Pertemuan 9
Persamaan Differensial
homogen dengan koefisien
konstan
11 July 2017
1
Persamaan Differensial Parsial Linear yang Homogen
Order n
Dengan koefisien konstan.
Bentuknya :
 nz
 nz
nz
nz
a 0 n  a1 n -1  a 2 n - 2 2  , , , , , , , a n n  Q(x , y)
x
x y
x y
y
Homogen karena semua derivative parsial dari order yang sama .
Bila Q(x , y ) = 0 maka didapat persamaan reduksi atau persamaan
komplemen yaitu
 nz
 nz
 nz
 nz
a 0 n  a1 n -1  a 2 n - 2 2  , , , , , , , a n n  0
x
x y
x y
y
11 July 2017
2
Untuk mencari penyelesaian digunakan operator D yaitu

 Dx ,
x

2
 Dy ,
 Dx D y
y
 x y
dan seterusnya
Cara penyelesaian : misalkan Dx = m dan Dy = 1
didapat a0mn + a1mn-1 + a2mn-2 + … an = 0 yaitu
Persamaan Auxiliary dengan akar-akar m1 , m2 , …….
a . Bila akar – akar tidak sama yaitu m1 # m2 # m3 #
…..maka : penyelesaian umum :
z = F( y + m1x) + G( y + m2x ) + ….
11 July
b .2017Bila akar – akar sama yaitu m1 = m2 = m3 = …= 3
b . Bila akar – akar sama yaitu m1 = m2 = m3 = …= m
maka :
penyelesaian umum :
z = F( y + mx) + xG( y + mx ) + ….
Contoh :
Selesaikan persamaan differensial parsial :
3 z
3 z
3 z
- 4 2
 3
3
x
x y
x y 2
 0
atau ditulis dalam bentuk ( Dx3 – 4Dx2Dy + 3Dx Dy2 ) z = 0
didapat persamaan auxiliary : m3 – 4m2 + 3m = 0
m( m – 1 ) ( m – 3 ) = 0 ,
11 July 2017
m1 = 0 , m2 = 1 , m3 = 3
4
penyel. umum
z = F( y ) + G( y + x ) + H( y + 3x ).
Contoh :
Selesaikan persamaan diff parsial :
2 z
2 z
- 4
2
x
x y
2 z
 4 2  0
y
atau ditulis dalam bentuk ( Dx2 – 4Dx Dy + 4 Dy2 ) z = 0
didapat persamaan auxiliary : m2 – 4m + 4 = 0
m12 = 2
z = F( y + 2x ) + xG( y + 2x )
11 July 2017
5
Contoh :
Selesaikan persamaan diff parsial :
2 z
2 z
 4
2
x
x y
atau ditulis dalam bentuk
2 z
 5 2  0
y
Dx2 + 4Dx Dy - 5 Dy2 = 0
didapat persamaan auxiliary : m2 + 4m - 5 = 0
(m+5)(m–1) = 0,
m1 = 1 dan m2 = -5
z = F( y + x ) + G( y - 5x )
11 July 2017
6
Contoh . Selesaikan persamaan differensial
parsial :
3 z
3z

3
x
x 2 y
3 z
3 z
 8
 12 3  0
2
xy
y
m3 - m2 - 8m + 12 = 0
( m – 2 )2 ( m + 3 ) = 0 ,
m12 = 2 ,
m3 = -3
penyelesaian umum
z = F( y + 2x ) + xG( y + 2x ) + H( y –
3x )
11 July 2017
7
Persamaan Differensial Parsial Tidak Homogen
Dengan Koefisien Konstan
Bentuk umum :
n z
n z
n z
a0 n  a1 n 1  a2 n 
x
x y
y
an 1
z
 a n z  Q( x , y )
y
2 z
2 z
2 z
z
z
A 2 B
 C 2 D
E
 Fz  Q( x , y )
x
xy
y
x
y
…. (1)
….. (2)
( Persamaan diff. Parsial tidak Homogen order dua )
  0
dari persamaan (2) bila B2 - 4AC =   0
 0
11 July 2017
Elliptik
Hyperbolk
Parabolik
8
11 July 2017
9
11 July 2017
10
11 July 2017
11