Matakuliah
Tahun
: K0034 - Aljabar Linear Terapan
: 2007
Operasi Aljabar Matriks
Pertemuan 02
1
Matriks Invers
Definisi :
Bila A.B = B.A = I, maka A dan B saling
invers
Notasi invers A adalah A-1
Sifat-sifat Matriks Invers
Jika A dan B non singular, atau invertibel,
maka:
A.B juga non singular
( A. B)
1
-1
= B .A
-1
A matriks bujur sangkar, maka :
A n = A.A.A. .. A  n faktor
A
A
0
n
= I
 
= A
A 
1 1
-1 n

-1
1
1
= A . A . A .. A
-1

 n faktor
= A
3
 p. A
1
n
A .A
A 
n m
m
-1
= p .A
= A
= A
1
= 1/ p A
-1
n +m
n.m
1 2
-1

A
= ?
Contoh : A = 

3 4 
1
A. A = I
4
Misalkan
A
1
a
= 
c
b
1 2  a
 

 c
d
3
4


b
1 0
= 


d
0
1


a  2c b  2d  1 0
3a  4c 3b  4d  = 0 1

 

a+2c = 1
3a+4c= 0
b+2d = 0
3b+4d= 1
a+2c =1 x2 2a+4c =2
3a+ 4c=0 x1 3a+4c =0 -
-a
=2
a = -2
5
3a + 4c =0
4c
= -3
 3a  3(2)
c

4
4
3
1
c  1
2
2
b+2d =0 x2 2b+4d =0
3b+4d =1 x1 3b+4d =1 -b
= -1
b
=1
6
b + 2d = 0.
2d
= -b
 b 1
1
d


2
2
2
a
A =
c
1
b  - 2
1 
=

d  11/2 - 1/2 
7
atau
A
A
1
1
1
=
adj (A)
/A /
1 4 - 2 
=
-2 -3 1 
1 4 - 2
 - 
2 -3 1 
1 
 -2
 

1
1
/
2
1
/
2


dimana |A|= 1x4-2x3 = -2
8
1. Rumus penyelesaian Matriks Invers
A. A
1
= I
OBE
-1




A
/
I




I
/
A
2.
3. A
1
1
=
. adj (A)
/A/
9
Matriks Transpose
Matriks transpose diperoleh dengan
menukar elemen-elemen baris men-jadi
elemen-elemen kolom dan se-baliknya.
Contoh :
1 2
A= 
4 5
3

6
10
1 4 
 2 5
t
A
Transpose dari A adalah :


3 6 
Program MAPLEnya :
# Matriks Transpose
> Restart:
> With (linalg)
Warning, New definition for norm
Warning, New definition for trace
11
> A := array ([[1,2,3],[4,5,6]])
[1 2 3]
A :=[
]
[4 5 6]
> Transpose (A);
[1 4]
[
]
[ 2 5]
[
]
[3 6 ]
12
Sifat-sifat matriks transpose
t t
1. A  = A
t
t
t
A
+
B
=
A

B


2.
t
t
(p
.
A)
=
p
.
A
3.
t
t
t
A
.
B
=
B
.
A


4.
Contoh pembuktian sifat matriks transpose :
2 3
3 1 
A= 
dan B  


1
4
4
2




13
Maka
2 1
3 4
t
A =
dan B  


3
4
1
2




t
Pembuktian sifat 1:
A 
t t
t
2 1 2 3 
=

A


3 4 1 4
Pembuktian sifat 2 :
t
2 3 3 1  5 4
5 4 5 5 
t
AB= 


, maka ( A  B)  






1
4
4
2
5
6
5
6
4
6

 
 


 

14
2 1 3 4 5 5 
A B =





3
4
1
2
4
6

 
 

t
t
Terbukti bahwa ( A  B)t  At  Bt
Contoh pembuktian sifat 3 :
t
2 3 10 15 
10 15  10 5 
t
5A = 5 

, maka (5 A)  





1
4
5
20
5
20
15
20

 


 

2 1 10 5 
5A = 5 



3
4
15
20

 

t
15
Terbukti bahwa (5 A)  5 A
t
t
Contoh pembuktian sifat 4 :
2 3 3 1 6  12 2  6 18 8 
A .B = 







