APCalculusBC
Chapter8:
IntegrationTechniques,
L’Hopital’sRuleandImproper
Integrals
Homework
Name__________________________
8.1Homework
Determinetheindefiniteintegral.
7
1.
∫ ( z − 10 )7 dz
2.
3.
4.
5.
t2 − 3
∫ −t 3 + 9t + 1 dt x2
∫ x − 1dx ex
∫ 1+ ex dx ∫ ( 5 + 4x )
2 2
dx
6.
7.
8.
∫ x cos ( 2π x )dx 2
∫ csc (π x ) cot (π x ) dx ln x 2
∫ x dx 9.
∫
10.
11.
1+ sin x
dx cos x
dθ
∫ cosθ − 1 ∫
−dt
1− ( 4t + 1)
2
12.
∫
tan(2 t)
dt t2
∫
6dx
10x − x 2
∫
x + 2x − 4
13.
14.
15.
16.
17.
x +1
2
dx ∫ sec 4 x dx !
"#
𝑑𝑥
∫ tan x ⋅ ln ( cos x )dx 18.
19.
20.
21.
22.
∫
1+ cosθ
dθ
sin θ
2
dx
∫
3 sec x − 1
dx
∫ 9 + 5x
∫ (x − 1)
2
dx
4x 2 − 8x + 3
∫ (sec x + tan x )
2
dx Evaluatethedefiniteintegral.
1
23.
−x
∫ xe dx 2
0
2/ 3
24.
∫
0
dx
4 + 9x 2
Answers:
−7
+C 1.
6(z − 10)6
1
− ln −t 3 + 9t + 1 + C 2.
3
2
x
+ x + ln x − 1 + C 3.
2
4.
ln 1+ e x + C (
5.
6.
7.
)
40x 3 16 5
25x +
+ x +C
3
5
1
sin 2π x 2 + C 4π
1
− csc (π x ) + C π
(
)
8.
( ln x )2 + C 9.
1
+ C OR − ln 1− sin x + C 1− sin θ
1
1+ cosθ
+ cot θ + C OR
+C sin θ
sin θ
1
− arcsin(4t + 1) + C 4
1
2
ln cos + C 2
t
x−5
6 arcsin
+C 5
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
21.
23.
ln
x 2 + 2x − 4 + C 1
ln sec 4x + tan 4x + C 4
−ecot x + C 2
1
− ( ln ( cos x )) + C 2
ln 1− cosθ + C 2
( − csc x − cot x − x ) + C 3
arcsec(2 x − 1 ) + C 1 1
− + 2e 2
20.
22.
24.
1
x 5
+C 3
3 5
2 tan x − x + 2sec x + C π
18
arctan
8.2HomeworkDay1:Integrationbyparts
Determinetheindefiniteintegral.
3
1.
∫ x ln x dx 2.
3.
∫ x sin 3x dx ∫ t ln(t + 1)dt 4.
5.
6.
∫(x
2
− 1) e x dx xe2 x
∫ (2x + 1)2 dx Hint:let u = xe2 x ∫x
x − 5 dx 7.
∫e
2x
sin x dx
APStyle
NoCalculatorItems
1.
Iffisafunctionsuchthat f '(x) = − f (x), then ∫ x f (x)dx = a.
b.
f (x)(x + 1) + C − f (x)(x + 1) + C c.
⎛ x2 ⎞
⎜⎝ 2 ⎟⎠ f (x) + C d.
⎛ x2 ⎞
− ⎜ ⎟ f (x) + C ⎝ 2⎠
e.
⎛ x2 ⎞
x⎞
⎛
− ⎜ ⎟ f (x) ⎜ 1+ ⎟ + C ⎝
3⎠
⎝ 2⎠
CalculatorActiveItems
1.
Thetableabovegivesselectedvaluesoftwice-differentiablefunctionsfandg,as
wellasthefirsttwoderivativesofg.If f '(x) = 3 forallvaluesofx,whatisthevalue
4
of ∫ f (x)g''(x)dx ?
2
2.
a.
b.
c.
d.
e.
63
69
78
84
103
Letfbeatwice-differentiablefunctionwithselectedvaluesoffanditsderivatives
1
showninthetableabove.Whatisthevalueof ∫ x f ''(x)dx ?
0
a.
b.
c.
d.
e.
6
5
3
-1/2
-1
Answers:
x4
1.
( 4 ln x − 1) + C 16
x
1
2.
− cos 3x + sin 3x + C 3
9
1 2
3.
( 2t ln t + 1 − t 2 + 2t − 2 ln t + 1 ) + C 4
4.
e x ( x 2 − 2x + 1) + C 5.
