On Approximately Fair Allocations of Indivisible Goods

On Approximately Fair Allocations of Indivisible Goods
Richard Lipton
Evangelos Markakis
"!$#%&'!$%)(*!$#%+-,.!/01 #%+#23#%4
#%,)356!708 9-%:;<!+=!%,$#%>#%(9?09*(4
#%2@A B!#&C#%23#%0#+6!$D9*+6!>(**+)0E!F-#%(5#%+7-5*(+->#%(
%#&E!G
H!+-I0*2@E!$D(+-(*JK!#&+-07!L2@79**+M0
,4
,*LNA8OP-8(#&#%+!$CQP5K)(*
R+#%J*+32)4S;**+-0*AJTU+
>>3*"VW!H>+-+-
#%%#&U=X
-+-(?#+Y#%>!$00)(*#!$LZQ #%
2@0:!L@[09(*#&X#%+-,R- 2!%
- FL!$(?>0
-0[N-\,)3
X]--!*)LA_^`+a!%%)(L!G#+b#%]*+32334SX6#%8*20I!L@
K?>-cGQ +Z0!G]-!+d-0!G7C!+)d$-:-!*)LA
M-*+H->,)3c!G#%23#%0#%Ve*+32)34f;*:!$%)(*!$#%+>!&Q\!*
?g#%LA[TU+]R*0+-(*R$h#+-#%23#%0##%#&#%**V9Q[R0-LQb-!$ -?
?g#%C!%%)(L!$#%+-J#%+7Q #(E/-R+2)#%D9
-+-L3R!$g34
#%1
-!$,#%+!W
#%%#&U)Vh!$+*0*+)1!0#%>!$%,#&iX
(>-
#%+-,:0
(?!$%)(L!G#%+-*A 5*+/%)j/!$`-R#%>#k*!$4
#%+.-%*lWm+#%+-,!+.!%%)(L!$#%+Q #&.>#%+-#%1
-n900#&4
%7*+32))AdTU+'-,+-E!$D(L!$07--%*o#>+>0%2!$-%
$!Lg#!$-%7#%+Z9&+->#;!$P#%>7
-+%*0pqsr/pcAh
(+-0#C+-!$
E!t09(*#!u(L!$0*8v"A ,A\!-#%#%2@R
#%#&#%*Ew\Q -#%(?
!G(*%0*&M*!$La'!d(*!06$`xUy0(E-L
-%#%+-,'-%*>*A
^`-Gg#%!$#%+!$,#&->8!$5Q[*%P!$8#%+-!-Lg#%!$-#%%#%z64
0
&[!G\E!$#%+-LNAhBu#%+!%&cQ[\#%+2*#%,@!$\P-%*_N4
0#%,+-#%+-,>0
K
t>*(E!$+-#%0>\KC3
-(*#%+-,!$%)(*!$#%+JQ #%
9
-+-L*+323)A
ABSTRACT
B[A {)A {8| }~t-XtLXDh}X$X*eC-~upJ$-eX89.eX3N
;?FfD+-+3
>#%(L!F^D%,#&->`!+-7e>*
A {)A=| ]KLG3*-*t.-LX@SH [1-#%+!G#%(*U¡£¢¤¥>¦§"¨
©ª« ¤¬E§ ª9®D ¯ ¤¬?§ «X° ¥c±
[%%*,' [>-
#%+-,V *,#;!aO²*(?!+-Ot*%(*$E#!M³`4
0*!$(E²A\´h!#%""x;µC(*(A ,@!G*(E²A L
FA`¶
-9$0L7)R¶Bd,$E!+)
\ [³ 4z···@{{$¸¸3A
[%%*,Hc [>
#%+-,V *,#!ZO²*(?FA¹´h!#%"'ºL2!$+-,*%#*V
!$¼ 9#X»µC(*(A ,!$*(E²A L
*!G0>*+)/¶3E!G##%(**V:½1A DA5¾[j*%)A¿´!$#%S_>4
0XµCE!GLA 9j@*%)A L
Categories and Subject Descriptors
Permission to make digital or hard copies of all or part of this work for
personal or classroom use is granted without fee provided that copies are
not made or distributed for profit or commercial advantage and that copies
bear this notice and the full citation on the first page. To copy otherwise, to
republish, to post on servers or to redistribute to lists, requires prior specific
permission and/or a fee.
EC’04, May 17–20, 2004, New York, New York, USA.
Copyright 2004 ACM 1-58113-711-0/04/0005 ... 5.00.
À
Elchanan Mossel
Amin Saberi
^D%,#&->*V-´(+->#%(**VOP*0
General Terms
B!$#%+*0*V9´h+32))V^D-Lg#%!G#+/^`,#&-/VO²
X
-%+-*0
Keywords
B!$#%\#%23#0#%+7!$P9**+]!5(**+)0E!9-%*£#%+]*(+->#%(D-?4
0)APOP-JmJ!G0*>\XC!:!$-!$#%(L!N0L!G>*+)D$e-
-%*ÁQ\!R!8)7-cu%#%00(E-)$[!G-*!G#%(*#!+-
vf¶3#+!$
-*Ve¾[!+!$(?FVe!$+ÂR+-!|&LÃGXw8!$+HQP!5-:0
(*
J!+)d#%+)*#%+-,dÄ)
*#%+-*AyÅC2@:/!$]Æ·.)*!$*V !
2!5%#&E!$
:!$5*2@9LY| ÇV[GÆLW!+H0*2@E!$h+-#%+-5
"!$#&+-*0:-!L2@>9**+d0
,,LFA6X)(*
-1+=(+-(*1
*+32)34f;**+*0*Ah^D+!$%)(L!G#%+/#%5È ©ÉLÊ ¨ Ë?¬ÈÈP#&u!$++%:#%²*2@?0
-!*)5%#%j@*R#%RGQ +.0!G>!$5%L!$c!$5c
-(EH!Jc0!G>
!+)`-!*)LA
OP-W(*!0h-*+32)4S;*P!$%)(L!G#%+-W!h!\"!$#&+-*0h(*+-(**eQ\!$
#%+)03
-(L7)/B%=| ¸Gh!+-7Ì[!G#!+d|&LÍGh!+-7!$D9*+6
4
#%L]?g+-0#%2@*&0#%+-(*C*+#+-J(*+>#%(J%#&E!$
>|%LÆ3V-ÇSA
ÎCLQ[*2@LV#%+7> $u-C>3*% (*+0#L0c"!GLV*#&D!%
,)3P!GC#23#%0#%-% W-\#%P!G[%L!$P+-`#%23#%0#%`,)3>#%j@
>+:% -R;!*)?`(>9*+!$JL!$(?7-?D#%+/$E !(E-#%*2c*+32)34f;**+*0:|&VGÏLfA8Tz00
-*J$P#%+#%2#%0#%-#%%#&UH0-
-
9JE!j*+7#%+)c(*+-0#?E!$#%+FA
TU+-#%\-!9LVQPJ
->J-%*Ð$h!%%)(L!$#%+,>#+-#%23#%4
#%-%/,)3#%+M!HK!#&!++-LAZa*+Y,)3!$7#+-#%23#%0#%V
!+6+2)34SX*J!%%)(L!$#%+H>#%,) +-$`g#C!+-]QPRQ #%0/:m+-
-c>#+#%c
-:4f*+32)]!%%)(L!$#%+²A=cQ #%%[
-6-#%R-%*
XÑ!>(*>-
E!G#%+!$u909*(?#2AROP1>3,6$W!&4
,$#&->W!+1(*>?g#&zc-!9**+:
0L:#%+:-\!WKQZ)L!G
K$>
3#+,!+)=$-c,@!>-#%(70%
#%+Z(*+(**
!+-7!$+!&k*#%+-,>,!>* +/#%0(?80
(
*A
TU+I
>3*"V L!(EM-!*)1ÒM-!]!=(*0E!#%+a
#%#&UY2!%
-
ÓLÔtvfÕh-wDJK,$)83L! (E=c0
--J01!LÕM@*\V!1:-,!*))3h*Ò/A *+323#%2@#%*\+=-!!*+)! %%)Ö1(L#&!$e-#%+ 2!%
!G#+/K$C-5
-+%R,#%2@*+/>;!*)?CÖ:#%D>J!$+6-
2!%
!G#+6KJ-DLQ +H
-+-%A`TU+/-!$D(L!0VF>È ©ÉLÊ #`-
#&×N+-(*A
=]m-0-LQn-!$!%%)(L!G#+-Q #%I9
-+-L'!$g#%c
*+32)Zg#LVD!$+I*0*+)/!$+a!%,#&-ØK$7(*>-
#+,=0
-(E
!%%)(L!G#+-*Ad*+d%)j'!Gc-#%>#k*!$#%+'-%*i
m+-#%+-,/!+'!%%)(L!G#+YQ #&d>#%+-#%c
Ñ900#%*+32))A/Tz+-
,+-E!$J(L!066%*Ù#%]+0%2!-%7!Lg#%!-%
#%+Y9&+>#!\#%>AYOP-?K$7QP/%)jY!G+!G
E!\09(*#!
