Matakuliah
Tahun
: K0034 – Aljabar Linier Terapan
: Feb-2007
SISTEM PERSAMAAN LINIER
( S.P.L )
1
Konsepsi SPL
Batasan
♦ Persamaan linier dalam dua variabel
• Sistem koordinat kartesian
• Persamaan garis lurus
♦ Persamaan linier dalam n variabel
• Bentuk umum
• Jawab persamaan linier
• Himpunan jawab
Jawab Tunggal dan Jawab Banyak
S.P.L
KONSISTEN
(Mempunyai Jawab)
JAWAB TUNGGAL
TIDAK KONSISTEN
(Tidak mempunyai jawab)
JAWAB BANYAK
3
SPL Dalam Matriks
• Bentuk umum SPL
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
.
.
.
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
aij , bi tetapan-tetapan SPL
4
xj variable SPL
( i = 1,2,...,m ; j = 1,2,...,n)
• Jawab SPL
Barisan p1, p2, ... , pn suatu jawab SPL jika :
a11p1 + a12p2 + ... + a1npn = b1
a21p1 + a22p2 + ... + a2npn = b2
.
.
.
am1p1 + am2p2 + ... + amnpn = bm
5
• SPL dalam bentuk matriks
a 11 a 12 ... a 1n 
a a

...
a
2n 
 21 22
 .



 .

 .



a m1 a m2 ... a mn 
 X1
X
 2
 .

 .
 .

X n

 b1 

b 

 2

 . 
 =  

 . 

 . 

 

b m 
6
• SPL dalam bentuk matriks lengkap
a 11 a 12 ... a 1n b1 
a a

... a 2n b 2
 21 22

 .
. 


. 
 .
 .
. 


a m1 a m2 ... a mn b m 
7
Mencari Jawab SPL
* Operasi Tanpa Mengubah Jawab
• Mempertukarkan letak persamaan
• Mengalikan suatu pers. dengan bilangan <>
0
• Menambah / mengurangkan suatu pers.
dengan kelipatan pers. lain
8
•
Metode Penentuan Jawab SPL
• Eliminasi Gauss
a. Membentuk matriks lengkap SPL
b. Mengubah matriks lengkap menjadi matriks
eselon dengan sejumlah OBE
c. Mendapatkan jawab SPL
• Eliminasi Gauss - Jordan
a. Membentuk matriks lengkap SPL
b. Mengubah matriks lengkap menjadi matriks
eselon tereduksi dengan sejumlah OBE
9
c. Mendapatkan jawab SPL
Untuk penyelesaian n persamaan dari n varibel
( A ⋅ x = B ) dapat diselesaikan dengan empat
cara,yaitu :
1. Dengan eliminasi biasa.(telah dipelajari di
SLTP dan SLTA)

 (I x)
2. Dengan cara OBE : ( A B) OBE
3. x  A1. B
Aj
4. Aturan Cramer : x j 
A
Dalam hal ini penulis menggunakan cara
kedua(Cara OBE).
10
Persyaratan Sistem Persamaan
Linear :
A.x  B dimana : A = Matriks koefisien
(harus matriks bujur
sangkar)
x
= Matriks variabel
(berbentuk matriks
kolom)
B = Matriks suku tetap
(berbentuk matriks
kolom)
11
Dalam penyelesaian SPL ini, penulis
menggunakan cara OBE (operasi baris
elementer):
( A B) 
 (I x)
OBE
Contoh:
1) Tentukan SPL dibawah ini!
2 x1  3x2  4
3x1  5 x2  13
12
a. Dengan Cara Eliminasi di SLTP dan SLTA
2 x1  3 x2  4 x3  6 x1  9 x2  12
3 x1  5 x2  13 x 2  6 x1  10 x2  26 
 19 x2  38
x2 
 38
2
 19
3 x1  5 x2  13
3 x1  52   13
3 x1  10  13
3 x1  13  10
3 x1  3
x1 
3
1
3
Jadi
x1  1
x2  2
13
 (I x)
b. Dengan cara OBE : ( A B) 
OBE
2 x1  3x2  4
3x1  5 x2  13
2  3  x1   4
3 5   x    13 