6.
7.
e2 x
+C
4(2x + 1)
2
(x − 5)3/2 (3x + 10) + C 15
e2 x
(2sin x − cos x) + C 5
APStyle
NoCalculator:1b
CalculatorActive:1b,2b
8.2HomeworkDay2:IntegrationbyPartsandTabularMethod
Determinetheindefiniteintegral.
1.
∫ x cos x dx 3
2.
∫ x sin x dx 3.
∫ t csct cot t dt −x
4.
∫ e cos 2x dx Evaluatethedefiniteintegral.
2
5.
∫
x ln x dx
1
1/2
6.
∫ arccos x dx 0
2
7.
∫x e
2 −2 x
0
dx 1
8.
∫ ln ( 4 + x )dx 2
0
π /8
9.
∫ x sec
2
0
2x dx
Answers:
x sin x + cos x + C 1.
2.
( cos x ) 6x − x 3 + (sin x ) 3x 2 − 6 + C (
)
(
3.
−t csct − ln csct + cot t + C 4.
e− x (− cos 2x + 2sin 2x) + C 1
12 2 ln 2 − 8 2 + 4 9
5.
6.
7.
8.
9.
(
)
π
3
−
+1 6 2
−13 + e4
4e4
ln 5 − 2 + 4 arctan(1 / 2) (π /16) − (1 / 8)ln 2 )
8.3HomeworkDay1
Determinetheindefiniteintegral.
5
1.
∫ cos x sin x dx 2.
3.
4.
∫ sin
∫ sin
∫ sin
7
3
3
2x cos 2x dx
x cos 2 x dx
2θ cos 2θ dθ 5.
6.
7.
∫ cos
∫ cos
2
3x dx 4
3x dx ∫ x sin
2
x dx Evaluatethedefiniteintegralwithouttheuseofacalculator.
π
8.
∫ sin
−π
9.
2
x dx
Findtheareabetweenthecurves y = sin x and y = sin 3 x betweenx=0and
x= π / 2 .
APStyle
NoCalculatorItems
1.
Letfbeadifferentiablefunctionsuchthat ∫ f (x)sin x dx = − f (x)cos x + ∫ 4x 3 cos xdx
.Whichofthefollowingcouldbef(x)?
a.
cosx
b.
sinx
4x 3 c.
d.
- x4 x4 e.
Answers:
(cos x)6
−
+C 1.
6
1
2.
(sin 2x )8 + C 16
cos 3 x cos 5 x
−
+
+C
3.
3
5
1
1
4.
− cos 3/2 2θ + cos 7/2 2θ + C 3
7
1
1
5.
x + sin 6x + C 2
12
3
1
1
6.
x + sin ( 6x ) + sin (12x ) + C 8
12
96
2
x
1
1
− x sin x − cos 2x + C 7.
4 4
8
8.
π
9.
1/3
APStyle
NoCalculator:1e
8.3HomeworkDay2
Determinetheintegral.
4
1.
∫ sec 5x dx 3
2.
∫ sec π x dx 5 x
3.
∫ tan 2 dx 2
4.
∫ sec x tan x dx 5.
6.
7.
8.
∫ tan
∫ sec
∫ sec
2
6
5
x sec 4 x dx
4x tan 4x dx
x tan 3 x dx tan 2 x
∫ sec x dx Evaluatetheintegralwithouttheuseofacalculator.
π /4
9.
∫ 6 tan
0
3
x dx
π /4
10.
∫ sec
0
2
t tant dt
Answers:
tan 5x
1.
3 + tan 2 5x ) + C (
15
1
2.
(sec π x tan π x + ln sec π x + tan π x ) + C 2π
2
1 2 x⎛ 2 x
x⎞
⎞
⎛
tan ⎜ tan − 2 ⎟ − ln ⎜ cos ⎟ + C 3.
⎠
⎝
2
2⎝
2
2⎠
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
tan 2 x
sec 2 x
+C
OR
+C 2
2
tan 5 x tan 3 x
+
C
5
3
sec 6 4x
+C
24
sec 7 x sec 5 x
−
+C 7
5
ln sec x + tan x − sin x + C 3–3ln2
2/3
Homework8.5
UsethemethodofPartialFractionstodecomposetheintegrandintotwoormorefractions.
Determinetheintegral.
dx
1.
∫ x2 − 9 5dx
2.
∫ x 2 + 3x − 4 5− x
3.
∫ 2x 2 + x − 1dx 4.