(L!$0*C!$+7E!$#+!$-Gg#%!$#%+/!%,#&->D! QP*%t!`#+-!4
Lg#%!#%#&U'*0
&*AÚBu#%+!$%%YQP6#%+32@*#%,@!G6-/-%*
1. INTRODUCTION
$\*0#%,+-#%+,]0
K
u>*(E!+#%0>DK$R3
-(*#%+,7!$%)(L!G#%+-
Q &# /9
-+-L*+323)A
Tz+6¶3*(#%+{1Q[R0-LQ!$\Rg#%`!+6!$%)(L!G#%+Q #%
!Gg#1
-M+2)C!$²>[VLQ -?#%²!Gg#1
-Y!$,#%+-!
#%#&z.$[c,)3*AOP-c!$g#%c
- !G,#%+!$W
#%#&U#%J
!Gg#1
-_2!%
-`):Q -#%(EC
#%%#&U>$e!5-!*)\#%P#%+(L!0*
Q *+>+ > ,)3>#%P!-*15--
+Ah^D00
>#+,C!G
Q[6!L2@]E!(H!$(*(**0>./-!*)
#%#&#%**V\QP6,#%2@6!+
v Gw`#%>c!$,#&-lK53
(*#%+-,]!]*0#&L.!$%)(*!$#%+FA
OP6-%*$Jm+-#%+-,!%%)(L!$#%+Q #&M9
-+-L'*+32)'#+
*0*+(* #%+#%2#%0#%-%,)31QP!c#%+)03
(*L#%+a| Í$SA^
9
-+-] v Lw[Q\!$DE!#%+LFVQ - H#%\-J+3
-19\$
!L@*AcÅC
R9
-+6#%5!0
--E!$+)#;!$h#>G2@*>*+)D!+-H#&R#%
!$%0:#,)LA
Tz+/¶3*(#%+ 8Q[J%)j!$[-C#%>#%kL!$#%+7-%*Ð$u(*:4
#%+-,!$%)(*!$#%+:Q #%d>#%+#1
-Ñ900#%-%]+2))A]=0-LQ
-!$D#%+H>C(*!0*`-5-%*Á#D!GEFA`Bu#&LVN
-0#%+-,!>0#%:4
#%!$J!$,
->*+)D!D#+d|&ÇSV9QP50-LQb!$D!$+3/!%,$#&-Á+-*L
?g9+-*+)#! #%>].E!$#%+I*+
-,I#%+X!G#+a!9
>
2!%
-!$#%+`$e-!*)\2@*+#%t-C2!%
-!$#%+D!GJG23#L23#;!
!$+/E!$(*%A=C*+7%)j]!$ J09*(*#!²(L!0R$!#&#%2@J
#%&4
#&#%**V#"A AV ÓGÔ vfÕhwh
q ÓLÔ vzº U»w?AW´2*+]#%+-#%\(L!0DQPJ$2
-!$PX`!$+3:(*+E!+) V3C(L!$+]9D+-c{ 4z!Lg#%!$#%+
!$%,#&sK$C-8>#%+-#%c
Ð*+32)/-%*Á
-+%*0Jpnq_r/pcV
Q Ñ#%\-J+3
c9\$e,)3*A
59*%#2@R!$C!:>R0
#&E!-%83x*(?#28X
-+-(?#+6#%`
!Gg#1
-Ð+2)34SE!$#%AÒP5*+32334SE!$#%>$W!L@[Ò6XJ!L@
ÖC#h-\
#%#&z:3Ò:X[!Ö -
-+-%PG2@W-?W
#%#&zcK$[LQ +
-+-%AaTfR!%`-!*)!L2@-/!$>/
#%%#&U'K
+-(#%+²VP
Á#%D(*%0*&/*!GL/!:(*!0C$0(?L
#%+,>%*>
+1#*+)#(*!))(*00*AeTfQ[W#+jC$W;!*)?u!t#;*+)#%(L!
!$(?#%+-*e!$+R-0h-,)3h!h! 0h$x-*V*+5
e4
%*#tLÄ)
-#%2!$%*+)uD0(E-*
-%#%+-, -Fx-e0D!u`>#+#%>#k
E!G#%H$ ->!$g#%c
s(*>-%#%+=#%>>G2@8->>#%+#1
-
(>-%#%+H#%>A8TU+ | ÆG#&R#%R0-LQ +!G E!-!" R,**
!$%,#& |&L·$`!$(?#%*2@*c!+Z!Lg#!G#%+d"!$(>$1 # ÇHX
1+2)34SE!$#%-%*/AC1#%>$28#`*0
-&5!$+?#2
!19&+->#!$F#%>R!$-Lg#%!$#%+]0(?*>A
Bu#%+-!%&-c#00
#%+-(*+3#%2@c(*>-!$#%-#%%#&U.#8!-00LFA
7$2]!G!+)Z!$,#&--!$>3
(**>!$+I!$%)(L!G#%+
Q #&/>#%+#1
-£*+323(*!+-+`9J0
K
SAe5!%0>0-LQy!G
E!$+>&.!%%)(L!$#%+-,6>,)357>-!*)R*0
-&5#%+d!+
!$%)(*!$#%+cQ #&1*+323J!$e> %v $ '& )(+* w9Q #&1#,1-!$4
#%#&z)Au=P(+-(
-\#%+cP!W0*(#%+:Q #&:!$+35#%+)*#%+,
9*+/-%*>*A
2.
EXISTENCE OF ALLOCATIONS WITH
BOUNDED MAXIMUM ENVY
,FÁ
- qº)?. {/.#0#0#0.t
»R9D!R0\²-!*)[!+-21 qº)3.?{.#0#4#0.
6»697!H0?>C#+-#%23#%0#%7,)3*AM^n
#%#&UdX
-+(#%+ ÓGÔ #%
!$00)(*#!$LMQ #&I*!(EM-!*)5ÒtAaB-7Õ657¹
1 V Ó Ô vfÕhwc#>
-!-#%+-*0C-!*)\Ò.#%2@J#&P0-1E!#%+-Cc0
-08Õ[AR
!$00
->5!G Ó Ô #C+-+4f+-*,!$#%2@1!+6>+-+-8#"A A Ó Ô vfÕh9w 8
Õ 5=:!$+*2@08ÒtA
ÓLÔ ^`;v :J+5wW!X%%)`(L*!$2@?#%0/+?<
>d#%u!\!G0#%#%+1$W,)3@>Mq¹vA> & .> .#0#4#0.
>CB-w²Q E
D GÔB F & > Ô H
q 1 !$+I > >EL`
q MDK$[!$%<
Ò qMN Ö3@A > #%
J0
-0`!%%)(L!GL7c;!*)?hÒtKÔ AeJ C$C!G 0>J$u-D0Ô > !L9c*>z)Ac^ !G0#;!$[!$%)(*!$#%+=Q #%%[9>!!G0#%#%+
$hÔ 0>J0
-0`$O 1¹A
#%2@+M!+M!%%)(L!$#%P
+ ><qÙAv > .> .##Q#.> B w?V\QP6!*'!G
!L@ Ò=*+323#%*R-!*)5Ö#&P0-c& X R-:
-+%:!%%)(L!GL
5ÖJ8-WLQ +]#"A A Ó Ô Av > Ô Sw R Ó Ô Av > L w?Au`Q #%%N+-`)U T Ô L
-C*+323$9Ò7K$CÖ3
T Ô L@Av >Cweqy!Ggº$·/. ÓGÔ vA>CLLw@V ÓLÔ vA> Ô w»#
=[m-+-S T3Av >CwFC9-P!Gg#1
-y*+32)R9zQP**+c!+)5!$#&
h!L@*A
T3Av >CweqM!$g-Wº T Ô L)Av >JXw .eÒ .0Z
Ö Y[-» #
=DQ #%²X+6>#&\-J-!$E!$>E >#%+]J+-$E!$#%+FA
^M+!G
E!$NÄ3
*#%+>#%[Q -W-`g#%\!$%)(L!G#%+-PQ #&
9
+L7*+32))A[RE!$#%+!9
-+-7+/R*+323]#%+/> -h!Gg#%1
-a!$,#%+!
