1
Pertemuan X
Mencari penyelesaian khusus :
Penyelesaian umum dari : F( Dx , Dy )z = Q( x , y )
… (A)
adalah :
Penyelesaian umum dari persamaan reduksi ( bila Q ( x,y ) = 0 )
+ salah
satu
penyelesaian khusus dari (A)
Mencari penyelesaian khusus :
1. Bila
Q ( x , y ) = eax+by
penyelesaian khusus adalah z =
1
eax  by
F ( Dx , Dy )
1
eax  by
F ( a , b)
2. Bila
Q ( x , y ) = cos ( ax + by ) atau sin ( ax + by )
penyelesaian khusus adalah z =
1
sin (ax  by )
F ( Dx , DxDy , Dy 2 )
2
=
3. Bila
1
sin (ax  by )
F (a , - ab , - b 2 )
2
Q ( x , y ) = xm yn …
penyelesaian khusus adalah z =
1
x m y n ....
F ( Dx , D y )
dilakukan
pembagian sehingga berbentuk a0 + a1 Dx + a2 Dx Dy + .. (
Binomial )
4. Bila
Q ( x , y ) = eax+by V( x , y )
penyelesaian khusus adalah
2
z = eax+by
1
V(x , y )
F ( D x  a, D y  b )
5. Untuk persamaan dari orde satu yang berbentuk
p – mq = Q( x , y )
z = ∫ Q( x , c - mx ) dx dimana c = y + mx
Contoh :
1 . Selesaikan persamaan differensial parsial :
3 z
3 z
 3 2
x3
x y
3 z
 4 3  e x  2y
y
…… (1)
Jawab :
m3 - 3 m2 + 4 = 0
……………….. ( A.E)
( m - 2 )2 ( m + 1 ) = 0 ,
m12 = 2 , m3 = -1
penyelesaian umum dari persamaan reduksi .
z = F( y + 2x ) + xG( y + 2x ) + H( y – x ) …. ( C.F )
penyelesaian khusus
z =
=
1
e x  2y
3
D x - 3 D x D y  4D y
3
2
1
1 3 - 3 .1 2.2  4.2 3
e
x  2y

1 x  2y
e
27
penyelesaian umum dari (1) adalah
z = F( y + 2x ) + x G( y + 2x ) + H( y – x ) +
1
e x + 2y
27
2 . Selesaikan persamaan differential parsial :
2z
2z

7
x y
x 2
Jawab
m2 - 7 m + 12 = 0
 12
2z
 ex - y
2
y
…… (1)
……………….. ( A.E)
(m-3)(m-4) = 0,
m1 = 3 , m2 = 4
3
C. F :
z = F( y + 3x ) + G( y + 4x )
penyelesaian khusus
z =
=
1
ex - y
2
D x - 7 D x D y  12D y
2
1
1
e x-y  e x-y
1  7  12
20
penyelesaian umum dari (1) adalah
z = F( y + 3x ) + G( y + 4x ) +
1
e
20
x-y
3 . Selesaikan Persamaan Diff Parsial :
3 z
3 z

2
x3
x 2 y
Jawab :
C. F
 2 e 2x  3y
…… (1)
m3 - 2 m2 = 0
……………….. ( A.E)
m2 ( m - 2 ) = 0 ,
m12 = 0 , m3 = 2
z = F( y ) + x G( y ) + H( y + 2x )
Penyelesaian Khusus
z =
=
1
3
2
Dx - 2 Dx Dy
2 e 2x 3y
1
1
2 e 2x  3y  - e 2x  3y
8 - 8.3
8
Penyelesaian Umum dari (1) adalah
z = F( y ) + x G( y ) + H( y + 2x ) -
1 2x  3y
e
8
4 . Selesaikan Persamaan Diff Parsial :
( Dx – 2Dy )2 ( Dx + 3Dy )z = e 2x + y
( m - 2)2 (m + 3 ) = 0
Jawab :
…… (1)
……………….. ( A.E)
m12 = 2 , m3 = - 3
C.F
z = F( y + 2x ) + x G( y + 2x ) + H( y - 3x )
Penyelesaian Khusus
4
1
e 2x  y
2
(D x  2D y ) ( Dx  3D y )
z =
1
(D x  2 Dy ) 2
z =
1
=
5
1 2x  y
e
5
 dx dx
e 2x  y

