Matakuliah : K0094 – Analisis Real
Tahun
: 2008/2009
Kekontinuan Uniform
Pertemuan 06
Sasaran
Pengkajian mengenai Kekontinuan Uniform. Juga
dikaji cotoh-contoh dan latihan soal-soal yang
berbobot dan menarik.
Bina Nusantara
Pokok Bahasan
Kekontinuan Uniform
Bina Nusantara
Teorema
Untuk fungsi f: D  R dan titik x0 dalam D, dua
pernyataan di bawah ini adalah ekivalen.
(i) Fungsi f: D  R kontinu di x0.
(ii) Untuk setiap >0 terdapat >0 sedemikian hingga
|f(x)-f(x0)| < untuk semua titik – titik x dalam D di
mana |x – x0|<.
Bina Nusantara
Gambar
y
y=f(x)

y=f(x0)
0
Bina Nusantara

x0- x0 x0
x
Contoh
Diberikan f(x) = x3 dari R ke R. Akan dibuktikan bahwa fungsi f
kontinu di x0=2 menggunakan kriteria  -  . Ambil sebarang  >
0. Maka
|x3 – 8|
= |(x-2) (x2+2x+4)|
 |x-2| ( |x|2 + 2|x| + 4 ) untuk semua x dalam R.
Tetapi,
|x|2 + 2|x| + 4  19 untuk 1 < x < 3
sehingga
|x3-8|  19|x-2| bila 1 < x < 3.
Ambil =min {1,  /19 }. Bila |x-2|< maka x dalam interval (1,3)
dan 19|x-2|< sehingga |x3–8|<. Jadi f kontinu di x0=2.
Bina Nusantara
Definisi
Fungsi f: D  R disebut kontinu uniform bila untuk
setiap >0 terdapat  > 0 sedemikian sehingga |f(u)
– f(v)|< untuk semua titik – titik u dan v dalam D di
mana |u-v|<.
Jelas bahwa fungsi f: D  R kontinu uniform bila
dan hanya bila f kontinu dan untuk setiap x0 dalam
D, pemilihan =() tidak bergantung pada titik x0
dalam D.
Bina Nusantara
Contoh
Fungsi f(x) = x3 dari [0,20] ke R adalah kontinu
uniform, karena:
|f(u)–f(v)| = |u2+uv+v2| |u–v|1200|u–v| di mana u,v
dalam [0,20].
Bila diambil >0, maka =()= /1200 memenuhi.
Bina Nusantara
Gambar
y
f(u /2 )-f(u )= 1 /u > 1
Y =1 /x
0 u/2 u 
Bina Nusantara
x
Contoh
Fungsi f(x)=1/x dari (0,1) ke R adalah kontinu. Tetapi tidak
kontinu uniform. Ambil 0=1. Andaikan terdapat
>0 sedemikian sehingga
1 1
  1 untuk semua u dan
u v
v dalam (0,1) di mana |u-v|<. Ambil u dalam (0,1), 0 < u < , v
=
1
u
Maka |u–v| = u/2 <, tetapi |f(u) - f(v)|=
>1. Jadi f tidak
u
2
kontinu uniform.
Bina Nusantara
Teorema
Misalkan fungsi f:[a,b] R kontinu. Maka f adalah
kontinu uniform.
Bina Nusantara