SUBGRUP NORMAL &
GRUP KUOSIEN
TUJUAN
• Mahasiswa akan dapat memberi contoh
koset, subgrup normal dan grup faktor
Cakupan
– Subgrup normal
– Grup Kuosien
SUBGRUP NORMAL
• Subgrup (N,) dari grup (G,) disebut
normal, jika untuk setiap xG dan
setiap nN berlaku xnx1  N.
• Atau: Subgrup (N,) dari grup (G,)
disebut normal, jika untuk setiap xG
dan setiap nN berlaku xNx1 = N.
Sifat-sifat
• Subgrup (N,) dari grup (G,) normal,
jika dan hanya jika koset kiri = koset
kanan.
• Irisan dua subgrup normal adalah
subgrup normal juga.
Contoh-contoh: Mana yang
subgrup normal?
1. G={a,a2,a3,a4=e}, H = {e,a2},
perkalian
2. G={1,1, i, i}, H = {1, 1} dengan
perkalian
3. G={0,1,2,3,4,5}, H = {0, 3} dengan
penjumlahan modulo 6.
4. G={1,2,3,4,5,6}, H={1,6} dengan
perkalian modulo 7.
5. G={1,2,3,4,5,6}, H={1,2,4} dengan
perkalian modulo 7.
operasi
operasi
operasi
operasi
operasi
GRUP KUOSIEN (GRUP FAKTOR)
• Jika (G,) grup dan (N,) adalah
subgrup normalnya, maka himpunan
semua
koset
kanan/kiri
akan
membentuk grup lagi dengan operasi
perkalian koset. Grup ini disebut grup
kuosien atau grup faktor G/N.
• Perkalian koset: (Na)  (Nb) = N(ab)
Contoh-contoh:
Cari grup kuosiennya (bila ada)
1. G={a,a2,a3,a4=e}, H = {e,a2}, operasi
perkalian
2. G={1,1, i, i}, H = {1, 1} dengan
operasi perkalian
3. G={0,1,2,3,4,5}, H = {0, 3} dengan
operasi penjumlahan modulo 6.
4. G={1,2,3,4,5,6},
H={1,6}
dengan
operasi perkalian modulo 7.
5. G={1,2,3,4,5,6},
H={1,2,4}
dengan
operasi perkalian modulo 7.
6. G = himpunan bilangan bulat, H =
himpunan bilangan bulat kelipatan 5,
dengan operasi penjumlahan
Penutup
– N=Subgrup normal, jika untuk setiap xG dan
setiap nN berlaku xNx1 = N.
– Grup Kuosien adalah himpunan semua koset
kiri/kanan dari subgrup normal N