1
PERTEMUAN XI
Persamaan Differensial Parsial Tidak Homogen
Dengan Koefisien Konstan
Bentuk umum :
n z
n z
n z
a0 n  a1 n 1  a2 n 
x
x y
y
z
 a n z  Q( x , y )
y
…. (1)
2 z
2 z
2 z
z
z
A 2 B
 C 2 D
E
 Fz  Q( x , y )
x
xy
y
x
y
….. (2)
an 1
( Persamaan diff. Parsial tidak Homogen order dua )
  0
dari persamaan (2) bila B2 - 4AC =   0
 0
Elliptik
Hyperbolk
Parabolik
Persamaan F( Dx , Dy ) z = Q ( x , y )
Mempunyai Penyelesaian Umum :
z
=
C.F
+ Salah satu Penyelesaian Khusus
( C.F =
Complementary Function yaitu Penyelesaian Umum
dari persamaan Reduksi )
Penyelesaian Khusus dapat dicari seperti pada persamaan yang
homogen
C.F dapat dicari sebagai berikut :
Misalkan z = eax+by , masukkan dalam persamaan kemudian cari
hubungan antara a dan b.
Contoh . Selesaikan :
2z
2z
2z
z
z

5

4
 5  11
 6z  0
2
2
xy
x
y
x
y
…(1)
2
a. Misalkan z = eax + by
masukkan dalam persamaa
a2 + 5ab + 4 b2 - 5a – 11 b + 6 = 0
( a + b – 2 ) ( a + 4b – 3 ) = 0,
a1 = 2 – b , a2 = 3 – 4b
z = e2x F( y – x ) + e3x G ( y – 4x )
b. Cara lain adalah menguraikan Persamaan dalam bentuk :
( a1 Dx + b1 Dy + c1 ) ( a2 Dx + b2 Dy + c2 ) ……… = 0 , ( bila ada
akar yang sama maka dikalikan dengan x atau y ).
Sehingga penyelesaian umumnya adalah :
Z= e
 c1
a1
x
F ( a1y – b1x ) + e
 cn
an
x
Fn( any – bnx) … = 0
Contoh . Dari soal sebelumnya.
Selesaikan :
2z
2z
2z
z
z

5

4
 5  11
 6z  0
2
2
xy
x
y
x
y
( Dx + Dy – 2 ) ( Dx + 4Dy – 3 ) z = 0
mempunyai penyelesaian umum :
z = e2x F( y – x ) + e3x G ( y – 4x )
Contoh . Selesaikan
( Dx + 3 Dy + 4 )2z = 0
Jawab :
z = e-4x F ( y – 3x ) + x e-4x G( y – 3x )
( akar sama )
3
Contoh . Selesaikan
( Dx2 + 2 DxDy + Dy2 - 2Dx – 2Dy )z = 0
Jawab ( Bila agak sulit menguraikan maka misalkan Dx = x
Dy = m
x2 + 2mx + m2 – 2x – 2m = 0
(1) menjadi
atau x2 + ( 2m – 2 )x + m2 – 2m = 0 ,
x1 = 2 – m dan x2 = -m
Persamaan (1) dapat ditulis dalam bentuk
( Dx + Dy ) ( Dx + Dy – 2 )z = 0
z = F ( y – x ) + e2x ( y – x )
Persamaan Differensial Partial
Dalam Bentuk Praktis
2
 2u
2  u
 c
t 2
x 2
a. Persamaan gelombang :
b. Persamaan panas ( heat flow ) untuk dimensi satu
2
u
2  u
 c
t
x 2
c. Persamaan panas ( heat flow ) untuk dimensi dua
 2u
 2u

 0
y 2
x 2
d. Persamaan radio
v
u
 L
x
t
I
v

 C
x
t

4
Penyelesaian dari bentuk soal diatas dapat dilakukan dengan :
a. Misalkan u = e ax + by , substitusi ke persamaan dan cari
hubungan antara a dan b
b. Metode pemisahan variable (separable of variable )
Caranya adalah sebagai berikut :
Misalkan u = X Y
dimana X = X (x ) dan Y = Y ( y )
u
 X' Y ,
x
Contoh . Selesaikan
u
 X Y'
y
dan seterusnya .
u
u
 3
 2u
x
y
2
misalkan u = e ax + by
u
 a e ax  by
x
u
 b e ax  by
y
2a e ax + by + 3 b e ax + by = 2 e ax + by
2a + 3b = 2
u = e
(1-
3
b)x  b y
2

 e
a = 1x
e
(-
3
b
2
3
x y)b
2
Penyelesaian umum :
u = ex F ( 2y - 3 x )
5
Contoh . Selesaikan
u
u
 4
x
y
u ( 0 , y ) = sin 2y
misalkan u = e ax + by
u
 a e ax  by
x
u
 b e ax  by
y
a e ax + by = 4 b e ax + by

