1
PERTEMUAN IX
PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL
Persamaan Differensial Parsial adalah persamaan yang memuat differensial
parsial. Variabel independen
dinyatakan dalam x dan y sedang
variabel
dependen dalam z atau u yang dinyatakan sebagai berikut :
u
 p
x
 2u
r ,
x 2
,
u
 q
y
 2u
s ,
xy
 2u
 t
y 2
Order dari persamaan differensial parsial sama dengan order dari turunan
tertinggi dari differensial parsial.
Membentuk persamaan differensial parsial dapat dilakukan dengan :
A. Mengeliminasi konstante dan
B. Mengeliminasi fungsi.
Contoh :
1
Bentuk persamaan differensial parsial dari :
…………………… (1)
x2 + y2 + ( z – c )2 = a2
Jawab : Ada 2 konstante yaitu a dan c.
Turunkan ke x didapat :
2x + 2( z – c )
z
 0
x
x+(z–c)p = 0
…………………….. (2)
Turunkan ke y didapat :
2
2y + 2( z – c )
z
 0
y
y+(z–c)q = 0
…………………..…. (3)
Eliminasi c dari (2) dan (3) didapat :
x+(z–c)p = 0
y+(z–c)q = 0
xq - yp = 0
( yang ditanyakan )
2 . Bentuk persamaan differensial dari : z = f(x2 – y2 )
Jawab :
z
= f!( x2 – y2 ) (2x)
x
z
q =
= f!( x2 – y2 ( -2y)
y
p =
………………….. (1)
………………….. (2)
dari (1) dan (2) didapat :
- 2y p - 2xq = 0 atau
yp + xq = 0
Mencari Penyelesaian dari Persamaan Differential Parsial :
Dengan mengintegralkan langsung :
Contoh .
Selesaikan persamaan differensial :
 z
 cos ( 2x - 3y )
x y
2
Jawab :
2 z
 z

 cos ( 2x - 3y )
x y
x y
3
z

y

z


1/2
cos ( 2x - 3y ) dx
sin ( 2x - 3y )  F(y)
 ( 1/2 sin ( 2x - 3y )
 F(y) )dy
= 1/6 cos ( 2x – 3y ) + H(y) + G(x).
Contoh .
Selesaikan persamaan differensial :
z

y
z 
Contoh .
2 z
 xy 2
x y
1 2 2
x y  F(y)
2
1 2 3
x y  H(y)  G (x)
6
Selesaikan persamaan differensial :
Dengan syarat z( x , 0 ) = x2
2 z
 x2y
x y
dan z( 1 , y ) = cos y
Jawab :
Integralkan ke y dan x didapat :
z
= ½ x2 y2 + F(x) ,
x
∫ F(x) dx = G(x).
z = 1/6 x3 y2 + G(x) + H(y).
masukkan syarat :
………………… (1)
z( x , 0 ) = H(0) + G(x) = x2
G(x) = x2 – H(0)
…………..…….. (2)
Z(1 , y ) = 1/6 y2 + H(y) + G(1) = cos y
H(y) = cos y - 1/6 y2 - G(1)
Eliminasi H(y) dan G(x) dari (1) didapat :
……………… (3)
4
z = 1/6 x3 y2 + x2 – H(0) - 1/6 y2 - G(1) + cos y
dari (2) untuk x = 1 G(1) = 1 – H(0)
z = 1/6 x3 y2 + x2 – H(0) - 1/6 y2 - ( 1 – H(0)) + cos y
z = 1/6 x3 y2 + x2 - 1/6 y2 - 1 + cos y
Contoh .
Selesaikan persamaan differensial :
Syarat bila y = 0 maka z = ex dan
2 z
 z
y 2
z
= e-x
y
Bila z merupakan fungsi dari y saja maka
z = A sin y + B cos y dimana A dan B konstante. Karena z
fungsi dari x
dan y maka A dan B fungsi dari x jadi :
z = F(x) sinh y + H(x) cosh y
…………………….. (1)
untuk y = 0 didapat z = H(x) = ex ……………….. (2)
( sinh y = (ey – e-y )/2 ,
cosh y = ( ey + e-y )/2
)
z = F(x) sinh y + ex cosh y
z
 F(x) cosh y  e x sinh y
y
z
untuk y = 0
= F(x) = e-x
y
…………………. (3)
dengan substitusi didapat :
z = e-x sinh y + ex cosh y
5
Contoh .
elesaikan persamaan differensial :
2 z
1 z

 y
x y
y x
Jawab : :



  z
1 

 z   y
x  y
y 
z
1 
 z   yx  F(y)
y
y 
P Diff. Order satu dengan
Penyelesaian
ze
1
 y dy
  ( xy  F(y) ) e
1
 y dy
dy  G(x)
ln y
ln y
ze
  ( xy  F(y) ) e
dy  G(x)
1 3
xy  H(y)  G(x)
3
Persamaan Differensial Parsial Linear yang Homogen Order n
z y
Dengan koefisien konstan.
Bentuknya :
a0
 nz
 nz
nz
nz

a

a

,
,
,
,
,
,
,
a
 Q(x , y)
1
2
n
x n
x n -1y
x n - 2y 2
y n
Homogen karena semua derivative parsial dari order yang sama .
Bila Q(x , y ) = 0 maka didapat persamaan reduksi atau
persamaan komplemen yaitu
 nz
 nz
 nz
 nz
a 0 n  a1 n -1  a 2 n - 2 2  , , , , , , , a n n  0
x
x y
x y
y
Untuk mencari penyelesaian digunakan operator D yaitu