  2  
A. x  B
( A B) OBE

 (I x)
3


 2
3
1



b
 
2
2

3

4

2

2




1

b21 ( 3)
 19 
2















2 13
3 5 13 
19 19
3 5





0


2


1
b1  
2
14
3  2 b12  3  1 0 1 x  1

1
2
1  2
 


0 1 2 x2  2
0 1 2 



c. Dengan cara : x  A1 . B
2  3  x1   4
3 5   x    13 

  2  
A. x  B
 x1 
2  3
  4
dim ana : A  
, x    dan B   

3 5 
 13 
 x2 
15
1
A 
adj ( A)
A
1
1
A 
2 x5   3x3
1
maka
 5 3 1  5 3
 3 2  19  3 2




x  A1. B
1  5 3  4 1  5 4   313 
x 
 



19  3 2  13  19  3 4  213
1  20  39 1 19 
x 
  

19  12  26  19 38
x1  1
 x1  1 
 x   2 jadi x  2
2
 2  
16
d. Dengan cara Aturan Cramer : x j 
2  3  x1   4
3 5   x    13 

  2  
Aj
A
A. x  B
 x1 
2  3
  4
dim ana : A  
, x    dan B   

3 5 
 13 
 x2 
A 
2 3
3
5
 25   33  10  9  19
17
4 3
13 5

 4 5   313  20  39 19
x1 



1
2 3
19
19
19
3 5
2 4
3 13

2 13   4 3 26  12 38
x2 



2
2 3
19
19
19
3 5
jadi
x1  1
x2  2
18
Program MAPLEnya :
# SPL Dua Persamaan dengan Dua Variabel
> restart:
> with(linalg):
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace
> A := matrix([[2,-3],[3,5]]);
19
2
A : 
3
 3

5
> B:=vector([-4,13]);
B := [-4, 13]
> AB:=augment(A,B);
[2 -3 -4]
AB := [
]
[3 5 13 ]
20
> spl:=geneqns(A,[x1,x2],B);
spl := {3 x1 + 5 x2 = 13, 2 x1 - 3 x2 = -4}
> x:=linsolve(A,B);
x := [1, 2]
21
2) Tentukan SPL dibawah ini !
2 x1  x2  x3  2
x1  x2  x3  1
 x1  2 x2  x3  3
a. Dengan Cara Eliminasi di SLTP dan SLTA
2 x1  x2  x3  2 .......1
x1  x2  x3  1
.......2
 x1  2 x2  x3  3.......3
22
1  2 x1  x2  x3  2
2  x1  x2  x3  1 
3
3 x1
3
x1   1
3
2  x1  x2  x3  1
3   x1  2 x2  x3  3

x2  4
2 
x1  x2  x3
1
1  4  x3
1
x3
4
x1  1
jadi
x2  4
x3  4
23
b. Dengan cara OBE : ( A B) OBE

 (I x)
2 x1  x2  x3  2
x1  x2  x3  1
 x1  2 x2  x3  3
 2 1  1   x1  2
 1  1 1   x   1 

  2  
 1 2  1   x3  3
A. x  B
( A B) OBE

 (I x)
 2 1  1 2
 1  1 1 1
 1  1 1 1

 b12 
 b21  2  
 b31 1
1

1
1
1


2
1

1
2




0
3

3
0






 
 1 2  1 3
 1 2  1 3
 1 2  1 3
24
1  1 1 1
1  1 1 1
1 0 0 1
1
b2  



 b12 1 
 b32 1
3
0
3

3
0




0
1

1
0




0
1

1
0





 
0 1
0 1
0 1 0 4
0 4
0 4
1 0 0 1
1 0 0 1

 b23 1 

0 1 0 0
0 1  1 0 
0 0 1 4
0 0 1 4
x1  1
jadi x2  4
x3  4
c. Dengan cara : x  A1. B
25
 2 1  1   x1  2
 1  1 1   x   1 

  2  
 1 2  1   x3  3
 2 1  1
 x1 
 2
dim ana : A   1  1 1  , x   x2  , dan B  1
 1 2  1
 x3 
3
2
1
1
1
1
1
1
2
1
K11   1
11
1
1
2
1
  11  2  1
26
2
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
K12   1
1 2
K13   1
1 3
K 21   1
2 1
1
1
1 1
1
1
1
2
1 1
2 1
  1 1  1  0
 12  1  1
  1 1  2   1
27
2
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
K 22   1
2 2
K 23   1
23
K 31   1
3 1
2
1
1 1
2
1
1 2
  1 2  1  3
  14  1  5
1
1
1
1
  11  1  0
28
2
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
2 1
K 32   1
3 2
K 33   1
3 3
1
1
2
1
1 1
  12  1  3
 1 2  1  3
A  a11.K11  a12 .K12  a13.K13
A  2 1  10   11
,
,
A  2  0  1  3
29
1
 1 0
Matriks Kofaktor : K   1  3  5
 0  3  3
1   1  1 0 
 1 0
adj  A  K t   1  3  5   0  3  3
 0  3  3  1  5  3
t
Matriks Adjo int :
1
A  .adj ( A)
A
1
 1  1 0 
1 