1
10
x 2 e 2x  y
Penyelesaian Umum dari (1)
z = F( y + 2x ) + x G( y + 2x ) + H( y - 3x ) +
5
1
10
x 2 e 2x  y
5 . Selesaikan Persamaan Diff Parsial :
3 z
3 z

7
x3
x y 2
- 6
3 z
 sin ( x  2y ) …… (1)
y 3
m3 - 7 m - 6 = 0
Jawab
……………….. ( A.E)
(m+1)(m+2)(m–3) = 0
m1 = -1 , m3 = -2 , m3 = 3
C.F
z = F( y - x ) + G( y - 2x ) + H( y + 3x )
Penyelesaian Khusus
z =
1
sin ( x  2y )
2
3
D x - 7 D x D y - 6D y
=
1
sin ( x  2y )
- D x  28 D x  24D y
=
1
sin ( x  2y )
 24D y
3
27D x
9D x - 8D y
=
1
3
(9D x ) 2 - (8D y ) 2
=
1
3
9 - 16
cos ( x  2y )
- 81  256
sin ( x  2y )
 -
1
cos ( x  2y )
75
Penyelesaian khusus dapat juga dilakukan sebagai berikut :
5
1
sin ( x  2y )
2
(D x  D y ) ( D x - D x D y - 6 D y )
2
1
1
1
sin ( x  2y ) 
sin ( x  2y )
(D x  D y ) ( - 1  2  24 )
(D x  D y ) 25
1
1
sin ( x  2( c  x ) ) dx 
sin ( 3x  2c ) dx

25
25 
 -
1
cos (3x  2c )
75
 -
1
cos ( x  2y )
75
Penyelesaian Umum dari (1)
z = F( y - x ) + G( y - 2x ) + H( y + 3x ) -
1
cos ( x  2y )
75
6 . Selesaikan Persamaan Diff Parsial :
2 z
2 z

2
x 2
x y

2 z
 sin x
y 2
m2 - 2 m + 1 = 0
Jawab
( m - 1 )2 = 0 ,
C.F
…… (1)
……………….. ( A.E)
m12 = 1
z = F( y + x ) + xG( y + x )
Penyelesaian Khusus
z =
1
Dx - 2 Dx Dy  Dy
2
2
sin x  - sin x
Penyelesaian Umum :
z = F( y + x ) + x G( y + x ) - sin x
6
7 . Selesaikan Persamaan Diff Parsial :
2z
2z
 3
x y
x 2
2z
 2 2  x  y …… (1)
y
m2 + 3 m + 2 = 0
Jawab
……………….. ( A.E)
( m +1 ) ( m + 2 ) = 0 ,
m1 = -1 , m2 = - 2
z = F( y - x ) + G( y - 2x )
Penyelesaian Khusus
1
(xy)
2
Dx  3 D x D y  2 D y
z =
2
=
Dx (1 
2
1
3D y
Dx
 2
Dy
2
Dx
2
(x  y )
2
3D y
Dy
1 
= 2 1 - (
 2 2 )  ..
Dx
D x 
Dx
=
1
3
( x  y )
2
Dx
Dx

1

D
1
2
x
2
( x  y - 3x ) 

 (x  y )

1

Dx
 (

dx
y - 2x ) dx dx
x
2
y -
1 3
x
3
Penyelesaian Umum :
z = F( y - x ) + G( y - 2x ) +
8 . Selesaikan Persamaan Diff Parsial :
Jawab
3 z
3 z
 2 2
x3
x y
m3 - 2 m2 = 0
1
2
x
2
y -
1 3
x
3
 3x 2 y …… (1)
……………….. ( A.E)
7
m2 ( m - 2 ) = 0 ,
C.F
m12 = 0 , m2 = 2
z = F( y ) + xG( y ) + H( y + 2x )
Penyelesaian Khusus
1
3x 2 y
2
Dx  2 D x D y
z =
3
1
=
3
Dx ( 1 -
=
=
1
Dx
3
( 1 
2D y
)
Dx
2D y
Dx
 ..
) 3x 2 y
3
2x 2
2
(
x
y