#%%#%zJ$,)3*V [AeOPW!G,#%+!$
#%%#&U>$e!5,)3\ uQ #%>*09(P1!8;!*)?eÒ7!$+!50
--0?\
,)31ÕPVF#%J-1!>
-+)J)/Q #%(?H#&5#+(L!$0*J-1
#%%#%z
ÒtV@Q *+!L88ÕPV@#SA A%V ÓLÔ vf]Õ D8Gº U»$^w V ÓGÔ vfÕhw?AOP- !$g#%c
!$,#%+!F
#%%#&U]#%*
.qM`_ Ô!$_g ÓGÔ vf[Õ D7Gº U»@w V ÓLÔ vfÕw
TU+c!#&#%+cR$23#%+-,J!C9
+1+c-\+2))VGQP *0*+)W!+
Q a>(#+3R!%,$#%Ñ!GR(*>
*C!7*0#&L.!$%)(*!$#%+FA>B-$
!GLVQ[ !00
->P-!$h-P!%,$#%£(*!+>!$0jc!$+:E!$(*% X-
#%%#&U!1-!*)hÒ/K$D!+)0
--0?JÕ[A
bCcd!efKd^go{3A%C
A h²¤¬ ±È « ¤UË ¯ ¤L¤ i± ª$© i ª©-Ê ±È « ¤Ë j %ªÊ ¨
È?¬E± k «X° È?¬0ÈD)È l§K± « ± ª$©ªK ¤ m ªª©-« Ê §S¤ © >
± n^m
ÈP¥ l§KZ¥ n¥_È
¤"Ë >Ø§K±.¦¤ n © i))È iy¦ ÊI«X° È¥ ª l§Ko¥ n3¥ °1«X¥ °ªª¬«t¯ «X§ ° ©9ª nª « § § «"Ê ¤Ë ©-«X°ÉLÊÈ
¯ ¤L¤i±kqph+n¬ È«X° j È?¬E¥>È?¤¬?¬0± ÈXk k ¯ § È?É ¬0È È5© §K± ¤¬ ª m È v ª mmEÈ?
±w ±5Ë*§X¥¤$¬ È «X° Èr¤n ¬E«§ § § ¥«"Ê
XË n © m « §"¤ © ±J¤Ë «X° s
« ª ¯ «X°
Ë*¤¬Ot © i§ ©3¯ ±n^m °ª%©.ªÊ ªK ¤m ª«X«° §S¤ © p ª©
#%2@*+.!+.!%%)(L!$#%u
+ >8VNQPcm-+-16È ¬ j s >£!$
K%LQ *d2@0Y+-36$R-6,$E!-M*0*©+)ÉLÊ¯ !=ª -° !*)]!$+
-?C#%\!8#&*(LL,D;ÚÒ8Ö8#&×>Ò*+323#%*PÖ3AOP-C)
OP*Á{3A%5#%`-!0L]+]JK%LQ #%+-\, ,²>!
v'd!gqgqw {3A {)C
A ht¤¬ j ¬ § ¤ m §S¤ >yxh§ È ¬ j
z k@x[I
È m ª© t © i ª© ¤ «X° ªÈ?©-¬ Ê j ª ª ¬ « « § ªª²9ªªKK ¤ m ªª« « §"¤ \© © { xh§ «X«X° ° È ©©-ÉLÉLÊ8ÊC¯¯ ¬ ªª j °°
|Ù± n^m °7«X°ª%« }
w 8T3Av >Cw
~ T3v { ~ |Ø§K± ª m Ê m A§ mGp
sfêeKDTf z !$u+-D#&*(*5(?(*VQ[P!$[+-Ae¶
-90
!GI qyÒ & Ò KÒ Ò & #5!]#&*(*.((*%:#%+
z A¹TfI
>qÙGº > .#0#0#0.> B »)V`QP(L!+aE!$#H
+ >E:q Av >E& .#0#0# >CB w
)64z!%%)(L!$#%+,/& -:,)31!JK%LQ *o > Ô
q > K$c!$%²
Ò Y
ºÒ & .###.KÒ »)V!+-[ > GÔ q > Ô .> Ô q > Ô .#Q##.> Ô Ô q > WÔ A
C$7!G!%`-!*)>*2!%
!G7Q !G-'-!G27#%
+ > !G
%L!R!C1
-(E6!DQ !$D-7!L2@5#%+ >8ACOP-?K1#&J#%CL!$
:0*J-!$C T)Av > Sw 8T3Av >Cw?A
=c(L!+!%060-LQ_!GR-:+3
-19J$ L,*5#%+.-c*+323
,E!$- z (*$0*09+-#%+-, > -!:*(L!$0LFA=Ot0*-#%*V
m- +C-!$\J0ùCL,* 9zQP*+7!$#&`$e2@0#%(*
#%I+ -I-!u+t(?-!+-,LFAu^D%0 *2@0JL,[-eXMÒ /Ò
K$F"Ò Y"-=M!$+DÒ YrI-!h+-LQ'9*(>[PL,uÒ Ò G &
v"PÒ Ò #&' ]qnLwD#%+ z !+-H+]>$cL,*R$W#%JK
!L2@R9 *+!LNA\OP-5+3
-19 L,*`hJK Ò Ò
!$J*#&-?5*(?L!0LHJ!#%+-L/c!>80#%+-(*c-!*)J#%+
s!G70#%(&d!$-#?LA'Bu#%+!%&dK$RÒ Y ]+3
c91
L,*\X_Ò :2@0#%(** #%+ Ú!$ *(?L!0L/)!GD%L!$1A
OP3
-\)*9L!GL&*>G2#%+,c((*%* -0#%+,c-R!$9G2@R$4
(*L
V²QP:Q #%%[E!#%+d!$+d!%%)(L!G#+ { Q #&=(*$0*09+-#%+-,
*+32)5,E!$-Z | 0
-(E1-!$' T)v sw 8T)Av >JwF!+-o | #%h!(?(#%(AW¶3#%+-(*
-\+3
c9e$9L,*W*(?L!{ 0*W!$*208*²V@P)(*0Q #%%
>#%+!GA
sfêe eb9c+dêfKd!g /]1,#%2@c!$+!$%,#&l!GJ4
-(*C-1*0#&LH!%%)(L!G#+²A1OP-c!%,$#&-Ñ)(**LJ#%+
-+-*A`^PC*!(E/
-+-/+8>$5,)3#D!%%)(L!GLH>0>
!L@LA
Tz+:-\m-
+NV@QPD!%%)(L!$C,)36\80> -!*)\!G-#&4
0E!G#%%)Ah [*!$&:-[!$g#%c
-b*+32)1#%!$> WA¶
-90 !G
1+/
+" 0V9-8,)38º) .#0#4#0.U»:!L2@59**+H!%%)(L!GL
=6-!*)!+-Y-6!Gg#1
-i*+32)Y#%]!$>\ [AÚ^P
-+- V9Q[1(*+-0
(C8+2)7,E!(*0*09+#+,
J(*
0*+)`!%%)(L!$#%+FA[J
-0CJ)(L
R' ,F*>!c{)A {
1E!#%+/!$+/!%%)(L!G#+ >#%+]Q #%(?-C!Gg#1
- *+32)>#%D!G
>? !+=7+-?QÐ*+32)d,E!$- z #%>!$((*%#(AY¶#%+-(* z #%
!$((*%#%(V-?R#D!c;!*)?["Ò Y-ÑQ #&/#%+4z*,*8·3V-Q -#%(E/#%:4
%#-!$+-931*+32#%*FÒtA²=P-+>!%%)(L!$`,)3U 6\\ÒtA
,F qÚv .#0#4#0. B-w[9`-C+Q!%%)(L!G#+²A[B-`!$+)]{5;!*34
?[/Ö { . JQ #&{ >& !Ö . \qd{N Ò²/V T L v { wh
q T L Av >Jw 8[AhB-$PIÖ Yr-Heº0ÒF»)V
0#%+(*] TL Ô Av >Cweqy·8QPR!L2@
TL Ô v { w q !$g-ºG!· . Ó L)Av > Ô D6Gº U»@
w V Ó L@Av >ELGw»
8 !$g-ºG!· .
LÓ )Av > Ô w V Ó L)Av >ELGw]» 8=
5
-01!0#%>8!$>0#%k*L6!$+!&0#%CK$C8
+-+-#%+,c#%>
$\-!$,#&-/A7TU+ ,²*>!7{3A {3VeQ[>j@**>$23#%+-,]((*%*
+)#N-R+2)34f,E!$-#D!(?(#%(APBu#%+#%+,>!c((*%8!+-*>G2)4
#%+,8#&E!j@[!G[> v wu#>`!$+c#&\*(L!$0*W +
c9
$JL,*>)'!G>%L!+-AZTz+-#&#!%&Z]+2)d,$E!Y-!>+-
*,*A^D%%)(L!$#%+-,1!J,)3!GP!$+38
+:!-[!G[> ]L,*
8-J+Qa*+32),E!$-FAW¶#%+-(*C*2@0((*%`*>G2!$²*(L!$0*
]+3
c91DL,**V[]+3
c98`#%>*cQ[]-!G24
>G2@8!:((*%8#%J!$C> v +6wD!$+75$E!u
+-+-#%+,c#%>
#% v [ w?A
Tz+]| ÍGfV@!D0#%>#%!$h>3-!e9*+cm+L5Q #&5-\#&×N*+-(
-!$Jc
#%#&U6X
-+(#%+HP2@0-!*)J#5!-#%#%2@1!+-Q[
-!L2@J!8(*1-#%+!G#+]$e#23#%0#%-%R!$+#+-#%23#%0#%C,)3*A 7$
X!$&)VC#+_| Í$R. #%7Z!G0#%#%+b!'>L!$0
E!%
0-!(*]v 9. >w?AR´W!$(?H-!*)C!J!