1
A 
0

3

3

3
 1  5  3
30
1
x A .B
 x1 
  1  1 0   2
 x   1  0  3  3 1
 2  3 
 
 x3 
 1  5  3 3
 x1 
  12   11  03 
 x   1 02   31   33
 2  3 

 x3 
 12   51   33
31
 x1 
  2  1  0
 3
 x   1  0  3  9   1  12 ,
 2  3 
 3

 x3 
 2  5  9 
 12
 x1  1 
 x   4
 2  
 x3  4
x1  1
Jadi x2  4
x3  4
32
d. Dengan cara Aturan Cramer : x j 
Aj
A
 2 1  1   x1  2
 1  1 1   x   1 

  2  
 1 2  1   x3  3
 2 1  1
 x1 
 2
dim ana : A   1  1 1  , x   x2  , dan B  1
 1 2  1
 x3 
3
33
Solusi :
1
1 2
1
1
1 1
1
2
1 1
2
2
A  1
1
A  2  1  2    1  4  1
A  1  2  3
2
1
1 1
x1 
3
1 2
1
1 1 1
1
1 3 2
2  3  2  3  4  1  3  6   3  1

1 1
3
3
3
1 1
1
2
2
2
1
34
2
2 1 2
2
1
1
1
1 1
 1 3  1  1 3  2  2  3  1  6  2   7  5  12
x2 



4
2 1 1
3
3
3
1 1 1
1
x3 
1
2
2
1
2 2
1
1 1 1
1
2
1
1
1
3 1 2

 6  1  4   2  4  3  3  9  12



4
1 1
3
3
3
1 1
1
2
2
1
35
x1  1
jadi
x2  4
x3  4
Program MAPLEnya :
# SPL Tiga Persamaan dengan Tiga
Variabel
> restart:
> with(linalg):
Warning, new definition for norm
> A := matrix([[1,-1,1],[2,1,-1],[-1,2,-1]]);
36
1

A :  2

 1
1
1
2
1

 1

 1
> B:=vector([1,2,3]);
B := [1, 2, 3]
> AB:=augment(A,B);
37
1

A B :  2

 1
1
1
1
1
2
1
1

2

3
> spl:=geneqns(A,[x1,x2,x3],B);
spl := {x1 - x2 + x3 = 1, -x1 + 2 x2 - x3 = 3, 2 x1 +
x2 - x3 = 2}
> x:=linsolve(A,B);
x := [1, 4, 4]
38
Tentukan penyelesaian SPL di bawah ini
dengan cara : a. Eliminasi
b. OBE
c. Kofaktor / Adjoint
d. Aturan Cramer
3x1  x2  2 x3  20
1. 2 x1  3x2  x3  15
x1  2 x2  3x3  11
x1  5
Jawab:
x2  3
x3  4
39
4 x1  3x2  x3  11
2. 3x1  2 x2  x3  9
3.
x1  3
Jawab:
x2  1
x1  4 x2  3x3  5
x3  2
2 x1  5 x2  2 x3  7
x1  5
x1  2 x2  4 x3  3
3x1  4 x2  6 x3  5
Jawab:
x2  1
x3  1
40
3 x1  2 x2  x3  15
4. 5 x1  3 x2  3x3  0
x1  45
Jawab:
11x1  7 x2  30
x3  0
2 x1  3 x2  4 x3  17
5.  5 x1  2 x2  x3  17
4 x1  x2  3 x3  8
x2  75
x1  2
Jawab:
x2  3
x3  1
41
2 x1  x2  3x3  16
6.
x1  2 x2  x3  3
x1  4
Jawab:
x2  1
3x1  x2  2 x3  17
x3  3
3x1  2 x2  x3  15
x1  5
7. 2 x1  x2  3x3  5
x1  x2  2 x3  8
Jawab:
x2  1
x3  2
42
3x1  x2  2 x3  13
8.
x1  2 x2  x3  7
x1  6
Jawab:
2 x1  x2  3 x3  4
9.
x2  1
x3  3
2 x1  x2  3x3  x4  17
x1  5
x1  2 x2  x3  2 x4  11
x2  3
3x1  x2  4 x3  x 4  4
4 x1  3 x2  2 x3  3 x4  9
Jawab:
x3  4
x4  2
43