0)
Dx3
Dx
= 3  ( x 2 y 
=
3x 2 y
2 x2
Dx
1 5
1
x y 
x
20
60
) dx dx dx
6
Penyelesaian Umum dari (1)
z = F( y ) + xG( y ) + H( y + 2x ) +
1 5
1
x y 
x
20
60
6
9. Selesaikan Persamaan Diff Parsial :
3z
3z
3z
3z

 e x cos 2y …… (1)
3
2
2
3
x
x y x y
y
m3 + m2 – m – 1 = 0
Jawab
( m + 1 )2 ( m - 1 ) = 0 ;
C.F
……………….. ( A.E)
m12 = -1 dan m3 = 1
z = F( y - x ) + x G( y - x ) + H ( y + x )
Penyelesaian Khusus
8
z =
= ex
= ex
(D x
2
 Dy
2
1
(D x  D y ) (D x - D y )
2
e x cos 2 y
1
(D x  1  D y ) 2 (D x  1 - D y )
cos 2 y
1
cos 2 y
 1  2D x  2D y  2 D x D y )( D x - D y  1 )
= ex
= ex
= ex
= ex
=
z =
1
(-4  1  2D y )( - D y  1 )
cos 2 y
1
cos 2 y
( 2D y - 3 ) ( 1 - D y )
1
( 2D y - 2D y 2 - 3  3D y )
1
( 25D y  5 )
cos 2 y 
cos 2 y
1 x 1
e
cos 2y
5 Dy  1
1 x Dy - 1
1 ( - 2 sin 2 y - cos 2 y )
e
cos 2y  ex
2
5 Dy  1
5
-5
1
( 2 sin 2y  cos 2y ) e x
25
Penyelesaian Umum adalah :
z = F( y - x ) + x G( y - x ) + H ( y + x ) +
1
( 2 sin 2y  cos 2y ) e x
25
9
Soal-soal
1. Selesaikan : ( Dx3 - D x2 D y - 8 Dx Dy2 + 12 D y3 ) z = 0
Jwb . F( y + 2x ) + x G ( y + 2x ) + H ( y – 3x )
2 Selesaikan : ( D x 4 - 2 D x 2 D y2 + D y4 ) z = 0
Jwb . F1( y + x ) + x F2 ( y + x ) + G1 ( y – x ) + x G2 ( y – x )
3 Selesaikan : ( Dx2 – 8 Dx Dy + 15 Dy2 ) z = 0
Jwb . F ( y + 3x ) + G ( y + 5x )
4 Selesaikan :
 4 z  4z
x 4 y 4
 0
Jwb . z = F1 ( y + x ) + F2 ( y – x ) + G1 ( y + ix ) + G2 ( y
– ix )
3 z
 3z
5 Selesaikan :
- 4 2
x 3
x y
Jwb
 3z
 4
 2 sin ( 3x  2y)
x y 2
2
F1 ( y ) + F2 ( y + 2x ) + x F3 ( y + 2x ) + cos ( 3x + 2y )
3
IV – 87 Selesaikan :
2 z 2z
 sin x cos 2y
x 2 x y
Jwb . F1 (y ) + F2 ( y + x ) + ½ sin ( x + 2y ) -
1
sin ( x – 2y
6
)
2z
 2z
 2z
 2

 sin ( x 2y )
6 Selesaikan :
x y
x 2
y 2
1
Jwb . F1 ( y – x ) + x F2 ( y – x ) - sin ( x + 2y )
9
7 Selesaikan ( Dx 3 - 2 Dx 2 Dy ) z = 2 e 2x + 3 x2 y
Jwb . F1 ( y ) + x F2 ( y ) + F3 ( y + 2x ) +
+ x6 )
1
( 15 e 2x + 3 x5 y
60
10
8 Selesaikan : ( Dx 2 + 3 Dx Dy - 4 Dy 2 ) z = x + sin y
Jwb .
x3
sin y
F(y+x) + G(y–4x) +

6
4
9 Selesaikan : ( Dx 2 + Dx Dy - 6 Dy 2 ) z = y cos x
Jwb . F ( y + 2x ) + G ( y – 3x ) + sin x - y cos x
10
Selesaikan :
( Dx2 - Dx Dy - 2 Dy2 ) z = ( 2 x2 + xy - y2 ) sin xy - cos xy
Jwb . F (y + 2x ) + G ( y – x ) + sin xy
TERIMAKASIH