The 13 Sphere Problem

 ! " " ##
$ % &
' (
' (
)
#*+, - - .
)
/ 0 0 / & 1
! '02 (
& 345 365
3/5
& #+78 9:
!
39!;<5 1 = #+7* 3=5 #++8 6 > -? 36;#5 ' ( 36;<5
1 Æ
, 1
39!;<5 & !
9:
9:
2 ' ( 4 !
39!;#5 9:
!
& ? @
# ! ? ? ' ( '
(
& # & # A < 4 '1( '( ' #( ' #( B 'A #( ' #(
C '1(
<
& * % C B
# 1
B
" *
" 1
#< D !
#
#
9 6 '1( '1( 9
D !
'1( A < 8
#
0 1 & 1 1 <
A
<
8 A < < < 8
4 < 1
8
A
<
A <*
< < 8
**
A #8
& 1 1 D !
1 '( 1 < 1
8
A < 6 1
1 A , *
,
,
#E
F
#
& <
#
0 !
'( '( 6 7
<
& !
1
" *
1 <
, 4 - 8 9 1 1
=69 * < A
G
#8
A < A EHG*#G,+E, #8
A #E,#,+##
" A # 9 1 ¼
, ,
#E
& 1 ?
H
<
<
F H
< F +
<
F H
< F +
!
1
& ?
9:
2
9@ 7 39!;<5
6 * !
,
? 1
!
" #
$
" 1 1 & '9@ 7( 9:
2
%
& = <#< 36;<5
D / & ¼
9 ¼
" #<
# F 1
¼
& ¼ C
0 * %
& =2 & !
" ¼ " £
¼ £
" £
£
$ #
" " 7
= ¾ ¿
" #8
¼ ¼
A . 1
'
C " #8 = D * I C *
<
1 <1 7
$ , F
< C 1 4 ? " #,
0 - < , & 1
1
,
$ F
A # *
< < < 6
< , 1 J
(
8
$ , <
, A E 1 < 6 * ?
9:
2 4 !
2 & 1 6 1 1 0 = #+7* 3=5 = !
?
1
6 !
2 =
'
Æ (
%" = 1
C ?
6 B
& 1 G
& =2 1 A 8 A E77#<H B
¿
1 < F A
#88, A <
¿
FE<8# B
1 <<<* A
1 8
FE7G<
¿
= & , ,
<
+
¿
#8
!
2 1 ,
#E
<<
¿
A #8
A E,8H 1
E<8# F E7G< F
" 1 A A
A E
A E # 6 A E 88 #8 " A # = '
$ ( C
'
(
#++H C K 3CK5 =2 1
=2 '
( 6 ?
)
%" = ## = <#< 36;<5 1
? =2 1 0 C =
! 0 F # G7 ,7 36;<5
6 1
& H
I 1 C C 1
9 1 F A
Ô
< = <## 36;<5 C ! 1
& Ô
" ? 1
< Ô
C < 1 Ô
< & 1 1 Ô
Ô
F , <<<*
& < $ A #
A <E
1 1
4 8< ,1 71 ! ,1 ,
$ " #7 " #7
,
,
7
7
7
8
,
,
8
8
,
" #7
& " #7 "1
#7 ! 9
+
?
C " #7 #E
H & ? ? - ,
$ " #* " #*
,
7
7
7
7
8
8
,
,
8
8
,
" #*
& " #* <, H " #* C ? ',( ? '8(
'8( ?
" #* ,1 6 A 7 ? 0 ? 81 ,1 ? ? 6 '8( ?
" #* '8( ,1 ,1 ,1 & & 1 A # =2 A <E 9 39!;<5 E77#8 #88,
<<<* A <E A # #E
& 6 G< 36;<5
> -? 36;#5 " L L
L ? & L 9
L
L ) L L
& C B
& L
1
C L 1
L & 6 %
&( = <<# 36;<5 L "
L " " ¼ L 1 1 L &
%
&* = <<< 36;<5 *
¼ L < A * F E7#877 %
&+ I H# 36;<5 G
¼ L G F EGGE8<+ & 1 *1
1 , << & 62 =
¿
¿
¿
? 9 1
! 1
4 << 88 & ##
#*
¿
F < ##
#8 ,
& 62 = #, = #,
<<, 36;<5 1 1
= ## M *1
& N !
2 1
1 4 =2 ? ?
& *1 4 1
1 62 & 1
6
1 & ? , & 1
& 4 Æ ! Æ
Æ
30 A #E,G#+ 5
$ !
2 !
2 1 ? 9:
39!;#5 & #<
& 1
¼
< A <*
G **
#8
A
4 1
0 #<
A A <
Æ
# F < G F < Æ
#8
< #E,8#H 6
#E,8#H
$ =2 & =2 ¼
#E << A <* **
,
# 1
< F 1 A , #,
#E,*87 Æ
<8
# < < <* **
#7
) #E,*87
$ 62 1 $ 62 *
1 1 1 # & A F #
1 1 *
<
#*
#* F ,
F , 1 ,
#G
#E,,77 Æ
%& <<
F ) #E,,77
=2 *1 " #7
" #* 1 #8
*
1 1 ? ? *
7
7
*
7
7
*
7
*
" #G
& 1 *1 *
& 1 62 #* & ¼
Æ
#G Æ
#E<G,*
Æ
6 1
? 6 " 1
62 -./ % C / % K '
($ 9 4B 0 O "
#++H
-0
/ 4 )
#HH8
-0/ - 4
( *
+ ," , -" *
" . C % P
/ +1 #HG, 8E<;8E*
-23/ = "? &Q
!
/" , - 91D
4 #+G#
-4/ 9 /:
/ '
C %
P / +5
#HG7 <E+;<#7
-6/ I 6 (
$ - C % P / +1 #HG,
8EG;8#<
-67/ ! O 6 0 $ ,
& 1
R % * #++8 G8+;H8#
-67/ ! O 6 ! $ ,
& 21
0 & % D 8 !
9 <EE#
#,
-8/ R > .$ .
$ P #+** #*##
-%/ R = % /@ *9 #+7* <<;<8
-:!7/ > 9:
4 = !
, 7" *" G" H +
'$ 3 / '+4 % C ( #+7# +*;#<,
-:!7/ > 9:
4 = !
5 '
+ , %
C + #+78 8<7;88,
#7