Matakuliah
Tahun
: K0124 / Matematika Teknik II
: 2006/2007
PERTEMUAN 20
PERSAMAAN KONDUKSI
PANAS
(DUA DIMENSI)
1
Bentuk umum dari persamaan diferensial parsial
konduksi panas adalah:
u x, y, z , t 
  2 u  x, y, z , t ,
t
di mana
2
2
2



2  2  2  2
x
y
z
(operator Laplace)
2
ux, y, z, t  adalah suhu benda (pejal) di titik
x, y, z pada waktu
t

= konstanta difusi = K  dengan
K
= Konduktivitas termal.  = panas khas,

= density (massa per unit volume).
3
Persamaan konduksi panas diatas dari tiga dimensi.
Bila u  x, y, t  maka persamaannya dari dua
dimensi yaitu
u x, y, z , t 
  2 u  x, y, t 
t
4
dimana  u x, y, t  =
2
 2 u  x, y , t   2 u  x , y , t 

2
x
y 2
5
TERIMA KASIH
6
PERTEMUAN 21
PERSAMAAN PANAS DIMENSI
DUA
7
Tentukan suhu pada keadaan setimbang di setiap titik
(x, y), 0  x  a, 0  y  b, dengan syarat – syarat
batas:
u(0, y) = 0, u(a, y) = 0, u(x, 0) = 0, u(x, b) = f(x).
8
Solusi:
y
b
f(x)
0
0
x
0
0
a
9
Misal u( x, y)  F1 ( x) F2 ( y) adalah jawabannya, yaitu
memenuhi
 2u  2u
 2 0
2
x
y
dan syarat – syarat batas
u(0, y) = u(a, y) = u(x, 0) = 0 &
u(x, b) = f(x).
10
Substitusi u( x, y)  F1 ( x) F2 ( y) ke p.d.p. i atas
diperoleh F1'' ( x) F2 ( y)  F1 ( x) F2'' ( y)  0.
11
Sehingga didapat
F1'' ( x) F2'' ( y )

 K 2 ,
F1 ( x) F2 ( y )
''
2
F
(
x
)

K
F1 ( x)  0
atau 1
dan
F2'' ( y)  K 2 F2 ( y)  0.
12
Dengan menyelesaikan dua persamaan diferensial
biasa linier tingkat dua homogen tersebut, dapat
diperlihatkan bahwa :



 
a
2

 nx    nx 
 ny 
u ( x, y )   
f
(
x
)
sin
dx
sin
sinh





.


0
 nb 
 a    a 
 a 
n 1 
a sinh 



a


13
TERIMA KASIH
14