#%#&z/K
+-(#%+Q -#%(E#J!
-!-#%%#&U6>*!0
ÓLÔ +'v 9. :w`0
(?6!GDXR*!(E ÓLÔ !Gg#1
-i2!$%
-/$5!+ ª« ¤¥#%2 [Ay^Á0
--0?]Õ 5 #%!+
!GnK$ ÓLÔ #% ÓLÔ vfÕhw I·:!+-
aÕ[V*#&- ÓGÔ v 8whq·1
Ó Ô v 1whq Ó Ô vfÕhw?AhTfP#%\0-LQ +!$W-Dg#% !%%)(L!$#%+- Q #%
+2)]!$`> v XGw?A
>(L!+dG2@>!$8
8*0
-&c!%0.5K$1*#&c>3*
!$+8-*+(*P#&h#%>G2@*tP9
+5 v w²9 [AeOP-P#*!
#% !G\QPR(L!$+/!G0#%#%+ a#+):#%+-#%23#0#%R,)3De2!%
-5!G
>q '!+-]-*+7!-&]OP-*$*Á{3A%A
b9c+dêfKd!g {)A 3A
È EÈ n § § §fÈ?±`¤Ë OÈ j È?¬E± ¬0OÈ j¬0¤¦*¨
¦ª § § «"Ê ¥>È ª ±n3¬0È?±7¤ © v ° 9©. >«X° wRqs« v0| ·!« .L?A. D¤«X¬° È ±È %ª« ±0Ê w?xh§ «Xª °'ª$« ¤¥c±
¤UË É$ª nÈ ª« ¥:¤± « Sk «X° È?¬0È:)È l§K± « ± ª j ª ¬ « § « §S¤ © >aqÚAv > & .#0#0#0.> B w
¤UË _± n m °/«X°ª« T)Av >Cw 8p
sf eeKC¶#%+-([L!$(?8>L!0
!$e!$>u2!%
-W!$e>
WVu-#%R>L!$+-J!GRK$12@0 ÓLÔ Yy| !· .L?A . Ó Ô vzº F»$Iw 8 [A]OP
(*!0\ Úq ·6(*0*09+1!+d#%+m+-#&*&=#%23#0#%(L!$j@!+
!$+*+32334SX1!$%)(*!$#%+!&Q\!*Jg#%c| Í$SACB-9 ·:QP8(L!+
*
-(1-1-%*s]!%%)(L!$#%+,6#+-#%23#%0#%c,)35P2!%
!G`>q '!+-]-+]
05OP-*$*l{3A%A
v'd^gqgwÐ{)A ÇA ° È7§ ©« È?¬ É$ª | !· .L?U
m ª© ¦E?È j ª ¬ « § « §S¤ © )È id§ © i$§K± L¤§ ©« ±È « ±`Õ & .#0#0#0.?Õ ±n^m °/«X°ª« nq vWew ª© i ÓGÔ vfÕ wS8
.Ë*¤¬1È É È?¬ Ê Òq3 .#0#0#0.'.Acq3 .#0#0#0.
sf eeKDBu#%+->#%+-#%1
-Ñ900#%]2!%
->X Y| /· .L
0
(?!G Ó Ô v0| !· . -X
w 8 XH*2@?0y-!*)ÒtAÑ¶
(?b!+
!
#"
%$
&
'
g#%>0#%+-(*6!G>>-!G272!%
-7!$>?[Ay¶3Õ & q| ·!.
!+-Z(+-0#:-]#%+3?2!$Rv .*SAY^D,!#%+'m+=7>#%+-#%c
2!%
-8 rYZv .*u0
-(E-!$ ÓGÔ v0v . 3XCw 8ZK$J*2@?0:ÒtAJ¶
Õ qÐv . )fAR1(*!+H(*+)#%+3
-8#+-8!>8!++-C
-+)#%tQP
!G 0#&#+=-cQ %#%+3?2!$D| !· .L?SA/Tz5#%8L!H/(E-*(Ej!$
-+3
-19N-#%Kx#%+3t#%+3?2!$uÕ & .Õ .#0#0#0.?Õ $-!$0#&#%+
Q #%%t9 v Whw?A
=(L!$+=+-LQ£0L!$8->#%+)2!%:Õ & .#0#0#0.?Õ 3
-(L#%+=-
2#%
- ,F*>!:!$J#%+#%23#%0#%-%c,)3R!$+6OP-*Ñ{3A%1Q #%%
(*>-%CR)zA
(
*)
(
(
(
+)
+)
3. MINIMIZING ENVY AS AN OPTIMIZATION PROBLEM
^D&
-,QP'(L!$+Ú3
-(*Z!$+¹!%%)(L!$#%+ Q #&¹9
+L
* +32))V-#%+6!$+3#%+-E!$+-(*D-R!Gg#1
-Ð+2)(L!$+6980!$%?
!$+?[AhOPX\QP\QP
-c%#%j@\J%)jc!$h-PX%%GQ #%+,5zQP
#%>#k*!$#%+/>*
pJGeX RÚK~u" eØ~ F
[>
R!$+6!%%)(L!G#+ >!G >#%+-#%>#%k**P-C*+323
Ô !$_ L g º$/· . Ó Ô Av > L @w V Ó Ô Av > Ô w»
pJGeX RÚK~u" eØ~ FF0GLX
[>
R!$+6!%%)(L!G#+ >!G >#%+-#%>#%k**P-C*+32334SE!$#%
Ô !$_ L g º) . ÓÓGÔÔ vAAv >>CÔLLww »
-,/.
10
2
435.
10
2
^DQP Q #%90D#&P#%P+[!&Q\!*P900#%D5!L2@`!R9&+->#;!$
#%>!%,$#&- X7(*>
#%+-,d!$+a#!$C0
#%+²VD-+-(*
QP5Q #%%W!$%0]98#%+3?*L6#%+HE!$#+#%+-,!Lg#!G#%+H!%,$4
#&->*A #%2@+d!6>#+#%>#k*!$#%+= 8VeQP!*-!$c!+
!%,#&-n-!\!$+/!Lg#%!$#%+>"!$(`$ :X 1V3#&²K`!$+)
#%+-E!$+-(* /$ 1VF-:!%,$#%<
R!]0%
#%+.Q -#%(?.#%
,
-!$E!$+3L/91!$J> :8v w?VQ :8v wP#%C-
#%!e0%
#+²A8=5Q #%!*6!G5!+.!%,$#&-Ñ#%5! `¤ Ê ¨
¤$¥c§ u§X¥È j`j¬0¤ l§K¥ §"¤ m È?¥ÈcvSOu^J¶w`#&[X8!+)6#%+4
© E!+(*ª >!$+7!$® +)]?0 ª!G« E!© >?° Y·V-C!%,$#%n
-+-
#%+7#%>C9%+>#!F#%+7-J#%+-
P0#k1!$+
!c0%
#%+
Q -#%(E/#%`!$ >5v Ew :8v w?AeTze#%+7!-#&#+7-D
-+-+#%+-,
#%>J#% 9&+->#!$²#%+. -*+QPR!*!$ R!%,$#&- #%
! hn K Ê `¤ Ê© ¤¥c§ ª u§X¥È ® j`j-¬0¤ l§K¥ ª« §S¤ © m ° È?¥ÈJvSBeOu^J¶w?A
U
TU+b-=K%LQ #%+-,y-* QP'0GQi!G.!+)Ú!$%,#&
+-L>!$+'g9+-+3#!$\+
c91CÄ)
-#%*c#+'-QP$(L!0
c3
(*R!+]#!$N0%
#%+FA[ÅC
(*+-0
-(?#+7#% 0#%>#!G
:D#!$+6!+-/¶3*,@!$[|&*Ç$fA
bCcd!efKd^g A%A ®`©Ê i@È « È?¬?¥1§ © §K± « A§ m ª ¯ ¤$¬?§ «X° ¥ «X°ª$« mE¤$¥:¨
jn « È?± ª©'ªK ¤ m ª« §"¤ © xh§ «X° ¥1§ © §Xo
¥ n3¥È ¤$¬c¥c§ §KZ¥ n¥sÈ ¨
¬ ª$« §S¤¬È Qn3§K¬È?± ª.© n3¥:¦?È?¬/¤Ë Qn-È?¬E§fÈ?± x ©° ÉL§Ê m ° §K±7)È lX© j¤ © È ©« § ª© ÉL§Ê ©
«X° È © n3¥>¦EÈ?¬8¤Ë ¯ ¤L¤i±R§ ©6«X° È]x[¤$¬?± « m ª ±Èp
sfêeK`h,#%2@!+5
%#+h3-h)$UA¶3
-90'
qy{ 9A
=](*+0#-K%LQ #%+-,'(*!0$J
#%%#&U'K
+-(#%+- Aa^
K
+-(#%+ Ó #%D#%+ #&U
·8KC!%tÕdQ #& Õ !R 9A
Ó vfvfÕhÕhwhwhqy
CKC!%tÕdQ #& Õ 9A
Ó vfÕhwhqÚ
ÓCLQRVqÚ(*q+0V #Ó vÕh#%+-w[KE!$D+-!$(** \Õ v . q wt#+5Q -#%(E1\!$WUQPD-!*34
5Q #&-:!$>>
#%%#&UHK
-Ó +(Ó #%+ Ó X10> Ó Y ]A7OP-
+3
-19 0
-(E6#%+-E!$+-(**D#%J
-%7g9+*+)#;!$t#%+ 9AJ¶3#%+-(*
-8!$,#&-s!0j3C+-&!:9%+>#!u+3
c9`WÄ)
-?#*V9#&
76
98
<;
:6
6
>=
8
>=
(;
(;
?