a = 4b
u = e ( 4x + y ) b
u = F ( 4x + y )
masukkan syarat : u ( 0 , y ) = sin 2y
u ( 0 , y ) = F ( y ) = sin 2y
Jadi
u = F ( 4x + y ) = sin ( 2 ( 4x + y ))
u = sin ( 8x + 2y )
Metode pemisahan variabel.
Contoh .
u
u
 4
x
y
u( 0 , y )  8e-3y
Penyelesaian : Misalkan u = XY
X′Y = 4 XY′
X'
Y'
 4
k
X
Y
didapat 2 persamaan yaitu
6
X'
Y'
 k dan 4
k
X
Y
mempunyai penyelesaian
X = c1 ekx dan Y = c2 e ¼ ky
u = c e kx + ¼ ky , (c = c1 c2
)
masukkan syaratnya : u ( 0 , y ) = 8 e-3y
u = ce
¼ ky
c=8 ,
= 8 e-3y
¼ k = -3
atau k = -12
Jadi u = 8 e-12x –3y
Contoh .
u
u
 u 
x
t
u(x , 0 )  4 e-3x
X′T + XT = XT′ ruas kiri dan kanan dibagi dengan XT
X'
T'
 1 
 k
X
T
X'
 1  k,
X
X  c1e(k -1)x
T'
 k
T
T  c 2e kt
u = c e(k-1)x + kt
c = c1 c2
u(x ,0 ) = ce(k-1)x = 4 e-3x
7
c = 4 dan k – 1 = -3 atau k = -2
Penyelesaian :
Contoh .
4
u

x
u = 4 e-3x – 2t
u
 3u
y
u( 0 , y )  e-5x
4 X′T + XY′ = 3 XY : XY
4 X'
Y'
 3 k
X
Y
4 X'
 k,
X
3-
Y'
 k,
Y
didapat 2 persamaan yaitu
X  c1e 1/4 kx
Y  c 2 e(3 - k )y
u = c e 1/4kx + ( 3-k )y
c = c1 c2
u( 0 , y ) = c e(3-k )y = e-5y
c = 1 dan 3 – k = - 5 atau k = 8
u = e 2x – 5y
Contoh .
u
2u

t
x 2
XT′ = X″ T
u( x , 0 )  sin x
masukkan syarat
8
X' '

X
T'
 - k2
T
didapat 2 persamaan yaitu
( diambil - k2 agar akar dari A.E imaginer )
X' '
 - k 2 , X  c1 cos kx  c 2 sin kx ( karena akar imaginer )
X
T'
 - k2
T
T  c3 e - k
2
t
u = e  k t ( A cos kx + B sin kx ) masukkan syarat :
2
u( x , 0 ) = ( A cos kx + B sin kx ) = sin πx
A = 0 , B = 1 dan k = π sehingga
u = e  k t sin x
2
X' '
 - k 2 , X  c1 cos kx  c 2 sin kx ( karena akar imaginer )
X
T'
 - k2
T
T  c3 e - k
2
t
u = e  k t ( A cos kx + B sin kx ) A = c1 c3 dan B = c2 c3
2
masukkan syarat :
u( x , 0 ) = ( A cos kx + B sin kx ) = x2 ( 25 – x2 )
u = e  k t (x2 ( 25 – x2 ))
2
Soal-soal
1.
u
2u
 4 2
t
x
u( x , 0 )  4x - 1/2 x 2 )
9
2.
3.
3.
2x
z
z
- 3y
 0
x
y
z
z
 2
 2( x  y ) u
x
y
Selesaikan :
x
2z
z

 0
xy
y
Cari penyelesaian khusus bila z( x , 0 ) = x5 + x
z( 2 , y ) = 3y4
4. Buktikan : Z( x , y ) = 4 e-3x cos 3y merupakan penyelesaian
dari :
2 z
2 z

 0
x 2
y 2
z ( x , / 2 )  0 , z ( x , 0 )  4 e-3x
Persamaan Gelombang :
Selesaikan :
2
 2u
2  u
 c
t 2
x 2
u( 0 , t ) = u( π , t ) = 0
10
ut( x , 0 ) = 0 dan u ( x , 0 ) = x
0<x<π
Jawab : X T″ = c2 T X″
T' '
X' '
 c2
 - k2 , 
T
X
T' '
 - k2
2
c T
X' '
 - k2
X
T  a 1 cos kct  b1 sin kct
X  a cokx  b sin kx
u = ( a cos kx + b sin kx ) ( a1 cos kct + b1 sin kct ) …(1)
Untuk x = 0  u = a ( a1 cos kct + b1 sin kct ) = 0
Jadi a = 0 sehingga (1) menjadi
u( π , t ) = b sin kπ = 0 atau k = n ( n = 1 , 2 , … )
u = ( b sin nx ) ( a1 cos nct + b1 sin nct )
u = ( sin nx ) ( c1 cos nct + c2 sin nct ) ………… (2)
u
= sin nx ( - c1nc sin nct + c2 nc cos nct
t
untuk t = 0 
u
= sin nx ( c2 nc cos nct ) = 0
t
c2 = 0
untuk u ( x , 0 ) = c1 sin nπ = x
11

x =  bn sin nx dimana bn =
n 1
2


 x sin nx dx
0

2
(-1)n 1
n
(1) n
1 n sin nx cos nct.

