1
PERTEMUAN 1
DERET FOURIER
where n = 1, 2, 3…
NOTE: Some textbooks use
and then modify the
series appropriately. It gives us the same result as what we have here.
1. Syarat Dirichlet .
Bila f(x) ditentukan dalam interval ( -L , L ) :
a. bernilai tunggal
b. terbatas (bounded )
c. merupakan fungsi periodik diluar ( -L , L ) dengan periode
2L
d. kontinu kecuali pada beberapa titik diskontinu
e. mempunyai maksimum dan minimum yang berhingga
maka deret Fourier konvergen ke :
1. f(x) di x dimana f(x) continu
2.
1
 f(x  0 )  f(x - 0 )  untuk x dimana f(x) tidak kontinu.
2
Catatan .
2
 f(x) g(x) dx.
D
I
f′(x)
vdx
f″(x)
(v)dxdx
dst
dst
Dimana D turunan dan I integral
x
2
Contoh
1
2
3
4
ex dx
D
x2
2x
2
0
I
ex
+ ex
- ex
+ ex
===============
Caranya baris (1) kolom D dikalikan dengan baris ke (2) kolom I
dimulai dengan tanda + , kemudian baris ke (2) D dengan baris ke
(3) I dengan tanda ( - ) dan seterusnya samapai ada 0. Sebaliknya
bila kolom D tidak 0 maka caranya sebagai berikut :
Contoh
1
2
3
e
x
D
ex
ex
ex
e
x
cos 2x dx
I
Cos 2x
+ ½ sin 2x
(- ¼ cos 2x)
cos 2x dx = ½ ex sin 2x + ¼ ex cos 2x + ¼
e
x
cos 2x dx
3
= 4/3 (½ ex sin 2x + ¼ ex cos 2x ) + C
A=
 e cos 2x dx
x
B = ½ ex sin 2x + ¼ ex cos 2x
Integral menjadi
A = B + ¼ A atau A = 4/3 B
Contoh
D
I
======================
Contoh
D
I
x
4
=============================================
Contoh
 3x  5  e
sin 0 = 0 ,
n
2
n
cos
2
sin
cos nπ
dx
D
3x+5
I
e2x
3
½ e2x
0
¼ e2x
 3x  5  e
2.
2x
2x
dx = ( 3x + 5 ) e2x – ¾ e2x + C
= ( 3x + 17/4 ) e2x + C
cos o = 1 , sin nπ = 0
= 0 untuk n genap
= 0 untuk n ganjil
= (-1)n ,
cos 2nπ = 1
Penyelesaian soal-soal
0
-2  x  0
3
0x2
1. Perderetkan f(x) = 
menurut deret Fourier.
( periode 4 , L
=2 )
Penyelesaian. :
Y
3
-2
2
X
5
0
a0 =
2
1
1
1
0 dx   3 dx  3x

2 2
20
2

2
= 3.
0
1
nx
1
nx
an =
0 cos
dx   3 cos
dx

2 2
2
20
2
0
2
3.2 nx 2
= ½  sin   0 ,
2 0
 n
n  1 , 2 , .....
( sin nπ = 0 )
1
nx
1
nx
bn =
0 sin
dx   3 sin
dx

2 2
2
20
2
0
2
3.2
nx  2
3

( 1- cosn ),
= ½  cos

2 0
n
 n
n  1 , 2 , .....
bn = 0 untuk n
genap
Jadi f(x) =
3
6
πx 1
3πx 1
5πx 1
7πx
 ( sin  sin
 sin
 sin
 ...... )
2
π
2 3
2
5
2
7
2
f(x) dapat ditulis sebagai berikut :
f(x) =
2. .
(2n - 1)πx
3
6 
1
 (
sin
)
2
π n1 (2n-1)
2
Perderetkan f(x)
=
0  x 
 1

2
menurut deret
  x  2
Fourier.
( periode 2π
, L=π )
Penyelesaian. :
2
Y
1
π
2π
X
6
1
a0 

