Matakuliah
Tahun
: K0124 / Matematika Teknik II
: 2006/2007
PERTEMUAN 23
PROBLEM SOLVING
1
u
 u
Selesaikan : t  2 x 2 ,0  x  3, t  0,
2
Dengan syarat – syarat batas
u (0, t )  u (3, t )  0 dan
u ( x,0)  5 sin( 4x)  3 sin( 8x)  2 sin( 10x),
ux, t   M , M  Konstan positif
2
Solusi:
'
"


u
x
,
t

X
T
XT

2
X
T dan
Ambil
 x  t  . Maka
X " X  T ' 2T .
Ruas kiri dan ruas kanan haruslah konstan, yaitu
2

(bila diambil tak akan memenuhi
ux, t   M ,   R ).
 2
3
ux, t   M ,   R ). Sehingga didapat
X "  2 X  0, T '  22T  0 .
Dengan jawaban – jawaban
22t
X  A1 cosx  B1 sin x, T  c1e
4
Jadi jawaban dari p.d.p. di atas adalah
u( x, t )  XT  c1e
e
22t
22t
 A1 cosx  B1 sin x .
 A cosx  B1 sin x.
Karena u0, t   0, e
u( x, t )  Be
22t
22t
 A  0, A  0. . Sehingga
sin x.
5
Karena u3, t   0, Be
22t
sin 3   0 . Bila B  0
Jawabannya identik dengan nol, sehingga
sin 3   0,3  m ,   m 3, m  0,1,2,
Jadi u ( x, t )  Be
 2 m 2 2 t 9
 mx 
sin 
 adalah jawabannya.
 3 
6
Dengan Prinsip Superposisi
3
u ( x, t )   B j e
2 m 2 2 t 9
j 1
 m j x 

sin 
 3 
Juga merupakan jawaban
Kemudian
 m jx 
  5 sin 4x   3 sin 8x   2 sin 10x .
u( x,0)   B j sin 
j 1
 3 
3
Diperoleh B1  5, m1  12, B2  3, m2  24, B3  2, m3  30
Jadi jawaban yang diminta adalah (bounded):
u( x, t )  5e 32 t sin 4x  3e 128 t sin 8x  2e 200 t sin 10x
2
2
2
7
TERIMA KASIH
8
PERTEMUAN 24
PROBLEM SOLVING
9
Selesaikan :
u
u
x
3 2
 0, u x,0  4e
x
y
10
Solusi:


u
x
,
y

X
Y

x

y
Ambil
11
Maka:
'
'
3X
2Y
3 X Y  2 XY  0,

X
Y
'
'
12
Ruas kiri dan ruas kanan haruslah konstan yaitu c ,
sehingga didapat
3X '
 c,3 X '  cX  0, X  Ae cx 3 dan
X
2Y '
 c,2Y '  cY  0, Y  Be cy 2
Y
13
Jadi jawaban p.d.p. diatas adalah
ux, y   XY  ABe
cx 3cy 2
 Ke
cx 3cy 2
14
Jadi jawaban yang diminta adalah (bounded):
u( x, t )  5e
32 2t
sin 4x  3e
128 2t
sin 8x  2e
200 2t
sin 10x
15
TERIMA KASIH
16