1
4
4
2
3

16
1

8
19
9


 
 

18 19
maka (A . B)  

8 9
t
16
3 4 2 1 6  12 3  16 18 19
B .A  







1
2
3
4
2

6
1

8
8
9


 
 

t
t
t
t
t
(
A
.
B
)

B
.
A
Terbukti bahwa
Sifat matriks bujur sangkar A
t
A + A adalah symetric
A - At adalah skew symetric
17
3. A dapat ditulis sebagai jumlah dari suatu
t
matriks symetric B = 1/2 ( A + A )dan
suatu matriks skew symetric C = 1/2
t
(A - A )
Soal Latihan :
Tentukan Transpose Suatu Matriks dibawah
ini !
18
1.
2.
3.
1 2 0
A = 2 3 1  , maka: A t  .....
0 1 1 
0
- 1
A= 
1

2
1 - 1 - 2
0 3 - 4
-3 0 1 

4 -1 0 
 2 1 2
A= 

3
0
1


, maka: A t  .....
, maka: A t  .....
19
Matriks Eselon dan Matriks Eselon
tereduksi
Definisi : A = adj m x m disebut matriks
tereduksi bila memenuhi :
1.Bila ada baris yang tak semua nol, maka
elemen pertama yang  0 harus bilangan 1
2. Elemen pertama yang  0 pada baris
dibawahnya harus disebelah kanan 1
3. Baris yang semua nol harus pada bagian
20
bawah (baris-baris bawah)
Matriks Eselon (Eliminasi Gauss)
1
0

0

0
0

0
0

0
2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 
0 1 2 3 4

0 0 1 2 3
0 0 0 1 2

0 0 0 0 1
0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 
21
Matriks Eselon Tereduksi (Eliminasi Gauss
Jordan):
1
0

0

0
0

0
0

0
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0

0 0 1 0 0
0 0 0 1 0

0 0 0 0 1
0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 
22
Contoh Matriks Eselon
1
0

0
2
1
0
4
7 
1 
Contoh Matriks Eselon Tereduksi
1
0

0
0
1
0
0
0 
1 
23
Operasi Baris Elementer (OBE)
Definisi :
bij = menukar baris ke i dengan baris ke j
bi(p) = mengalikan baris ke i dengan p
bij (p) = bi + p.bj
Ganti baris ke i dengan baris baru yang
merupakan baris ke i ditambah dengan baris
ke j yang dikalikan dengan p.
24
Contoh :
1 2 3
4 5 6
4 5 6  b 1 2 3  b

 12 
 2(3)
0 5 7 
0 5 7 
4 5 6 
b 23 (4)
3 6 9 

 b 2  b 2  4. b 3
0 5 7 
4 5 6 
3 26 37 


0 5 7 
b2 = 3 6 9
4b3 = 0 20 28
3 26 37
+
25
Matriks Elementer dan sifat-sifatnya :
Definisi :
A nxn disebut matriks elementer, bila dengan
sekali melakukan OBE terhadap In di
peroleh Anxn
Contoh :
1 0
1 0 0 
1 0 0 
2 ( 5)
2 (1/ 5)
I 3 = 0 1 0 b
 E = 0 5 0 b
 I 3 = 0 1
0 0 1
0 0 1
0 0
0
0
1
26
1 0 0 
0 1 0 
1 0 0 
b12
b12
I 3 = 0 1 0 
 E = 1 0 0  
 I 3 = 0 1 0
0 0 1
0 0 1 
0 0 1
1 0 0 
1 0 0 
1 0 0 
b
(
4
)
b 32 ( 4)
32
I 3 = 0 1 0
E = 0 1 0
I 3 = 0 1 0
b 3  b 3  4. b 2
b  b 3  ( 4 ) b 2
0 0 1
0 4 1 3
0 0 1
E = Matriks elementer, maka E.A = matriks
].A
baru yang terjadi bila OBE tersebut
dilakukan pada matriks A
A OBE