"
A@
>;
B
>=
CDB
(;
EB
?
"
1@
G
DF
H
IH
EJ
&
LK K MJ
LK KNMJ
PO
QK :K RJ
D
1J
(*!+3
-(*5+&6!+g9+-*+)#!²+
c9`$[#&×N*+)JÄ)
0
0*Ä3
*+-(**AÑOPXVRg#%6UQ[M#%×N?*+)7K
+-(#%+-
. Y
0
(?Z!$c-6Ä)
-?0'0LÄ)
-*+(**>(*$0*09+-#%+-,
RÓ #%+-E!+(**`?m+-*]) !+- Ó !$JJ!>A
[+-0#?:-#%+-E!+(**/v . w1!$+Mv . w?A=OP-]!%,$#&-
Q #%%`3
(*-7!$>7Ä)
0dÓ 0LÄ)
-+-(**Ó 1K9$'#+E!+(**
!$+6-?K>#&JQ #%%3
(*1:!>c!%%)(L!$#%+=Kv . Ó w
!$+Mv . w?A6Tz1#%cL!$60*!Gc!$&-
,dK$c#%:(*!0V
HÓ g#7!+!%%)(L!G#+bQ #(Ea#%/*+32)Y;*VD-H#%7+-
0#%+,%8!%%)(L!$#%+6-!$ #%D+2)>;*JK$C9$7#%+-E!$+-(***A
`Q[
;>%#%j@D5+D-!$P!+#%+3?*#%+-,5"!(? !9
\OP4
$* 3A:#J-!$5#&R#%5
-+(*+-#&#%+!$"Vt#"A A%Vu+89*+*+)J+
!$+)](>-%g#&U*0]!00
>#%+FA
'
[(*+-0#?!D+!G
E!$09(*#!(L!0P$-P-%*#%+8Q -#%(?
]
#%#&z=K
+-(#%+:C!% -!*)c!$7!-#&#2]#"A AdK$!%
Ò<Y<-.V Ó Ô vfÕhw q Ó Ô vzº »$w?A5TU+6!GJ(L!$0Vt!+H#+E!_ + (*c$
R-%*Ð#%`09*(*#&mL)7!$+"s!G0#&gbqÚv ÓGÔ w?A
3.1 Additive Utilities
¶)#%"Vei$\m+-#%+-,6!6>#%+-#%1
-:4f*+32)/!$%)(L!G#%+
%# Rr7pC4z-!$ENV9*2@*+/Q *+/-5+3
-19`-!*)D#%DUQ[ACOP-#%
X%%LQ /XØ-/K!(]!G]X7zQPd;!*)?Q #&M-!$>
#%#&zdK
-+(#%+*VP*(*##%+-,Q -?-!$+Y+2)34SX*!$%)(L!G#%+
?g#%D#DLÄ)
-#%2!%*+) ]*(*##%+,#&h-?8?g#%C!:!$0#&#%+$
!80\$u90#&#%2@J#%+)*,\#%+zQPc0
-0[u*Ä3
-!90
/V)Q -#%(?
#%Dr/pC4f(*>%:|&L¸GfA
¶3#%+-(*h-3x*(?#2WK
+-(#%+8$W>#%+#1
-a*+32)J
(*!+:9\k*?R!+-c0#%+-(* ##%+,
-#%0#+,J-P(*!0\Q -PP*+32)
#%Jk]#%Rr7pC4z(>-%VQP1(L!++-C!L2@1!>9&+->#!$t#%>
!$-Gg#%!$#%+7!$,#&-n
+-%*0 p_qr7pcA9ÅC+DQ\!*>8*:4
*-#% # >!-.J>
`3x(#%2@RK
-+(#%+FA[Tz+7!GD(*!0V
OP*n{3A%D,
-!$E!+)*P!>v "hwz4z!Lg#!G#%+!%,#&-/V
Q s HqM!$g ÓLÔ _ AuW(*!+1!%0C0GQd-!$uXh!$+)5(*+E!+)
$V@-?`#%W+-8{ s*4z!$-Lg#%!$#%+:!%,$#%£
+-%*0Wpqyr/pcA
OP:)$P#%5!%+-,]c!$>c%#%+-*5!$J-c#%+-!-Lg#%!$-#%%#%z
0
-&PK$\-D%*n¶3
--0?04¶3
-> ¼ #&×N*+(*C#%+H| $²!+->Q[
>#&D#&LA
3.1.1 The minimum envy problem
5
59*%#2@R!$C!:>R0
#&E!-%83x*(?#28X
-+-(?#+6#%`
+2)34SE!$#%ATz+-cc$\-#%50*(#%+FVuQP
3-:*+32)34
E!G#%/-%*s#%+-1(L!0cQ cc-!*)C!L2@1c!$>
#%#&z7K
+-(#%+²A\=RQ #%%h*+R-R
#%#&z7!GC!L@C4
#%2@J;n-!G23#%+-,c,)3" h) Ó v zw?A
OP#%P09*(*#!N(L!$0C#%P(*%0*&;!GL:c!5(*!0\$t0(E-*
-%#%+-,
>[+#+3#%(L!$)(*00*Ah=`(L!$+#%+-jc$N-`0P$
!L@[!$[!J0?[$²#*+)#(*!-!$(?#%+-*!+-1- 0WN,)3[!
!10 @ x-\:9J0(E-L
-%L+]J!(E-#%+**A´20Rx
-! !890#&#%2@C)(**00#%+-,c#%>C!+>-D%@!t*2@0>)(**4
0$8#Jc0
s[-c)(**00#%+-,]#>JW-DxU1!$00#%,+-*
8#&LA[¶*2@?E!93x(#%2@DX
-+-(?#+-\-!G2D9*+](*+-0#?L0
(?
!$>#+#%>#k#+,H7!Gg#%1
-<(*>%#%+Y#%>.v"!j@*0-!+w
|&*·VN?9W!$g#%>#%k*#%+-,J-\>#%+#1
-Ú(>-%#%+:#>5| Ï3V{$·V
{LSAPÅC
[ #%PLÄ)
-#%2!%*+)1>#%+-#%>#%k*#%+-,JÈ!G#%1$²
!Gg#1
-o(*>?#+Y#%>/G2@>6>#%+-#%c
o(*>-%#%+
#%>A
OPDX%%GQ #%+,:,**!$,#&-£Q\!\90L) E!!$
X -D>#%+-#%c
!$j@*0-!+-%*Ñ|&L·GSP¶30\C,)3 #+
*(L!$0#%+-,C$Eu-*#&u2!%
*e!+-5!%%)(L!$[*+-)R+
#%+6!GJ$ELAJ^\D*2@?0/*FVF!%%)(L!$c1+g3C,)3>
3.1.2 The minimum envy-ratio problem
- !*)eQ 0\(*
0*+)e-
+W!$u-[%L!$2!$
AeTz+]| ÆG#&eQ\!$
G2@*v"#%+R-(*+3?gt0(?L
%#+,)w9!$²-W!Lg#!G#%+
"!$(D E!!$" D!$%,#&Á#%53# ÇcX`-CE!G#>/A
bCcd!efKd^g A {3A
P¬ ªL°ª ¥ ± ª ¯ ¤¬E§ «X° ¥ ª m ° §SÈ É È?± ª©bª j9¨
j¬¤l§K¥ ª$« §S¤ © Ë ª m « ¤¬8¤ËJ# Ç1Ë*¤¬ «X° È:È ©-ÉLÊ ¨S¬ ª« §S¤]j¬0¤¦ È?¥2p
TU+'-7+-g3OP**/V[QP6#%>G2@-#%>*0
-&!$+Y0LQ
!GDQ[5(L!+6!$(?#%*2@8!+)](*+E!+)DK!($R!G-#&0E!$#%&/(*%08
JX`-J*+32)34SE!$#%c-%*/A
bCcd!efKd^g A A ° È?¬È5§X± ª
® Ë¤¬ «X° È1È ©-ÉLÊ ¨f¬ ª« §SI¤ j-¬0¤@¦*¨
hÈ?n3¥ ¬ x È?° ¬?È¥:©b¤¬ªXÈ KkS x j %ª$È Ê È?¬E± È °ªÉ n3È ¥>«X¦E° È?È/¬1¤± sË ª ¥j È n È?« ¬E§ ±R § «"§KÊ± mË*¤¤¬± È ª m °Zk ¯ ¤LÈ?¤ ¬0iÈ p
%ªÊ
© «fª$©-« «X°
§K± ª«X© ° h ® p ° ©H«X° ©
sfêeKC¾WK$C,#%+-,8#+)R-È!#%%[$²`)NQP`,#%2@
!#%D
%#%+-]D-*(?+-#Ä)
-A'ÅC
>!$%,#&#%:0#%>#!G
6| {Gh!$+| {$·$SA ÎCLQP2@`
CxU*(#%2@5K
-+(#%+6)*C+ m-
#%+/-*#&`XE!$>QP$jNAÒP8!%,$#%s#%D!DX%%LQ * #%2@+6
#%,#+-!#+E!+(*V$QP[
-+5-W
#%%#%z59*!(Ec,)35CE!#%+
!](@!$01#%+E!+-(:#%+.Q -#%(E.c#%5!](+-E!$+)5+
c9C
#%#%+-(?W
#%#&#%* v"#"A A%V3!D(*+-E!$+3+3
-19u$N#&×N+3ez9*e
,)3Ew?Ah=\-*+>0LQI!G[#%+>- +QM#%+-E!$+-(*V)QP`(L!+>m+-
!+.#!$h0%
#%+.)0L!$(E-#%+-,]K52@0-!*)8!$>+,7!
