POLINOMIAL ATAS FIELD
TUJUAN
• Mahasiswa
akan
dapat
mendemonstrasikan operasi polinomial
dan menghitung akar-akar polinomial
Cakupan
– Polinomial atas field
– Polinomial monik
– Akar-akar
– Revisi untuk UAS
POLINOMIAL ATAS FIELD
• Teorema: Suatu polinomial (deg1) atas
field F dapat ditulis sebagai produk
sejumlah polinomial irreducible yang
monik, secara unik, kecuali urutannya.
Contoh
•
•
Faktorkan x5+5x4─15x3─85x2─26x+120
Faktorkan 3x4–3x2–6 atas field bilangan
rasional, lalu atas field bilangan riil,
akhirnya atas field bilangan kompleks.
TEOREMA
• Jika m adalah bilangan asli terbesar
sehingga (x–c)m habis membagi f(x), maka
c disebut akar kelipatan m.
• Contoh: Carilah kelipatan tiap akar dari
f(x)=x3–x2–x+1.
• Contoh: Juga dari f(x)= x5 – 4x4 + 4x3
TEOREMA
• Setiap polinomial f(x) (deg=n1) atas field
riil mempunyai maksimal n buah akar.
• Setiap polinomial f(x) (deg=n1) atas field
kompleks mempunyai tepat n buah akar.
Contoh:
• Carilah akar-akar x2–2 dan x2+1 dalam
field rasional, riil, dan kompleks.
TEOREMA
• Jika f(x)= a0+a1x+a2x2+ …. + anxn, ai
bilangan bulat, maka akar rasional dari f(x)
diperoleh dari “pembagi a0 dibagi dengan
pembagi an”.
Contoh:
• Carilah akar-akar rasional dari f(x)=2–3x–
8x2+12x3.
• Juga dari f(x)=x3–x2–5x+5.
TEOREMA
• Jika (a+b.i) adalah akar polinomial f(x)
atas field kompleks, maka (a–b.i) juga
akar dari f(x). Bukti?
• Contoh: Carilah akar-akar dari f(x)=x3–
x2+2x–2=0 atas field kompleks.
• Contoh: Juga dari f(x) = x3 – 8x2 + 20x
Penutup
– Polinomial atas field: polinomial dengan
koefisien-koefisiennya elemen field.
– Polinomial
monik:
koefisien
variabel
berpangkat tertinggi = 1
– x=c adalah akar polinomial, jika f(c)=0.
Polinomial berderajat n atas field kompleks
akan mempunyai maks n buah akar.
– Revisi untuk UAS