Matakuliah
Tahun
: K0124 / Matematika Teknik II
: 2006/2007
PERTEMUAN 16
PERSAMAAN CAUCHY I DAN
CAUCY II
1
A. Persamaan Diferensial Cauchy
Persamaan diferensial linier Cauchy berbentuk
n
n 1
d
y
d
y
dy
P0 x n n  P1 x n1 n 1  ....  Pn 1 x  Pn y  Q( x),
dx
dx
dx
di mana para
P0 , P1 ,...., Pn
adalah konstan.
2
Untuk menyeleseaikan p.d. tersebut, digunakan
substitusi x  e z dan didefinisikan D 
d
.
dz
Di dapat:
dy dy dz 1 dy
, xDy  Dy;


dx dz dx x dz
2

y dy  2 2
d
1
dy
1
d


2
D y 
  2  2  , x D y  D(D  1) y;
dz 
dx  x dz  x  dz
Dy 
.....
x r D r y  D(D  1)( D  2)....( D  r  1) y.
3
Dengan substitusi tersebut, p.d. di atas menjadi p.d.
linier dengan koeffisien-koeffisien konstan.
B. Persamaan Cauchy II
Persamaan diferensial linier Legendre berbentuk
n
n 1
d
y
d
y
dy
P0 (ax  b) n n  P1 (ax  b) n1 n 1  ....  Pn 1 (ax  b)  Pn y  Q( x)
dx
dx
dx
di mana para P0 , P1 ,..., Pn adalah konstan.
4
Untuk a  1 dan b  0, p.d. Legendre menjadi p.d.
z
ax

b

e
Cauchy. Digunakan substitusi
dan juga
didefinisikan
d
D .
dz
Didapat:
5
dy dz
a dy

, (ax  b) Dy  aDy;
dz dx ax  b dz
 d 2 y dy 
a2
2
2
2
2


D y

,
(
ax

b
)
D
y

a
D(D  1) y;
2 
2

(ax  b)  dz
dz 
Dy 
....
(ax  b) r D r y  a r D(D  1)( D  2)....( D  r  1) y.
Dengan substitusi tersebut, p.d. di atas menjadi p.d.
linier dengan koeffisien-koeffisien konstan.
6
TERIMA KASIH
7