5.
x 2 + 12x + 12
∫ x 3 − 4x dx 2x 3 − 4x 2 − 15x + 5
∫ x 2 − 2x − 8 dx Evaluatetheintegralwithouttheuseofacalculator..
2
3
6.
∫0 4x 2 + 5x + 1dx
APStyle
NoCalculatorItems
1
1.
∫x
2
0
5x + 8
dx = + 3x + 2
ln8
ln(27/2)
ln18
ln288
divergent
a.
b.
c.
d.
e.
2.
1
dx = − 7x + 10
ln (x − 2)(x − 5) + C a.
1
b.
ln (x − 2)(x − 5) + C 3
1
2x − 7
ln
+C
c.
3 (x − 2)(x − 5)
∫x
d.
e.
2
1
ln
3
1
ln
3
x−2
+C
x−5
x−5
+C
x−2
3.
∫x
2
6
dx =
+ 10x + 16
a.
b.
c.
d.
x+2
+C
x+8
x+8
ln
+C
x+2
6 ln (x + 8)(x + 2) + C e.
6 ln
− ln (x + 8)(x + 2) + C ln
2x + 10
+C (x + 2)(x + 8)
Answers:
1 x−3
ln
+C
1.
6 x+3
x −1
ln
+C 2.
x+4
(2x − 1)3/2
+C
(x + 1)2
3.
ln
4.
(x − 2)5
ln 3
+C
x (x + 2)
5.
x 2 + ln
6.
ln3
(x − 4)3/2
+C
(x + 2)1/2
APStyle
NoCalculator:1c,2e,3b
Homework8.7
UseL’Hopital’sRule,asneeded,toevaluatethelimits.
x 2 − 2x − 3
lim
1.
x→3
x−3 25 − x 2 − 5
2.
lim
x→0
x
e x − (1− x)
lim
3.
x→0
x
e x − (1+ x)
lim
4.
x→0 +
x3
x11 − 1
lim 4
5.
x→1 x − 1
sin 3x
6.
lim
x→0 sin 5x
arcsin x
7.
lim
x→0
x
x3
lim x/2
8.
x→∞ e
x
lim 2
9.
x→∞
x +1 10.
lim
x→∞
11.
12.
13.
14.
cos x
x ln x
x→∞ x 2
lim
ex
x→∞ x 4
lim
sin 5x
x→0 tan 9x
lim
lim
x→0
arctan x
sin x APStyle
NoCalculatorItems
1.
Forwhichofthefollowingdoes lim f (x) = 0 ?
x→∞
I.
II.
III.
a.
e.
ln x
x 99
ex
f (x) =
ln x
x 99
f (x) = x
e
f (x) =
Ionly b.
IandIIIonly IIonly
c.
IIIonly
d.
IandIIonly
ln(bx + 1)
=
x→∞ ln(ax 2 + 3)
2.
Ifaandbarepositiveconstants,then lim
a.
b.
c.
d.
e.
3.
4.
0
1
2
1
ab 2
2
∞
x3
lim 3x is
x→∞ e
a.
0
b.
2/9
c.
2/3
d.
1
e.
infinite
x2
is
lim
x→0 1− cos x
a.
-2
b.
0
c.
1
d.
2
e.
nonexistent
5.
ex − 1
is
x→0
x
∞
a.
b.
e–1
c.
1
d.
0
ex e.
lim
Answers:
1.
4,
2.
0,
∞ ,
4.
5.
11/4,
7.
1,
8.
0,
10. 0,
11. 0,
13. 5/9, 14. 1
APStyle
NoCalculator:1e,2b,3a,4d,5c
3.
6.
9.
12.
2
3/5
1
∞
Homework8.8Day1
Determinewhethertheintegralisconvergentordivergent.Iftheintervalconverges,towhat
valuedoesitconverge?
4
dx
1.
∫0 x
2
2.
dx
∫ (x − 1)
2
0
∞
3.
∫e
−4 x
dx
0
∞
4.
dx
∫x
3
1
0
5.
∫ xe
−∞
−4 x
dx
∞
6.
∫e
−x
cos x dx 0
∞
7.
4
∫ 16 + x
2
dx −∞
∞
8.
∫ cos π x dx
0
Answers:
1.
convergesto4
2.
divergent
3.
convergesto¼
4.
convergesto½
5.
divergent
6.
convergesto½
7.
convergestopi
8.
divergent
Homework8.8Day2
Determinewhethertheintegralisconvergentordivergent.Ifitisconverges,towhatvalue
doesitconverge?
1
dx
1.
∫0 x 2
8
2.
∫
3
0
dx
8− x
1
3.
∫ x ln x dx 0
π /2
4.
∫ tanθ dθ
0
4
5.
