Matakuliah
Tahun
Versi
: K0074/Kalkulus III
: 2005
: 1/0
Pertemuan 16
TURUNAN BERARAH DAN GRADIEN
1
Learning Outcomes
Pada akhir pertemuan ini, diharapkan
mahasiswa akan mampu menentukan
derivatif berarah dan gradien dari medan
skalar
2
Outline Materi
• Derivatif Berarah dan Gradien
– Derivative berarah dari medan skalar
– Gradien dari medan skalar
3
TURUNAN BERARAH DAN GRADIEN
Jika f fungsi dua peubah yang dapat
didiferensialkan di p =(a, b) maka
f (a, b)  f x (a, b)i  f y (a.b) j
disebut vektor gradien dari f di titik (a,b)
4
Jika f fungsi tiga peubah yang dapat
didiferensialkan di p =(a, b,c) maka
f (a, b, c)  f x (a, b, c)i  f y (a.b.c)  jf z (a, b, c)k
disebut vektor gradien dari f di titik (a,b,c)
5
Contoh:
Jika f ( x, y )  xe y  x 2 y carilah gradien f di (2,0)
Jawab :
f x ( x, y )  e  2 xy  f x (2,0)  e  0  1
y
0
f y ( x, y )  xe  x  f y (2,0)  2e  2  6
y
2
0
2
Jadi f (2,0)  i  6 j
6
Contoh:
Jika f ( x, y, z )  x sin z  x 2 y carilah gradien f di (1,2,0)
Jawab :
f x ( x, y, z )  sin z  2 xy  f x (1,2,0)  0  4  4
f y ( x, y, z )  x  f y (1,2,0)  1
2
f z ( x, y, z )  x cos z  f z (1,2,0)  1
Jadi f (1,2,0)  4i  j  k
7
8
9
Andaikan f dapat didiferensialkan di (a,b,c),
maka turunan berarah di (a,b,c) pada arah
vector satuan
adalah
u  u1i  u2 j  u3k
Du f (a, b, c)  u1 f x (a, b, c)  u2 f y (a, b, c)  u3 f z (a, b, c)
Contoh:
10
11
Contoh:
Carilah turunan berarah dari fungsi f(x,y,z)=xy sin z di
titik (1,2,p/2) pada arah vektor a  i  2 j  2k
Jawab:
a  1  4  4  3, vektor satuan dalam arah a
1 2
2
adalah u  i  j  k
3 3
3
p
p
p
p
f x ( x, y, z )  y sin z  f x (1, 2, )  2sin  2
2
2
f y ( x, y, z )  x sin z  f y (1, 2, )  1sin  1
2
2
p
p
f z ( x, y, z )  xy cos z  f x (1, 2, )  2cos  0
2
2
12
maka
p
1
2
4
Da f (1,2, )  ( )(2)  ( )(1)  0 
2
3
3
3
13
14
15
TERIMA KASIH
16