1

a
n



 2
1  
f(x) dx   1 dx 
2 dx   x   2x 
 0
 -
   0
 
2

1
0
1
( )  (4 - 2 )  1  2
2



3
1 2
1
nx
1 2
nx
dx 
dx
 f(x) dx 
 1. cos
 2. cos
 0
 0

 


1


0
cos nx dx 

1
=  sin nx 
 n
bn =

1

1

0
2
0 f(x) dx



1

 2 cos nx dx

 2
 2
sin
nx
 n
 2 0


1

 1.sin nx dx 
0
2

0 1.sin
1

nx

dx 
1

2
 2. sin

n x

dx
2
 2. sin nx
dx
 1
  2
 2
 n cos nx  0   n cos nx  




 

1
1
2
2
cos n 

cos n n
n
n
n
1
( cos n - 1 ) ,
n
bn = -
2
(2n 1)
n  1, 2, ....,
;
( cos 0  cos 2 )
b n  0 utk n genap.
7
Jadi :
f(x) 
3 2
1
1
1
- ( sinx  sin3x 
sin5x  sin7x  .....
2 π
3
5
7
ataudapatditulis : f(x) 
3 2  sin(2n-1)x
 ( (2n-1) )
2 π n1
3. Perderetkan :
f(x) =
1


 0

 1

-  x  -

2

2
 x 

2

( periode 2π , L =
2
 x 
π )
Y
1
-π
0
-π/2
π/2
X
-1
a0 
1


 f(x) dx


- π/2

 1  - x 

-π
an 
1


 / 2
(
- 1. dx 
π

1
( /2 -    - /2 )  0
 


π/2
 0. dx



x 
 /2
 / 2

 1. dx
 /2
1 
nx
1  / 2
nx
dx  (  - 1. cos
dx 
 f(x)cos
 

 

 /2

nx
nx
0.
cos
dx

1.cos
dx




 / 2
 /2
π
8
=
1

 / 2
(
 - 1. cos nx dx 


1.cos nx dx

 /2
1 sin nx   / 2
 1 sin nx  
 
= 


  n  
 n   / 2
1 sin n/2   1 sin n/2 

= 
n  
n 

bn =

1
 
f(x)sin
nx

1
dx 

 / 2
(


- 1. sin
( sin nπ = 0 )
0
nx

dx 
1 cos nx   / 2
 1 cos nx  

= 

n  
n   / 2



 1.sin
 /2
nx

dx
1
n
1
n 
)
=  ( cos - cos n )   ( cos n  cos
2
2 
 n

 n
2
n
=  ( cos - cos n )
 n
b1 =
Jadi :
2

f(x) 

2
2
b2  -
1
( 2 sinx  2 sin2x 


, b3 
2
2
, b4  3
3
,
dst
2
2
sin3x - sin3x  .....
3
3
4. Perderetkan :
f(x) =

0

1

 0
0  x  2
2  x  4
4  x  6
( Periode 6 , L = 3 )
9
Y
1
-4
-2
0
2
4
X
6
2
1
1
f(x) dx  (  0. dx 

30
3 0
a0 
4

 1  2x 
3
2

 -
6
2
4
2n
(sin
),
n
3
bn

 

( sin
Jadi :
f(x) 
4
 2. cos
2
nx
dx 
3
6
4 0. cos
nx
dx
3
4n
2n
 sin
)
3
3
2
  - 3
nx  4
 1  2
cos
3   n
3  2

4 0. dx
2
4n
2n
(sin
- sin
)
n
3
3
1
nx
1
nx

f(x) sin
dx  (  0.sin
dx 

30
3
3 0
3
6
2
6

1
  (8-4 )
3

1
nx
1
nx
f(x) cos
dx  (  0.cos
dx 

30
3
3 0
3
  3
nx  4
 1  2
sin
3   n
3  2

 2. dx 
4
3

an 
4

 

2
4

3

nx
2 2. sin 3 dx 
4
6
4 0. sin
nx
dx
3
-2
4n
2n
4n 
2 n
(cos
- cos
)  0 , ( cos
 cos
)
3
3
n
3
3