 = E.A
= [I OBE

 ]A
27
Contoh :
1 2  b12 3 4
A-
 


3
4
1
2




I2
1 0
0 1
b12
= 
 E = 


0
1
1
0




0 1 1 2  3
E.A = 
=



1 0 3 4 1
4
2 
28
Setiap Matriks Elementer adalah matriks tak
singular.
Invers matriks elementer juga matriks
elementer.
I OBE E
maka E-1 juga elementer
Cara penyelesaian invers matriks dengan
OBE.
(AI) OBE (I A-1)
29
Contoh 1:
1 2
A= 

3
4


, maka: A 1  ?
Solusi :
1 2 1 0 b 21 (-3) 1 2
3 4 0 1   0 - 2



0 
1 2 1
1
b1 2 (-2)


 
1
1
0 1 1
0
 
2
2


1 0 b 2 (  12 )


- 3 1
0 -2 1 
1
1 
1 1 
2
2
30
- 2 1 
1
Jadi A =  1 1 
1 - 
 2 2
Program MAPLEnya :
# Matriks Invers
> restars:
> With (linalg):
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace
31
> A := array ([[1,2],[3,4]])
1 2
A := 

3 4 
> Invers (A);
- 2 1 
 3  1


2 2 
32
Contoh 2 :
 2 6 6


B  2 8 6  , maka B 1  ?
2 8 8 
Solusi :
(B  I) OBE ( I B-1)
33
1
0
0
0
1
0
0
0
1
 2 6 6 1 0 0
1 3 3 1/2 0 0  b 21 ( 2)
 
2 8 6 0 1 0  


b1 (1 / 2 )
 2 8 6 0 1 0 b ( 2)


31


2 8 8 0 0 1
2 8 8 0 0 1
34
1/2 0 0  b ( 3)
1 3 3 1/2 0 0 
1 3 3
12


0 2 0 - 1 1 0 


b 2 (1 / 2 )

 0 1 0 - 1/2 1/2 0  b ( 2)


32


0 2 2 - 1 0 1
0 2 2
- 1 0 1
2 - 1 12 0
1 0 3

 b 3 (1 / 2)
0
1
0
1/2
1/2
0


  
0 0 2

0
1
1


1 0 3 2 - 1 12 0

 b13 ( 3)
1
1
0 1 0 - 2 2 0  
0 0 1 0 - 1 1 
2
2 

35
1 0 0

0 1 0
0 0 1
I3
0 -1 

1
1
- 2 2 0  Jadi
0 - 21 21 
1
2
2
B-1

2

1
-1

B =  2

0

0
1
2
1
2
1
1 
2

0


1
2 
Program MAPLEnya :
# Matriks Invers Ordo 3X3
> restart:
36
> With (linalg):
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace
> A := array ( [[2,6,6],[2,8,6],[2,8,8]] )
2
A := 2
2
6
8 6 
8 8 
6
37
> Invers (A);
- 3

2 0
2


-1 1 0 
2 2



1
1
0


2 2 
38
Matriks yang tidak mempunyai invers
Contoh :
1 1 2


B  2 - 1 1
1 2 3 
1 1 2
2 - 1 1

1 2 3
1 0 0  b ( 2) 1 1 2 1 0 0
21


 
b23

0 1 0  b ( 1) 0 - 3 - 3 - 2 1 0  
31


0 1 1 - 1 0 1 
0 0 1
39
1 1 2 1 0 0  b12 ( 1) 1 0 1 2 0 - 1
0 1 1 - 1 0 1   0 1 1 - 1 0 1 

 b

32 ( 3)
 
0 - 3 - 3 - 2 1 0
0 0 0 - 5 1 3 
Sebelah kiri bukan matriks identitas, maka
Matriks B tak mempunyai invers.
40
# Contoh Matriks Yang Tidak Mempunyai
Invers
> restart:
> with(linalg):
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace
> A := array( [[1,1,2],[2,-1,1],[1,2,3]] );
41
[1 1 2 ]
[
]
A := [2 -1 1]
[
]
[1 2 3 ]
> inverse(A);
Error, (in inverse) singular matrix
42
Soal latihan :
1) Cari invers matriks dari
 2 1 1


A = -1 2 1 
 1 - 1 2
2) Cari invers matriks dari
3 4 - 1
A = 1 0 3 
2 5 - 4 
43