 Dx ,
x

2
 Dy ,
 Dx D y
y
 x y
Cara penyelesaian :
misalkan Dx = m dan Dy = 1
dan seterusnya
6
1. didapat a0mn + a1mn-1 + a2mn-2 + … an = 0 yaitu Persamaan
Auxiliary
2. dengan akar-akar m1 , m2 , …….
3. a . Bila akar – akar tidak sama yaitu m1 ≠ m2 ≠ m3 ≠
…..maka :
penyelesaian umum :
z = F( y + m1x) + G( y + m2x ) + ….
b . Bila akar – akar sama yaitu m1 = m2 = m3 = …= m
maka :
penyelesaian umum :
z = F( y + mx) + xG( y + mx ) + ….
Contoh : Selesaikan persamaan differensial parsial :
3 z
3 z
3 z
4

3
x3
x 2y
x y 2
 0
atau ditulis dalam bentuk ( Dx3 – 4Dx2Dy + 3Dx Dy2 ) z = 0
didapat persamaan auxiliary : m3 – 4m2 + 3m = 0
m( m – 1 ) ( m – 3 ) = 0
m1 = 0 , m2 = 1 , m3 = 3
penyel. umum
z = F( y ) + G( y + x ) + H( y + 3x ).
Contoh : Selesaikan persamaan diff parsial :
2 z
2 z
4
x 2
x y
 4
2 z
 0
y 2
atau ditulis dalam bentuk ( Dx2 – 4Dx Dy + 4 Dy2 ) z = 0
didapat persamaan auxiliary : m2 – 4m + 4 = 0
m12 = 2
z = F( y + 2x ) + xG( y + 2x )
7
Contoh : Selesaikan persamaan diff parsial :
2 z
2 z

4
x 2
x y
 5
2 z
 0
y 2
atau ditulis dalam bentuk Dx2 + 4Dx Dy - 5 Dy2 = 0
didapat persamaan auxiliary : m2 + 4m - 5 = 0
(m+5)(m–1) = 0
m1 = 1 dan m2 = -5
z = F( y + x ) + G( y - 5x )
Contoh : Selesaikan persamaan differensial parsial :
3 z
3z

x 3
x 2 y
 8
3 z
3 z

12
 0
xy 2
y 3
m3 - m2 - 8m + 12 = 0
( m – 2 )2 ( m + 3 ) = 0 ,
penyelesaian umum
m12 = 2 , m3 = -3
z = F( y + 2x ) + xG( y + 2x ) + H( y – 3x )
Contoh : Tentukan Persamaan Diff. yang mempunyai Penyelesaian
Umum :
z= F(x–3y) + G(2x+y )
Jawab :
Dx = m D y = 1
( m – 3 ) ( 2m + 1 ) = 0
( Dx – 3 Dy ) ( 2 D x + D y ) z = 0
8
 z
z   z z 

 2
  0
-3

y   x y 
 x
 2z
 2z
 2z
 2z
 2
- 6

-3 2
x y x y y
 x2
2z
2z
 2z
2
-5
-3 2  0
x 2
x y
y

  0

Soal-soal
1 Selesaikan : ( Dx3 - D x2 D y - 8 Dx Dy2 + 12 D y3 ) z = 0
Jwb . F( y + 2x ) + x G ( y + 2x ) + H ( y – 3x )
2 Selesaikan : ( D x 4 - 2 D x 2 D y2 + D y4 ) z = 0
Jwb . F1( y + x ) + x F2 ( y + x ) + G1 ( y – x ) + x G2 ( y – x )
3 Selesaikan : ( Dx2 – 8 Dx Dy + 15 Dy2 ) z = 0
Jwb . F ( y + 3x ) + G ( y + 5x )
4 Selesaikan :
 4 z  4z
x 4 y 4
 0
Jwb . z = F1 ( y + x ) + F2 ( y – x ) + G1 ( y + ix ) + G2 ( y – ix )
5 Selesaikan :
2 z 2z
 sin x cos 2y
x 2 x y
Jwb . F1 (y ) + F2 ( y + x ) + ½ sin ( x + 2y ) -
Terima kasih
1
sin ( x – 2y )
6