u = -2
Heat flow pada dimensi dua
Misalkan u ( x , y ) temperatur pada setiap titik ( x , y ) dari sebuah
logam pada saat t dapat dinyatakan dalam bentuk :
u
 2u
 2u
 c2 ( 2 
)
t
x
y 2
untuk steady state
………… (1)
u
= 0
t
sehingga (1) berubah
menjadi :
 2u
 2u

 0
x 2
y 2
Contoh .
……… …… (2)
Selesaikan (2)
bila u( L , y ) = u( 0 , y ) = u( x , 0 ) = 0
u( x , a ) = sin
nx
L
Jawab :
X″Y + XY″ = 0
12
X ''
Y ''
  - k2
X
Y
X ''
 - k2
X
Y ''
 k2
Y
X  c1 cos kx  c 2 sin kx
Y  c 3 e ky  c 4e ky
u  (c 3 e k y  c 4 e -ky )( c1 cos kx  c 2 sin kx )
2
........................ (3)
u( 0 , y ) = c1 ( c3 eky + c4 e-ky ) = 0 atau c1 = 0
(3) menjadi u = c2 sin kx ( c3 eky + c4 e-ky )
… (4)
u(L,y ) = c2 sin kL ( c3 eky + c4 e-ky ) = 0
karena c2 # 0 maka sin kL = 0 = nπ
k = nπ/L
selanju tnya u( x , 0 ) = 0
u = c2sin nπx/L ( c3+ c4 ) = 0 atau c3 = - c4
(4) menjadi u = c2c3 sin nπx/L (enπy/L - e-nπy/L )
untuk y = a didapat
u = c2c3 sin nπx/L (enπa/L - e-nπa/L ) = sin nπx/L
13
1
c2c3 =
e
na
L
e
 na
L
akhirnya didapat
u=
e
e
ny
L
na
L
e
e
 ny
L
 na
L
sin
nx
L

sinh
sinh
3y
L
na
sin
L
Soal – soal
1.
 2u
 2u

 0
x 2
y 2
u = 0 untuk y mendekati tak terhingga
u ( 0 , y ) = 2 cos y
2.
 2v
2v

 0
x 2
y 2
- v( 0 , y ) = v( c , y ) = 0
- v( x ,  ) = 0
v = v0 untuk y = 0
3.
u
2u
 c2 2
t
x
- (0,t)=u(l,t)=0
- u( x , 0 ) = 100 x/L
nx
L
14
4.
2
u
2  u
a
t
x 2
- u( 0 , t ) = u ( l , t ) = 0
- u ( x , 0 ) = 3 sin πx/L ,
5.
4
0 < x < L
u
u

3u
t
x
- u ( 0 , x ) = 3 e-x - e-5x
6.
 2u
 2 u u

2
 0
x 2
y 2 y
Below is an example of a numerical solution describing the diffusion of
an initial box function computed using the finite element method from
chapter 3.
15
JBONE applet: press Start/Stop to simulate the diffusion of a box
function in a periodic domain.
Dispersion
Dispersion occurs when different wavelengths propagate with different phase
velocities. Take for example a third order dispersion equation
16
The harmonic ansatz in space and time
shows that the
phase velocity :
JBONE applet:
press Start/Stop to observe how the numerical
dispersion induced from a finite difference approximation affects the
advection of a square pulse.
Wave-breaking
Wave-breaking is a non-linearity that is particularly nicely understood when
surfing at the see shore, where shallow waters steepen the waves until they
17
break. The process can be modeled theoretically from the advection equation
by choosing the velocity proportional to the amplitude
Since a local maximum (large
minimum (small
:
) propagates faster than a local
), both will eventually meet; the function clearly
becomes multi-valued causing the wave (and our numerical schemes)
to break. Sometimes, the wave-breaking is balanced by a competing
mechanism. This is the case in the Burger equation for shock-waves
where the creation of a shock front (with short wavelengths) is
physically limited by diffusion, which damps the short wavelengths
(1.3.2#eq.4). Here is an example of a shock formation computed using a
2-levels explicit finite difference scheme from chapter 2.
18
JBONE applet: press Start/Stop to simulate the propagation of a shock
front using the Burger equation, where the wave-breaking non-linearity
is balanced by a finite diffusion.
Terima kasih