1
 n (sin
n1
2n 
3
nx
cos
3
)
10
5. Perderetkan :
f(x) =
-2  x  0
2

x
Periode 4 ,
0  x 2
L =2.
Y
2
-6
a0 
-4
2
-2
0
0
2
4
2
1
1
1
f(x) dx   2 dx   x dx

2 2
2 2
20
1
x 2 1
  .(4  2 )  3

2x 
1
2 2 
2
2
-2
0
2
1
nx
an 
f(x) cos
dx

2 2
2
2
0
1
nx
1
nx

2. cos
dx   x. cos
dx

2 2
2
20
2
0
2
0
1 4
1 2x
nx
4
nx 2

 (
sin nx
 (
sin

cos
)
2 2
  2 2 n
2 n
2
2
n

0



1 4
 2 2 ( cos n - 1 ) 
2 n 

 -
4
(2m - 1) 2  2
; (  0 untuk n genap )
.
0
1 4
1 2x
nx
4
nx 2

 (
sin nx
 (
sin

cos
)
2 2
  2 2 n
2 n
2
2
n

0



1 4
 2 2 ( cos n - 1 ) 
2 n 

 -
4
(2m - 1) 2  2
.
X
6
; (  0 untuk n genap )
x
1
0
cos
2
n
nx
2
sin
-4
n 2 2
nx
2
cos
n x
2
11
0
1 4
1 2x
nx
4
nx 2
 (
sin nx   (
sin

cos
)
2 2
  2 2 n
2 n
2
2
n
0


1 4
 
( cos n - 1 ) 
2  n 2 2

 -
bn 
4
(2m - 1) 2  2
1
; (  0 untuk n genap )
0
sin
-2
n
nx
2
cos
-4
n 2 2
nx
2
sin
nx
2
.
1
n x
f(x) sin
dx

2 2
2
2
1
n x
1
n x
2. sin
dx   x. sin
dx

2 2
2
20
2
2
0

x
-2
nx  0 1
2x
nx
4
nx 2
cos

(

cos

sin
)
2 2
n
2  - 2 2 n
2
2
n 
0
-2
2
-2


cos n 
cos n 
n
n
n

 
2
n
1
(2n  1)x 2  1
nx
cos
-  sin

2
2
 n 1 n
2
n 1 (2n - 1)
3
4 1
x 1
3x 1
5x
atau dapat ditulis
f(x)  - 2 ( 2 cos  2 cos
 2 cos
 ..)
2  1
2 3
2
2
5
1 
1
2
1
3
- 2 ( sin x  sin
x  sin
x  ....... )
1
2
2
2
3
2
Jadi
:
f(x) 
3
4

2
2

6. Perderetkan f(x) = x2 ,
0 < x < 2π , ( periode 2 π , L = π )
Penyelesaian :
Y
-2π
X
2π
12
a0 
1

2
0
f(x) dx 
1

2
0
1 3
x
3
x 2 . dx 

2
0
1
( 8 3 )
3

8 2

3
an 




1

1

2
0
f(x) cos
nx

dx 
1

2
0
x 2 . cos
nx

x
dx
1

x . cos nx dx
-1
2
(0
n
4
2
n
 0 )
4
n2
1

2
0 f(x) sin
nx

dx 
1

2
0
x 2 . sin
2
cos nx
-1
0
n
bn 
sin nx
n
2
2
1 x2
2x
2
(
sin nx 
cos nx sin nx )
 n
n2
n3
0
1
cos nx
2x
2
0
2
nx

dx
2
1 -x2
2x
2

(
cos nx 
sin nx 
cos nx )
 n
n2
n3
0
3
sin nx
13
x
2
sin nx
1
1 - 4 2
 (
 0  0)
π
n
2x
-
cos nx
n
-1
4π
n
2
n
2
sin nx
1
0
n
Jadi f(x) = x2 =
4π2

3

4
( n
n1
2
cosnx -
4π
sinnx )
n
TERIMA KASIH
3
cos nx