Matakuliah
Tahun
: K0034 / Aljabar Linear Terapan
: Februari 2007
Determinan dan Invers Matriks
Pertemuan 5
1
Matriks kofaktor dan Matriks adjoint
K11 K12 K13 .. K1n 


K = K21 K22 K23 .. K2n 
K n1 K n2 K n3 .. K mn 
disebut matriks kofaktor dari matriks A
2
Matriks kofaktor ditranspose akan menjadi
matriks adjoint A n x n
adj (A) = Kt
Mencari invers dengan matriks adjoint
1
A =
. adj (A)
A
-1
3
Untuk Matriks A ordo 2x2 dapat diturunkan sbb:
 a11 a12 
 a22  a12 
1
-1
A
, buktikan A  a .a  a .a . a
, dimana A  0
a
a
a
21
11 
 21 22 
11 22
12 21 
Bukti :
A  a11.a22  a12.a21
4
p
Misalkan A  
r
A.A1  I
1
q
s

 a11 a12   p q  1 0

a




 21 a22   r s  0 1
 a11 p  a12 r a11q  a12 s  1
 a p  a r a q  a s   0

22
21
22 
 21
0
1
5
a11 p  a12 r  1
a11q  a12 s  0
a21 p  a22r  0
a21q  a22 s  1
a11 p  a12r  1 xa22  a11a22 p  a12a22r  a22
a21 p  a22r  0 xa12  a12a21 p  a12a22r  0 
a11a22  a12a21  p  a22
a22
p
a11a22  a12 a21
6
a11 p  a12r  1 xa21  a11a21 p  a12a21r  a21
a21 p  a22r  0 xa11  a11a21 p  a11a22  0 
a12a21  a11a22 r  a21 x  1
a11a22  a12a21 r  a21
 a21
r
a11a22  a12 a21
7
a11q  a12 s  0 xa22  a11a22q  a12a22 s  0
a21q  a22 s  1 xa12  a12a21q  a12a22 s  a12
a11a22  a12a21 q  a12
 a12
q
a11a22  a12 a21
8
a11q  a12 s  0 xa21  a11a21q  a12a21s  0
a21q  a22 s  1 xa11  a11a21q  a11a22 s  a11
a12a21  a11a22 s  a11x  1
a11a22  a12a21 s  a11
a11
s
a11a22  a12 a21
9
p
Jadi A  
r
-1
a22

q   a11a22  a12 a21


 a21
s 
 a11a22  a12 a21
 a12

a11a22  a12 a21 

a11

a11a22  a12 a21 
 a22  a12 
1
A 
a11a22  a12a21  a21 a11 
-1
Terbukti 
10
Contoh 1 :
1 2
-1
A
,
tentukan
A
!

3 4
Solusi :
A 
1 2
3 4
 2
 2 1 
4

2


1
1
1
A -1 
adj A  
 1


 
A
 2  3 1  1
2
 2
11
Contoh 2 :
2 0
A  3 1
1 0
Solusi :
1
0, tentukan A -1!
1
K11   1
1
0
0
1
K12   1
3
0
1
1
3
1
1
0
11
1 2
K13   1
1 3
  1  0   1
 3  0   3
  0  1  1
12
K 21   1
2 1
0 1
0 1
K 22   1
2 2
K 23   1
23
K 31   1
31
2 1
1 1
2 0
1
0
0 1
1 0
K 32   1
2 1
K 33   1
2 0
3 2
3 3
3 0
3 1
0
 2  1  1
0
 0  1  1
 0  3  3
 2  0   2
13
A  a11K11  a12 K12  a13K13
A  2 1  0  3  1 1
A  2  0 1  1
14
Matriks Kofaktor :
 K11 K12
K  K 21 K 22
K 31 K 32
Matriks Adjoint
K13   1  3  1
K 23    0
1
0 
K 33   1 3
2 
:
 1  3  1  1 0
adj A   K t   0
1
0    3 1
 1 3
2    1 0
t
 1
3 
2 
15
1
A 
.adj A 
A
-1
1 0
1
-1
A   3 1
1
  1 0
 1  1 0


3    3 1
2    1 0
 1

3
2 
16
Tentukan invers matriks dari A dengan :
a. A.A -1  1
b. OBE
c. Cara kofaktor
1.
2.
2
A  
1

0
3
A  
1

2
1
1
1
4
0
5
0
1

3

Jawab : A -1 
 1
3 

 4

Jawab : A -1 
17
3.
4.
5.
1
A
- 1

0
0
1
1
1
1

0

1
1
A
1

1
0
0
2
2
0
4
2
4
1
A
3

2
2
3
8

4

4
3
Jawab : A -1 
0
0

0

8
Jawab : A -1 
Jawab : A -1 
18
6.
7.
8.
4
A  2
1
2
A  0
1
2
A  1
1
2
1
2
3
4
1
1
2
3
1
6 
4
- 4
2 
5 
3
1
1
Jawab : A -1 
Jawab : A -1 
Jawab : A -1 
19
9.
3 2 1 
A  2 1 2
1 3 1 
1 -1 2 
2
1

3
2

3

10. A  
 1 2
1  1


 2  3 1 4 
Jawab : A -1 
Jawab : A -1 
20