Mata Kuliah
Tahun
: K0194-Pemodelan Matematika Terapan
: 2008
Aplikasi Model Markov
Pertemuan 22:
Bina Nusantara
Learning Outcomes
• Mahasiswa akan dapat menghitung matriks
transisi dan perhitungan keseimbangan..
Bina Nusantara
Outline Materi:
•
•
•
•
Bina Nusantara
Matriks Transisi
Kondisi Keseimbangan
Aplikasi model Markov
Contoh penerapan
Andrei Markov (1856-1922)
Paul Eherenfest: Diffusion model, early 1900s
Statistical interpretation of the second law of thermodynamics:
The entropy of a closed system can only increase.
Proposed the “Urn Model” to explain diffusion.
Albert Einstein, 1905
Realized Brownian motion would provide a magnifying
glass into the world of the atom. Brownian motion has
been extensively modeled by Markov Chains
Bina Nusantara
Bina Nusantara
Particles are separated by a semipermeable membrane, which they
can pass through in either direction.
Suppose that there are N black
particles inside the membrane, and N
white particles outside the membrane.
Each second, one random molecule
goes from outside the membrane to
inside, and vice versa.
Osmosis
Bina Nusantara
There are N+1 states, given by the
number of white molecules inside.
Bina Nusantara
0
1
2
3
5 molecules
Bina Nusantara
4
5
N
molecules
Bina Nusantara
N molecules
Bina Nusantara
If this process runs for a while, an interesting question is:
How much time, on average, is the process in each state?
A Markov chain with transition matrix P is said to be regular
if some power of P has all positive entries for some n. In a
regular Markov chain, it is possible to get from any state to
any other state in n steps.
The Markov chain for our osmosis process is regular. Even
starting with all black particles inside, if a white particle
entered at every step, then the process would pass from zero
white inside through all possible states.
Bina Nusantara
Contoh Aplikasi
Persoalan peralihan merk adalah persoalan yang sering terjadi
dalam dunia perdagangan yang disebabkan oleh karena para
pelanggan pindah dari satu merk kepada merk yang lain. Peralihan
para pelanggan timbul karena iklan, promosi tertentu, harga,
ketidakpuasan dan lain sebagainya. Analisis rantai Markov yang
dipakai untuk menyelesaikan persoalan ini telah banyak digunakan
sebagai alat diagnosis untuk mengusulkan rencana-rencana strategi
pasar. Tabel berikut ini menggambarkan tingkah laku peralihan
merk dari 1000 pelanggan untuk 4 merk dagang, masing masing
merk 1,2,3 dan 4 sbb:
Bina Nusantara
Merk (i)
Minggu
pertama
A
Beralih selama satu periode
Minggu
kedua
tambah
kurang
220
50
45
225
B
300
60
70
290
C
230
25
25
230
D
250
40
35
255
1000
175
175
1000
Selajutnya dari hasil survey konsumen diperoleh informasi pola perpindahan merk sbb:
-Diantara 220 pembeli merk A, 175 loyal, 20 ke Merk B ,10 ke Merk C, 15 ke Merk D
-Diantara 300 pembeli merk B, 230 loyal, 40 ke Merk A, 5 keMerk C, 25 keMerk D dst..
Bina Nusantara
Lengkapnya dapat dilihat pada tabel berikut :
Perioda I
Jl.pelamggan
Merk (i)
A
B
C
D
220
300
230
250
1000
Mendapatkan
dari
Kehilangan
dari
A
B
C
D
A
B
C
D
0
0
10
15
40
0
5
25
0
25
0
0
10
15
10
0
0
40
0
10
20
0
5
15
10
5
0
10
15
25
0
0
Minggu
k
e
d
u
a
225
290
230
255
1000
Langkah berikutnya merubah pergantian merk yang dilakukan para pelanggan agar seluruh
‘mendapatkan’ & ‘kehilangan’ menjadi bentuk probabilitas transisi berikut, tanda panah yg
menuju kedalam menunjukkan kenaikan, tanda panah yang menuju keluar menunjukkan
kehilangan.
Bina Nusantara
0,091
A 0,767
B
0,133
0
0,046 0,017
0,109
0,06
0,083
0,891
C
0,04
Secara matematik dapat di buat sebagai berikut :
Mendapatkan
Dari:
Merk
Merk
( Baris)
------------------------------ ----------------------------------------  mendapatkan.
ke
A
B
C D
A
B
C
D
A
175 40
0 10 225
0,796
0,133
0,000
0,040
B
20 230 25 15 290
0,091
0,767
0,109
0,060
C
10 5 205 10 230
0,046
0,017
0,891
0,040
D
15 25
0 215 235
0,067
0,083
0,000
0,860
220 300 230 250
kehilangan
(kolom)
Tabel : Matriks Probabilitas Transisi
Bina Nusantara
0,860
D
Selanjutnya menghitung kemungkinan market share di waktu yang akan datang. Market share
diperoleh dengan mangalikan matriks probabilitas transisi dengan market share pada periode I
Probabilitas transisi
A
B
C
 0,796 0,133 0,000

 0,091 0,767 0,109
 0,046 0,017 0,891

 0,067 0,083 0,000

A
Market share
Periode I
D
0,040 

0,060 
X
0,040 

0,860 
B
C
 0,22 
 0,225 




 0,30 
 0,290 
=
 0,23 
 0,230 




 0,25 
 0,255 




D
 0,6484 0,2112 0,0145 0,0742 


0
,
1513
0
,
6073
0
,
1808
0
,
1056


 0,0818 0,0375 0,7957 0,0729  X


 0,1185 0,1440 0,0090 0,7473 


Bina Nusantara
Market share
Periode II
 0,22 
 0,228 




0
,
30
0
,
283




=
 0,23 
 0,231 




 0,25 
 0,258 




A
 0,796

 0,091
 0,046

 0,067

B
C
D
0,040 

0,767 0,109 0,060 
X
0,017 0,891 0,040 

0,083
0
0,860 
0,133
0
 0,22 


0
,
30


 0,23  = Equilibrium Market Shave


 0,25 


Secara determinan dapat ditentukan harga A,B,C dan D sebagai berikut :
Bina Nusantara
A=
 0,00240
 22,8%
 0,01052
B=
 0,00282
 26,8%
 0,01052
C=
 0,00249
 23,7%
 0,01052
D=
 0,00281
 26,7%
 0,01052
Bina Nusantara