∫x
2
2
x2 − 4
dx
2
6.
∫
3
0
1
dx
x −1 ∞
7.
∫x
3
dx
x2 − 9
∞
8.
∫
0
4
dx
x (x + 6) APStyle
NoCalculatorItems
∞
1.
∫ xe
1
a.
b.
c.
d.
e.
− x2
dx is
−1
e
1
2e
1
e
2
e
divergent
x
2.
If ∫ f (t)dt =
1
3.
20x
4x 2 + 21
a.
b.
c.
d.
e.
6
a
-3
-4
divergent
+
&'
𝑑𝑥is
(
" & )* '
a.
b.
c.
d.
e.
-1/9
1/9
1/3
1
divergent
Answers:
1.
divergent
2.
convergesto6
3.
convergesto-1/4
4.
divergent
5.
convergesto π / 3 6.
convergesto0
7.
convergesto π / 6 4π
8.
convergesto
6
APStyle
NoCalculator:1b,2a,3b
∞
− 4 ,then ∫ f (t)dt is:
1
Chapter8Review
8.1BasicIntegrationMethods
1.
∫ (tan x + sec x) dx 2
2.
∫
dx
−x + 4x − 3
2
3.
5.
dx
∫ x2 + 4 x + 5 sec 2 x
∫
1− tan x
∫
1+ cos x
dx sin x
2
dx 4.
ex
∫ 1+ e2 x dx 6.
∫
8.
∫ csc x − 1 dx
4 − x2
7.
dx
8.2IntegrationbyParts
−x
9.
∫ sin xe dx 11.
13.
15.
∫x
2
2
10.
∫x e
dx 12.
∫ xe
dx x dx 14.
∫
16.
∫ x sin 2x dx sin x dx ∫ x csc
∫x
2
ln x dx 2 x
2x
ln x
dx x2
17.
∫ ln
2
x dx 18.
8.3TrigonometricIntegrals
19.
∫ sin
∫ cos x e
π /4
5
x dx 20.
∫ sin
2
x
dx 2θ dθ π /8
21.
∫ cos x dx 3
22.
∫ tan
2
x sec 2 x dx 8.5MethodofPartialFractions
3
23.
∫ x(x + 3) dx 8.7L’Hopital’sRule
2
ex − 1
lim
25.
x→0 2x 2
8e x/8 − (8 + x)
lim
27.
x→0
x2
x +1
dx − 5x + 6
24.
∫x
26.
lim
ln x
x −1
28.
lim
sin 2x
x2
2
x→1
x→0 +
29.
30.
lim
e 3x − e5 x
x→0
x
32.
lim
x→π
31.
x−π
sin x
lim
lim
x→0
x − sin x
x3
x5
x→∞ e 5 x
33.
lim+
x→0
x
ln(x + 1)
8.8ImproperIntegrals
3
1
34.
∫0 x dx 4
35.
dx
∫ (x − 3)
2
2
∞
36.
∫e
−x
∞
dx 1
0
∫e
−∞
37.
∫
0
38.
2x
dx dx
x +1
Answers:
1.
2tanx–x+2secx+C
2.
arcsin(x-2)+C
3.
arctan(x+2)+C
4.
arctanex+C
5.
arcsin(tanx)+C
6.
arcsin(x/2)+C
7.
𝑙𝑛 1 − cos 𝑥 + 𝐶
8.
secx+tanx–x+C
9.
(-ex/2)(sinx+cosx)+C
10. x2ex–2xex+2ex+C
11. -x2cosx+2xsinx+2cosx+C
& *&
"
12.
𝑒 − 𝑒 *& + 𝐶
*
7
13. −𝑥 cot 𝑥 − 𝑙𝑛 csc 𝑥 + cot 𝑥 + 𝐶
14. -(lnx+1)/x+C
15. (x3/9)(3lnx–1)+C
16. (1/4)(-2xcos2x+sin2x)+C
17. x(ln2x–lnx+1)+C
18. (ex/2)(cosx+sinx)+C
19.
− cos 𝑥 + 20.
!
21.
22.
23.
* 9:;( &
"
<
−
=>? @ &
+ "B
#
sin 𝑥 − ?EF( &
GHF( &
<
+ 𝐶
+ 𝐶
𝑙𝑛 𝑥/(𝑥 + 3) + 𝐶
<
&M< N
24.
𝑙𝑛
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
½
1
1/16
∞
-1
1/6
-2
0
1
ln3+∞Divergent
∞Divergent
1/3Convergent
∞Divergent
½Convergent
&M* (
+ 𝐶
A
+ 𝐶