(*+-E!+)[+
c9$t#%#+(\!$00#%,+->+3WF,)3*AWOP-`(*+4
E!+):Q #%%`97g9+*+)#! #%+Z/!Lg#%!$#%+Z!GE!>
G *AMOP#>-02!$#%+Y*+-!>
-cH(*>
-]#%!$
0%
#+Y#%+=
-+L#%+-E!$+-(*)=023#%+-,.!60#%*:$D#%+4
*,:,E!$>8Q #&Z!6(*+E!+)1+
c95$`2!G#;!$-%*1
-0#%+-,
,²+-0E!! !%,#&- |&G{LfA^ Xem-+#+,J!$+c#%!!%%)(L!$#%+
#%+c-P
-+-Lc#%+E!+-(VQ[ Q #%%(*+32@0h#&[#%+)R!$+>!%%)(L!$#%+
K$R-8#%,#%+-!#+E!+(*A5TU+61Q -%c)(*0*V²:!G>{
0
(**J$[?0LD(*>
#%+-,:8
-+L/#%+-E!$+-(*8XÁ-
#%,#+-!e+-8!+-]0E!+K>#%+,R#!$u!$%)(L!G#%+Hh-
+L#%+-E!$+-(*!+'!$%)(L!G#%+Z ->$#,#%+!\#%+E!+-(A
=J!$8!Jc9
-+-R0`) *A
,²? 9!+d#%+E!+-($ ->-%*/VuQ #& Y-!*)*'
V
,)3 !+-:
#%%#%z Ó v zwhX\,)3 0AhTz R=7*+>-`#%!$
*+32)34fE!G#%.#% !+-Y!$+3Z!$%)(*!$#%+a#%>#%!"AIÎD*+-(]QP
(L!$+7!$00
-> Q #%
\%0\t,*+E!%#&U>-!$
eAeDE!G0
Q #&/0>C!0#%(R"!$(D!9
\-R#%!N0%
#+²A
,²?Y9J-J!G2E!,8
#%#&z]$u-R!L@*V
=q Ó v zw
Tz9!%P,)3Q[`#%23#0#%V@QP\(*
-:!$%)(L!GC!`XE!(?#+>
G G;¹L!$(?1,)3cC!D-!*)!$+8*2@093RQ[
;5*(**#%2@
!c
#%#&U$hg!(& A
=[#%-80j@?(?1-LQ'J!$+%\,)3hQ #%c
#%%#%zc,$L!$?
!$+\A[¶
-90CRg#%`!c,)3" hQ #& Ó v zw\ATz@ #%
!00#%,+-L.7!];!*)?\Ò#%+=!$+#%!h!$%)(L!G#%+²Ve*+-
#%J!$+.!$%)(*!$#%+HQ #%/1!$>5J%*0D*+32)4SE!G#>#%+6Q -#%(Er
#%8>+%.,)3d!$%)(*!$L=>ÒtA7Ot/0*>#*Vu0
--90>!$
-!*)`Ò(**#%2@*5,)3<
D!+-.0>>-?5,)3FVh!*" /#+=!+
#%!90%
#+² A ,²?PÖ59DD9 0+Q #&>#%+-#%c
#%#&z
!+--
+Õ BFA/OP-*+ Ó vfÕ Bow RÚ!$+)H,#%23#%+-,,)3
=Ö3V #%#%L!Z=0*6-!$>-]E!$#%')*+#%+-(L!$0V
!+-c-+-(*\-\+QY0%
#%+>#%W!%05#!$"AhOP-?K`,)3
Q #&7#,]
#%#&z(L!+9J!$00#,+-L1!L@\
-+)#%QPC!$J%;
Q #&:,)3W-!$h!$#%; Ó v zw R\AhOP-#%W)*h+>L!+8!GW#&
QPD!L2@`!5WOt^J¶cK$P- (L!$0DQ -+ Ó vzwsRK\!%K0V)QP`(L!+
?#2J!8WOu^C¶>X\C,+-E!$F/V!\#%[-D(L!0C#+H| {GSA
TU+L!QPJQ #%%t!L2@J1
-+-z-#%, >,)3J!$-#!G*&70
#"
?
"
?>"
@
@
B
C
;
B
-!$h#%+c[
+#%+,C#%+-E!$+-(*P*#&h
#%%#%z8#!$0R#%,-?e!+
>(*009+#%+-,H!L2@E!,
#%%#%z)V \A7=:Q #%%[*+=
-
!$+6#!$t0
#%+/K$CJ
-+-L]#+E!+(*5#+/Q #%(?/0
(?
,)3!G7!$00#,+-Ld-!*)8Q #%'+H$-c,)3'#%+'*#&
-+-%A
>#&[DE!#%%[X\-!+%#+,5,)3WQ #% v zw d!+
;l+-LQ¹+6Q[8Q #%%!00
->R-!$ Ó v z9w R IK$RÓ *2@?0" 0AC
-!L2@C-JX%%LQ #+,>"!(?L
w g 3A Ç
A XË v U?w R aË*¤¬]È È?¬ ¤L¤ i\)k È È?¬È6)È l¨
§X± « ± ª© ¤j « §K¥ ªhªKÓ ¤m ª« §S¤ © >¹qÐvA> É & .QÊ6#4#0#0¯ .X>9Bw1±n «Xm° °H©Z«X°«Xª° « & HR
Ó Av > sw RI{ 9 p
OPJ)$e#% 30LQ #+,c!G #%+7!c,#%2@*+#%!$F0%
#%+FV#&
#%u900#%-%[ L!%%)(L!$PW,)3e0 !Gt-*+32)34fE!G#%D)*
+`#%+-(*!08!+--C(*+-#&#%+-`t-J(*!$#Á!GR!$#%mLNA
WQ #%%+LQZ*0(#%9\GQd`
+R-[2!%
*e-[,)3
!$+IE!$#+I!+M#%+E!+-(6#+ZQ -#%(EI-7#+-&M!.(*+E!+)
+3
c9²#&×N*+)tz9*t$,)3\v"#"A Ah!`(+-E!$+)e+3
-c9?t$
#%#+(\2!%
-[K$\-`,)3Ew?AWOPC(*+-0
-(?#+]#%PD!$>
!$ #+| {Lu!$+QPJ*9L!G`#%`CK$ -J!$j@Re(>-%+-*0*A
\Q #%N*+-$` -+-L:#%+-E!$+-(*`) [v 9w?V@Q #%
!90#&#%2@:(+-E!$+)R!+-Q #%%h9:>#%+-L/!G>v HQ #%%h9
v Ew0w?A=CQ #%%t$X*+/>#&
7#%+7J+-$E!$#%+FA
Wme
-+-5P2!%
-W9*205,)35Q #%1*!$#%2@*&8-#%,
2!%
A:Tz+.-!$0#%(*
-!GLV²X8*2@0,)3 \Q #& v zw S
²V²Q[
-+- Ó vUwJ/-+g31#%+)*,:1
-&#%-%> Ó
KA³`
-,-&
#%P>L!+-!$WQPD
-+-
:- m-[*!\0#%,+#&m(L!$+3\#%,#&
$ Ó v zw?A'=](L!++->!$×NEd..]!$>]X,)3>Q #%
0!$%92!$
C0#%+-(D-`0$\#%+303
-(**)c#%P)(*0\>#,)
9H2@0I-#%,A£TU+L!NV`?Õ£9-0
-Ø$1H2!%
*7$
/,)3Q #&M2!%
/%*0>!+ S
²Aa=7
-+-IÕÚ.
