Matakuliah
Tahun
: K0124 / Matematika Teknik II
: 2006/2007
PERTEMUAN 2
PERSAMAAN DIFERENSIAL
LINIER HOMOGEN
(dengan koefisien-koefisien konstan)
1
P.d berbentuk
dny
d n 1 y
d n2 y
dy
P0 n  P1 n 1  P2 n  2  ....  Pn 1  Pn y  0
dx
dx
dx
dx
(1)
di mana para Pj adalah konstan real dan P0  0.
dy
d 2 y dDy
Dengan menulis
 Dy , 2 
 D( Dy )  D 2 y dan seterusnya di mana
dx
dx
dx
operator D 
d
, maka (1) dapat ditulis sebagai
dx
( P0 D n  P1 D n 1  P2 D n  2  ....  Pn 1 D  Pn ) y  0.
(2)
2
Misalakan
P0 D n  P1 D n 1  P2 D n  2  ....  Pn 1 D  Pn  F ( D ),
(3)
maka (1) dapat berbentuk
F ( D ) y  0.
(4)
3
Contoh-contoh
d2y
dy
1.

3
 2 y  0, dapat ditulis sebagai
2
dx
dx
(D 2 y  3Dy  2 y )  ( D 2  3D  2) y  0.
Misalkan F ( D)  D 2  3D  2, maka p.d.
berbentuk
F ( D ) y  0.
4
2. Sebagai suku banyak (polynomial) dalam D,
D 2  3D  2  ( D  2)( D  1)  ( D  1)( D  2). Ternyata,
( D  2)( D  1) y  ( D  2)( Dy  y )  D( Dy  y )  2( Dy  y )
 D 2 y  Dy  2 Dy  2 y  D 2  3Dy  2 y  ( D 2  3D  2) y
dan juga
( D  1)( D  2) y  ( D  1)( Dy  2 y )  D( Dy  2 y )  1( Dy  2 y )
 D 2 y  2 Dy  Dy  2 y  D 2  3Dy  2 y  ( D 2  3D  2) y.
5
Secara umum dapat dibuktikan bahwa:
bila F ( D)  P0 ( D  m1 )( D  m2 )....( D  mn ), maka
F ( D) y  P0 ( D  m1 )( D  m2 )....( D  mn ) y
dengan urutan yang bisa ditukar. Persamaan
F ( D)  ( D  m1 )( D  m2 )....( D  mn )  0
disebut persamaan karakteristik dari p.d. (1). Akar-akar m1 , m2 ,..., mn disebut akarakar karakteristiknya.
Untuk menyelesaikan p.d. (1), ada beberapa cara, yaitu sebagai berikut:
6
A.
Semua akar-akar karakteristik
real dan berlainan
Penyelesaian umum dari p.d. (1) adalah:
y  C1e m1x  C2 e m2 x  ....  Cn e mn x .
Contoh
d 2 y dy
1. P.d.

 6 y  0 dapat ditulis sebagai
dx 2 dx
( D 2  D  6) y  ( D  2)( D  3) y  0.
Akar-akar karakteristiknya adalah 2 dan –3. P.u.nya adalah:
y  C1e 2 x  C2 e 3 x .
7
B.
Semua akar-akar karakteristik
real dan ada yang sama
Misalkan m1  m2  m3 sama sedangkan m1 , m4 ,..., mn
berlainan, maka p.u. dari p.d. (1) adalah:
y  C1e m1x  C2 xem1x  C3 x 2 e m1x  C4 e m4 x  ....  Cn e mn x .
8
Contoh-contoh
1. P.d.
d3y
d2y
dy

2

4
 8y  0
dx 3
dx 2
dx
( D3  2 D 2  4 D  8) y  0
( D  2)( D  2)( D  2) y  0
atau
atau
dapat
ditulis
( D  2)( D 2  4) y  0
( D  2) 2 ( D  2)  0.
sebagai
atau
Akar-akar
karakteristiknya adalah:
m1  2, m2  m1  2, m3  2.
Punya adalah:
y  C1e 2 x  C2 xe2 x  C3e 2 x .
9
2. P.d.
d3y
d2y
dy
3 2 3  y  0
3
dx
dx
dx
( D3  3D 2  3D  1) y  0
atau
dapat
ditulis
( D  1)3 y  0.
sebagai
Akar-akar
karakteristiknya adalah:
m1  m2  m3  1.
P.u.nya adalah:
y  C1e x  C2 xex  C3 x 2 e x .
10
C.
Di antara akar-akar karakteristik
m1 , m2 ,...., mn ada a  bi, b  0 (1 pasang)
Misalkan
m1  a  bi, m2  a  bi dan m3 , m4 ,..., mn
adalah real dan
berlainan, maka p.u. dari p.d. (1) adalah:
y  e ax (C1 cos(bx)  C2 sin( bx))  C3e m3 x  C4 e m4 x  ....  Cn e mn x .
11
Contoh-contoh
1. P.d.
( D 2  2 D  10) y  0 dapat ditulis sebagai ( D  m1 )( D  m2 ) y  0, di
mana m1, 2  (2  4  40 ) / 2  1  3i. Jadi p.u. dari p.d. tersebut adalah:
y  e x (C1 cos(3x)  C2 sin( 3x)).
3
2
2. P.d. ( D  4 D) y  0 atau D( D  4) y  0, akar-akar karakteristiknya adalah:
m1, 2  2 dan m3  0, sehingga p.u. dari p.d. tersebut adalah:
y  e0 x (C1 cos( 2 x)  C2 sin( 2 x))  C3e0 x
 C1 cos(2 x)  C2 sin( 2 x)  C3 .
12
TERIMA KASIH
13