1
Pertemuan III
Harmonic Analisis
Untuk mendapatkan konstante dari deret fourier dari data-data yang diberikan digunakan
suatu formula yaitu :
1
2
2
1
a0 =
f(x) dx  2(
f(x) dx.

 0
2 - 0 0
a0 = 2 ( mean dari f(x) dalam interval ( 0 , 2π ).
an = 2 ( mean dari f(x) cos nx dalam interval ( 0 , 2π ).
b0 = 2 ( mean dari f(x) sin nx dalam interval ( 0 , 2π ).
Contoh :
Example.. Tentukan konstante a0 , a1 , a2 , , b1 , dan b2 dari deret Fourier dari datadata yang diberikan sebagai berikut :
x
f(x)
Penyelesaian :
x
0
1
2
3
4
5
πx/3
0
Π/3
2π/3
3π/3
4π/3
5π/3
0
9
Sin πx/3
0
0,687
0,687
0
-0,687
-0,687
1
18
2
24
Cos πx/3
1
0,5
-0,5
-1
-0,5
0,5
3
28
f(x)
9
18
24
28
26
20
125
4
26
f(x) sin πx/3
0
15,606
20,808
0
-22,542
-17,340
-3,468
a0 = 2 ( mean dari f(x) = 2 x 125/6 = 41,66
a1 = 2 ( mean dari f(x)cos πx/3 = 2x(-25/6) = -8,33
b1 = 2 ( mean dari f(x) sin πx/3 = 2 x (-3,468/6) = -1,156
5
20
f(x) cos πx/3
9
9
-12
-28
-13
10
-25
2
Jadi
f(x) 
a0
x
x
 a1 cos  ....  b1 sin  .....
2
3
3
 20,83- 8,33cos
x
3
x
 - 1,156sin
3
 ..
Problem
1. Nyatakan dalam bentuk deret Fourier dari data-data berikut :
x
y
1,98
1,69
1,70
2,15
2,79
3,11
2,77
1,82
0,67
0
π/9
2π/9
3π/9
4π/9
5π/9
6π/9
7π/9
8π/9
x
9π/9
10π/9
11π/9
12π/9
13π/9
14π/9
15π/9
16π/9
17π/9
18π/9
y
-0,22
-0,61
-0,51
-0,31
0,13
0,73
1,43
1,98
2,17
1,98
Jwb. 1,30 + 0,92 cos x – 0,42 cos 2x + 0,18 cos 3x + 1,10 sin x – 0,68 sin 2x – 0,21 sin 3x.
2. Ekspansikan f(x) dalam bentuk deret Fourier dari data-data berikut ini :
x
f(x)
π/6
9,2
0
0
2π/6
14,4
3π/6
17,8
4π/6
17,3
5π/6
11,7
Jwb . f(x) = 11,733 – 7,733 cos 2x – 2,833 cos 4x + .. – 1,566 sin 2x – 0,116 sin 4x + …
Identitas Parseval
Bila deret Fourier dari f(x) konvergen uniform ke f(x) dalam interval ( -L , L ) maka :
2
L
2
a
1


f(x)
dx  0

L -L
2

( a
n
2
 bn )
2
Example.
Buktikan :
4
90

1

14
1
1
1
 4  4  ......
4
2
3
4
3
Bila diberikan :
x2

π2
(-1) n
=
 4  2 cos nx
3
n 1 n
1


 (f(x))
2

 
dx 
2

0
0
2
2 1 5
x dx 
x
 5 


4
0
2 5

5
2 4

5

a
-π < x < π
( f(x) = x2 ,

an 
2
atau a
3
4
n2
2 2
3

0
(1) n
2 4
1 2 2 2
  (
)
5
2. 3
2 4  2 2 

 
5
 3 
2
 16

1
n
4
1
1

2

16
n
4
1

2(9 - 5) 4
1
  16  4
45
1 n
4
90

1

14
1
1
1
 4  4  ......
4
2
3
4
Example.
Hitung
:
1

14
Penyelesaian :
4
1
 4 
90
1
4

1
 4 
90
1
4

1
 4 
90
1
4

1
 4 
90
1
1
1
1
 4  4  ......
4
3
5
7
1
24
1
34
1
34
1
34
1
34
1
 4
5
1
 4
5
1
 4
5

1
44
1
 4
7
1
 4
7
1
 4
7

 ......
1
1
1
1
.  4 .  4 .  4 .  ..
4
2
4
6
8
1 1
1
1
1
 ..... 4 ( 4 .  4 .  4 .  4 .  .. )
2 1
2
3
4
4
1 
 ..... 4 .(
)
2 90
 .....
)
4
4
1 4
1
1
1
.(
)  4 
 4 
4
4
90 2 90
1
3
5
4
4

1 
1
1
1
.(
)  4 
 4 
4
90 16 90
1
3
5
4

1
1
1
1
 4 
 4  4  .....
4
96
1
3
5
7
-
1
 .....
74
1
 .....
74

π2
(-1) n
Example. Diberikan deret :
=
 4  2 cos nx
3
n 1 n
1
1
1
1
Hitung

 2  2  ......
2
2
1
2
3
4
Untuk x = 0 didapat :

π2
(-1) n
0 =
 4  2 cos 0
3
n 1 n
2
π
1
1
1
1
 4( 2  2  2  2 
0 =
)
3
1
2
3
4
x2
, -π < x < π
π2
1
1
1
1
 ( 2  2  2  2  .. )
12
1
2
3
4
Example.
Diberikan deret :
1

12
Untuk x = π didapat :
Hitung

π2
(-1) n
=
 4  2 cos nx
3
n 1 n
1
1
1
 2  2  ......
2
2
3
4
x2
, -π < x < π

π2
(-1) n
cos nπ = (-1)n
 4  2 cos n
3
n 1 n
2
π
1
1
1
1
 4( 2  2  2  2 
π2 =
)
3
1
2
3
4
π2
1
1
1
1
 4( 2  2  2  2 
π2 )
3
1
2
3
4
π2
1
1
1
1
 ( 2  2  2  2 
)
6
1
2
3
4
π2 =
Example.

π2
(-1) n
 4  2 cos nx
3
n 1 n
1
1
1
1

 2  2  ......
2
2
1
3
5
7
Diberikan deret :
Hitung
x2 =
, -π < x < π
5
Dari hasil 2 soal terachir didapat :
π2
1
1
1
1
 ( 2  2  2  2 
)
6
1
2
3
4
π2
1
1
1
1
 ( 2  2  2  2  .. )
12
1
2
3
4
+
2π
π
1
1
1
1

 2( 2  2  2  2 
12
12
1
3
5
7
2
2
π2
1
1
1
1
 ( 2  2  2  2 
8
1
3
5
7
)
)
Soal soal .
sin x
sin 3x sin 5x



3

1
33
53
6
1
1
1
1
 6 
 6  6  ......
6
960
1
3
5
7
x( - x ) 
1. Diketahui
Buktikan :
8
(
)
.2. Dengan menggunakan soal diatas

Hitung
 n16
1
6
960
3. Diketahui
Hitung

1

16
1
1
1
1
 6  6  ...... - ( 6 
6
2
3
4
2
x( - x ) 
8
sin x
sin 3x sin 5x
 3 

3

1
3
53
1
1
1
1

 3  3  ......
3
3
1
3
5
7
(
TERIMA KASIH
1
1
1
 6  6
6
4
6
8
) , 0  x 
.. )