+g38#+)*,8c
%#%c
²Ve!*=Õ [ATU+E!+(* [v 9wDQ #%
-!L2@JÕ K =+-QI,)3WQ #%2!%
-
²AOP-#%W(*>?*W
(+-0
(#%+FACDR!GC#%+ v 9w\!%e2!$%
-*C!$8h-RK$

KV9Q - 8 8
KARÎC*+(*5QPc-!L2@1+-&H!(*+E!+)
+3
c9\$h#%#%+-(?D2!%
**A
,Fs
169\- 0WF,)3[#%+:-\+QM#%+-E!$+-(*`!$+ [v zw
9R82!%
RL!(E6,)3NAC,² q B & Ó vzw?A Ó Tz`#%
*!:0*J!G =
8 d!$+]-!$`!%F2!$%
-* #%+ Wv 9wP!G1!G
> ARÎC*+(*83 [;!$#% A Ç-1#J!+#!$e0%
#%+
>.qÚAv > .#0#0#4.X>B wh0
(?:-!$\
& R Av > Sw RI{ X\*20
Ò²AeTU+:C& !$,#&-£9*%LQMQP Q #%90*!$Ó(EÔ X\0
(?!50%
#+²A
*0*+)h! -!*) u
-+-%W)J!`2@( hq¹v ^.#0#4#0. w?V
Q 5#% C+3
-19\$u,)3`Q #&]2!$
S
!$00#%,+-*
]-LA1=cQ #%%h-*+H!*H-!$Rc-!*)5#%R$PU9 ?A>OP
#%#&z5#%2@*R;
²#% Ó v 0whP
q S
A ,²! '9-0
$u!$%F900#%-%Dz9 VQ #% & R Ó v Sw RI{ AhTzW#%PL!>
0[!G G#%e9
-+LR)5!D(*+-E!$+3tQ -#%(?1#%eg9+-+3#!$)#+
²AhÎD*+-(`X !5-!*)[FU9" SY#8V3-?D#%P+-&!5(*+E!+)
+3
c9tN##%+(e2!%
-*uX-?e
#%%#&U)@A ,F >$v Jwt9W-[0
$t*0J2!%
-**V#"A A >$v JwWqº Ó v weq XD0> sY#R»)A
:(L!$++-LQ_0GQ GQ¹]m+6-1#!$h*+32334SE!$#%]#+
[v 9w?AcB-$8!%W-!#&R[2!$%
-* & . Y >$v Jw?VFQPcQ #%%W0%2@
HX%%LQ #+,a(*#%0#+b/'TU7!$+!%%)(L!$#%+#+
Q #%(?8-P
#%#&U5$9*2@?05-!*)e#%h9UQ[**+ & !+- &% ¶#%+-(
$v Jw F#%5(*+E!+)LVe!GX10%23#%+-,7!9G2@:ÑKc!%
. QP5(L!$+/
-
\5!%%)(L!$#%+H(0*09+#%+,: & . X& `Q -#%(E7-J>#%+#1
-_E!$#% & #%`!$0E!$#+LFA
O²0%2@]-6*(*#%0#%+I/V[QP]Q #% Q\#&!+Z#+)*,
,$E!v"TU[w`Q #&.!(+-E!$+)R+3
-c9?C$[2!$#!%*5!+-H
0
,F*+-0E/! D!$%,#&|%L{GSAWTU+-DX%%LQ #+,>TuV3K$ L!(E'
sY#
Q[C-!G2D!$+#+)*,\2!$#!% ()h#%+-#%(L!$#%+,1GQI!+):!L@
!G]$ U9 AOPm8(*+0E!#%+):#%>-%#%*5!$c!%P!L@
&;
EB
<;
1;
J
J
I;
>J
J
:K
;
K
K
K
Q %# %uE!#%+!+6!$%)(*!$#%+HhU9qY*¹!+-]-R0(*+-7!$
!%²,)3D!$5!$00#%,+-*FATz #%`323#
-P-!$ -R*(*#%0#%+/4
%*sQ #&#%+-
& . -!5!]0%
#%+.#%×d:(*$0*09+-#%+-,
#%+)*,8,E!$<#5K*!0#%-%A/OP-X>QP(L!$+m+->4
#%!h0%
#+$ Wv 9wC#%+.9&+>#!e#%>A1C$c!GJ-
!(?
!F
-++-#%+-,c#%>R#%`g9+-+3#!$t#%#+ /Q -#%(?7# -RL!$0+
Q )QPJQ #%%²m+-!%&7E!$#+/ !:WOt^J¶]!$++-D!$+/BeOu^J¶9A
TU+-JX%%GQ #%+,TUu+V , #% -J0?D$!%²z9*- Y.0
-(E
!G & 8 Ó v Sw 8 !+-2 , #%[-`+3
-19h²,)3\#+ [v 9w
h2!%

A
;
<;
>J
) /
( ) q ()0Jq1 J
) /
( ) Y·
2( )
Q #&3SY. , ,
( ) qa·
2( ) Q #&3
SY.u4,,
=D+-**80*JGQaC$#,#%+!F#%+-E!$+-(*J#%P*!GL8-
+L=#%+-E!+(*A=OP-K%%LQ #%+-, ,F*>!7!$:9**+dG2@L
#%+=| {GS
v'd!gqgqw A Æ)A5uÈ « > qAv > & .#0#0#0.>9Bw¦EÈ ª©ZªK ¤ m ª« §S¤ © § © k
x ° È?¬È & R Ó vA> \
w RÁ{ C p ° È ©Y«X° È?¬È)È l§K± « ± ª©aªK ¤ m ª« §S¤ ©
.#0#4#0. BwJ§
Ú
q
v
{
{ &
{
©6«X° È8¬¤ n © i))È i§ © ± «fª© mEXÈ k kh± n^m °7«X°ª%« }

8 Ó v { Sw 8 M
Ó Av > w V
Ó Av > w ®D& ±? ¤=§R Ë { v qÙ w2v { R & {.#0#0#0S. { k B w7È §K± ª©yÈ?¬ÈªXÈ)¤ lm §Kª$± « §S± ¤ © § © ¤ m ± §"n^¤ m °I> «X°ªq «
Ó {
«X° ©Z«X°
« ª©IªK ª« ©
Av > & .#0#4#0.> B Xw kh§ © ± n m °/«X°ª%« }
{ 8 Ó Av > sw 8 Ó v { w M Ó v { w V =
=5!G5+-LQb*!]>G2@R
COP-*$*/A ÅC
C!$%,#&
Q #%%D9 #2*+I#%+-E!$+-(* V[(*>
-/#%+E!+-( VPm+-
!+#%!$[!$%)(L!G#%=
+ > qsAv > & .#0#4#0.> B wJX Vh!$+H*+
(*+20\ > !+M!$%)(*!$#%P
+ >qÙAv > & .#0#0#0.> B w1K$ -0#%+-,
,²>Z
! 3A Æ)A\ÅC
-
q >8A
¶
-90/Q #%
7%0]5,*+-E!$%#%zM!G Ó Av > w 8 #0#0#Z8
9[!+
ÓAv > #%BwF!!t+-0 %Ó
Av> #%&+/Sw 8P #0#0#8 !$Ó#%Av ;> #%B +w?,@A ,FR@ (*> +-qÚ#&Av #%>+& D.Q#4$#0#0&W.> [;B !$w²#%7
A Ç
!+-7!$00
-> Ó Av > & Sw 8H#0#0#8 Ó Av > B w?Ae=CQP!+) :0-LQR
Ó Av >CB-w 8v Ew Ó Av > B w w
Ó Av > & w
Ó Av > &
¾W ,²>Z! 3A Æ1Q[Rj3+-LQy!$L
8 Ó Av > B whq 8 Ó Av > B wv { w
Ó Av > B Sw 8 Ó Av > B w
¶#%>#%!$(L!$(
-!$#%+[#%*F Ó Av > & w Ó Av >& wv ( & V76 w?AhOP-?4
K$
Ó Av >9Bw 8 Ó Av >B w v w
Ó Av > & w Ó Av > & w ( & V86
=6+*LY=;!G6-6#%!`0%
#%+y#%+ Q #&M-
#%!N0%
#%+6#+ A¾W
-0#%+-,1-Cm !$0 $O ,²*>I! A Æ
!+-)H90K$>#+,60#%>#!Gc(L!$%(*
-!$#%+-1Q[!L2@:!G5-
g#%`!+6!$%)(L!G#%+ >Cq¹Av >E& .#0#0#0.>CB w[#%+ 0
(?!GL
Ó Av > B w 8 Ó Av > B w v ( & w
Ó vA> w Ó vA> w V ;
"
;
5
;
;
5
;
I;
;
;
<;
C
B
5
C
C
;
;
I;
&
&
¶3#%+-(* > #% !+7#%!N0
#%+/#%+ CE!$#%:#%+> Q #%
98!GC%L!$R!`-#%,!`#%+> A\ÎD*+-(R3](*c-#%+#+,c-8!$9$2
*Ä3
-!$#%+\QPJm+-!%&7-!L2@
Ó Av > B w 8 Ó Av > B w v wv ( & w
Ó vA> & w
Ó vA> & w ( & V86 qV v aLwv Z{wv @w :
8
v ?V{wv VÇ UV.Ç)w
OP3
*V9#&Q[50 ]qÚÆ3Ã *VN#&C#%C*!/>0*5!GDR"!(?
