  a   2 
Cari Transformasi cosinus Fourier dari
f(x) = e  ax
3
Jawab
Fc f(x)  F( ) 
2


 f(x)cosx dx
0
2

e


- ax
cosx dx
0

 - a cosx   sinx


e- ax
 a2  2

2 
a

0 2
2 

 
a  
2


 0
2 
a 
2
  a   2 

7 . Cari Transformasi cosinus Fourier dari :
0  x  1/2
1/2  x  1
x 1

x
f ( x)   1- x

0
Jawab :
Fc f(x)  F( ) 


2

1/ 2
2


 f(x)cosx dx
0
 x cosx dx 
0
2
1
 1/ 2
(1 - x)cosx dx
1/ 2
1
2  x sinx cosx 
2  (1 - x) sinx cosx 



 


  
 

2
2
 0
 1/2

2  sin(  / 2) cos(  / 2) 1

 2

 
2
2


2  - cos 1 2 cos(  / 2)
 2

   2

2

2  - cos sin (/2) cos(  / 2) 





2

2


2






1
8 . Cari Transformasi Sinus Fourier dari : f(x) = 
0
0  x 
x 
4
2
F( ) 

2



 f(x)sinx dx
0
2 -1
1 sinx dx 
0
2 -1


cosx 
 


 

0
( cos -1 )

1
2
 
( 1 - cos )
0  x 
1
9 . Cari Transformasi cosinus Fourier dari : f(x) = 
0
2
F( ) 

2


 f(x)cosx dx
0

1 cosx dx 
0
2 sin




sinx 
 

2 1
2

2


0
0  x 
x 

 f(x)sinx dx
0

 x sinx dx 
0

2 -x
1
( cosx  2 sin x 
 



0
2 -
1
(
cos  2 sin )



 0
,
x
10 . Cari Transformasi Sinus Fourier dari : f(x) = 
0
F( ) 
x 

 

1
2


( sin -  cos )
2
x
11 . Cari Transformasi cosinus Fourier dari : f(x) = 
0
0  x 
x 
5
2
Fc (  ) 


2



 f(x)cosx dx
0

 x cosx dx 
0
2 x sinx cosx 
(

) 


2

2 sin cos 1
(

- 2) ,
2





0
 0
Soal diatas dapat dikerjakan dengan menggunakan sifat XXII
dan XXIII sebagai berikut.
x
12. Cari Transformasi cosinus Fourier dari : f(x) = 
0
d
 Fs (  ) 
Fc(xf(x) ) =
d
2 1
Fs (  ) 
( 1 - cos )
0  x 
x 
 
d
2 1
(
( 1 - cos ) )
d  
2
 ( sin ) - ( 1 - cos )  / 2
 (
Fc (xf(x)) 

 (
2   sin  1 cos  
- 2 


 


2 
x
13 . Cari Transformasi sinus Fourier dari : f(x) = 
0
d
 Fc (  ) 
Fs(xf(x) ) = 
d
2 sin
Fc (  ) 
,
 0

0  x 
x 

d  2 sin  


d    
 2

( cos  - sin  ) /  2 
= 
 

Fs(xf(x) ) = 
6

= 

2 (sin  - cos  ) 


a2

: f(x) = e-x + 2 e-3x

2
Fc f(x)  F( ) 
 f(x)cosx dx
14 . Cari Transformasi Cosinus Fourier dari
Jawab :

2

e


-x
cosx dx  2
0

2  2
e -x sin x
(

  2  1

-

2
1
e
 
-3x
cosx dx
0
e -x cos x
2

0
)2
 e -3x sin x


2 9
2
-
3e -3x cos x
2
 

 0
2  2
1
 2  3 
(
)2 2
 
  2  1  2
  9  2 
2 1
3 
2 2
2

   1   9 
15 . Cari Transformasi Cosinus Fourier dari
: f(x) = xe-ax
Jawab :
Dari II - 13 didapat Transformasi Sinus Fourier dari e-ax adalah
2 
α 
2
π  a  α 2 
2 
α 
2
π  a  α 2 

Jadi Fc(xe-x ) = Fc(α) =
d
dα

2  a 2  α2 


  (a 2  α 2 ) 2 
16 . Cari Transformasi Sinus Fourier dari
: f(x) = xe-ax
Jawab :
Dari II - 14 didapat Transformasi Sinus Fourier dari e-ax adalah
7

2 
a 
  a 2   2 
Jadi Fc(xe-x ) = Fc(α) = -

d
d
2 
a 
2

  a   2 
2 
2αα 
 2

π  (a  α 2 ) 2 
Soal-soal
1 . Cari Transformasi cosinus Fourier dari :
1
f(x) =
1 x 2

Jawab :
2 . Bila Transformasi cosinus Fourier dari
2
e a
Carilah Transformasi sinus Fourier
e -
2 2
x
adalah
dari :
1
 2
e
4a 2
a 2
2 2
f(x) = x e  a x
3 . Cari Transformasi sinus Fourier dari :
f ( x) 
Jawab :
1
x

2
TERIMA KASIH
8