Q #%%t95!G`>R LA
B`-5BeOu^J¶]#%+/R(L!0R!G -5+3
-c9?\-!*) #%
(+-E!$+)LVJ)$e#%`)>
-+#%+-,1J,)3C!$+
-+-+#%+-,1!
3+!>#%(J,$E!>>#%+-,c!%,$#%<|%*¸$SA
;
C
>=
EB
CDB
3¶ TRUTHFULNESS
"!GQP6!L2@/!00
->*Z!G>QP6(L!$+ME!#%+I6!(
-!
#%#&#%*èJ-!*)\K$DJ,)3*APÎDGQ[*2@LV#%+/!+)0#&04
-!$#%+-!*)W
#%%#%#%*!G/#%2!$/#%+X!G#+a!+-Z
>#%,3`%#%c!$9
D*#&C2!%
!G#%+-`#%+6ED>E!$#+!:9?0
-+-%AtQ[
;5%#%j@W`#%+2*#%,@!$W-WÄ3
*#%+8Q -
Q[7(L!$+'!L2@>*(?-!+#0>5!G:*%#%(*#&:0
K
P
#%%#&#%*cX
:-!*)8!$+H!%063
-(*>!$%)(*!$#%+1Q #&>#%+-#%1
-Á
9
-+-L7+2))AP^Ú>*(?-!+#0n#%`0
X
-²#%eXC*2@07-!*)LV
$m-\#%\!Gg#%>#%k*L>)(*!$#%+-,1-\0
C
#%%#&U#"A A94
#%+,c0
K
-N#%D!:>#+-!+)\0E!G*,)A
Tz+7-R!$CK?Qb)*!$*V-0
X
-t>(?-!+-#%0>\-!G2R9**+7
0
xU*(H1*0L!G(?Ú09*(*#!%&#%+-(+)g36>!
-(?#+-*A
ÎDLQP*2@?LVP
-+%#j7
-%*/V[!
-(?#+I>*(E!$+-#%0>:!G!&4
%LQP*(*>9*+-!G55-!*)DQ #&>+j**/-
0
X
-"A
eQ #%@*0*+)t! 0#%>!G,
->+3N\$2h-!$t!+)D>*(?4
!$+-#%0¹!GW(>-
*!C>#%+-#%c
:4f*+323J!%%)(L!$#%+(*!+>+-$9
0
X
-F*2@*+]#+/J09*(*#!$u(L!0RQ R-J
#%#&UK
+-(#%+-
!G8!-#&#2A
b9c+dêfKd!giÇAA ®`©-Ê ¥)È m °ª© §K±¥ «X°ª« ¬È « n3¬ © ± ª$©ªK ¤ m ª« §S¤ ©
xh§ «X° ¥c§ © §K¥on3¥j¤$±E±§S¦ ÈRÈ ©ÉLÊ m ª$©-© ¤ « ¦EÈ « ¬Xn «X° Ën p ° È ± ª ¥>È`§K±
«x ¬ n-È ÈWË*È ¤$¬ È?¬ ª©Ê È?¥¬È:)È m È)°l§Kª± © ±8§K±¥ ¤ È«X°p ª« ¬È « n3¬ © ± ª© È ©ÉLÊ ¨ Ë?¬0ÈEÈ ªK ¤ m ª« §S¤ ©
° © É «X°
« ©
sf eeKC,² 9c!>>*(E!$+-#%0Á-!$C
C!+H!%%)(L!$4
#%+Q #&>#%+-#%c
l+2))A: [+0#;5-8K%%LQ #%+-,#%+-E!+(*
D-!L2@\UQP5;!*)?*V9C!$+{R!+- {J,)3*ATz+>!$0#%(*
!$
Q[R!L2@J,)3 9V,)3 R!$+ *,,*SA ,² !* :qÚ*··3APOP
d*,,!G7-!*#%+-,6-%/$J!$+I!$>>#23#%0#%-%7,)3Y$
2!%
]·3A {3A.¶
-90>-!*)8!L2@>-:X%%LQ #+,
#%#&#%*
X`-J,)3*
Ó & v weqa!· # Ç@/Æ . Ó & v *whqy/· # @/Æ . Ó & v"*,,3whq/· # { K.
Ó v whqa!· # @Æ . Ó v *weq/· # Ç@/Æ . Ó v"*,,)wqa/· # {
OPJ09*(*#&m-(J#%+-E!+(*J!>#&\!$+7*+32)34f;*D!%%)(L!$#%+FP,#2
]-!*):c,)3 !+.{Æ*,,5!+-H,#2c-8*J7!L@
{)AOP-?KC#+-D!%%)(L!G#+7!G Q #%%9
W- Q #%
9+=*+32))y
A ,F >s9/-!G0#&#+M!G -
>X
#%1#%+-E!$+-(*A6C$-!$8#%u
+ > L!$(?d;!*)?1*(*#%2@*8g!(&
+-]C7,)3 9V 9*(L!$
-0/#&D+7-!*)c*(**#%2@L'9
*+d-:;!*)?cQP
-'*+323.-?LAd^D%0QP]+-!G
#&1#%ch!L@]>Q /*(**#%2@
9A6Ot60#%*Vh0
--90+
(+)0E!$0!G -!*)JC*(**#%2@* $AOP-*+]#%+7E\K$E >19
+2)34SX*D-!*)JD0-
->*(**#%2@R!G\%L!DÏÆ8*,,5v"0Q #%0
J-
+JÕ=e;!*)?RJ#%\QP0]%*0\!+HG {c!+-0CQ #%
4.
"
#J
J
J
J
EJ
EJ
9 *+323#
-Ew?A¾[
W*+>-!*)P{CQ #%*(**#%2@:!$+>!$[>P{Æ
*,,`0:0-CQ #%%t9C*+32#%
-*V-!c(*+)0E!#%(#%+FA[OPX5#%+">
-!*)>1*(**#%2@!+HOÚ*,,8!+-.-!*)5{*(*#2*:!$+
ZV:*,,*A[Tf #`!$0>*!:0*J!GC{Z
Æ 8u:8IÏÆ3A
8-* :PRMÏGÇ
TU+-#% (L!05;!*)?R5(L!+/#%+(L!05 #%%#&U]3&#%+-,>!$+
(*!$#%+-,J-!$,)3
8!$h0W2!%
-PX-?LAeTzh#%900#%-%\K$
-?D>%#%5#+60
(?!cQP!*7:K$(*5-R>*(E!$+-#%0n>,#%2@5-
-\,)3 8!+c!$%L!O : 6\*,,DvS!$00
->#%+-,D!$[{C)*+-
(E!+,J`(*!$E!$#%+9w?AP¶-D(L!+7*(;!GJ!G -\2!%
-!$#%+
K
+-(#%+8#%* Ó & v weqa!· # Ç@!Æ V. Ó & v Lwhqa!· # @Æ W. Ó & Av Twuqa/· # {
Q -?c#% 0
-(E]!GL
/· # Ç@
Æ V a;v : aLw!· # 3{ ]q {
C$#%(*J!GD
+\-#% +-Qb*(*!$E!G#+²VJ#%%tg#%D!+
*+32)34f;*J
(*>A ,²C > 9J-J+Q
-
$ AW^`,@!#%+
-!*)ccQ #%%*(*#%2@ 9A:OP#%8#%J0
c9*(L!$
-0:#&\!L@:c?4
(**#%2@ 8-*+.0->-!R7*(*#2>!$8%L! UV :PVa:*,,10
!GC05#`+-$WxUL!%
-*AD¾[
`-+/-!*)J{1Q #%²*(**#%2@8,)3
/!$+6!GJ>E : ao 8ÏGÇ,,DQ -#%(?#%+/E!$e#%DQP$00
!$+G {3AWÎC*+(*R-!*)5JQ #%%t, ]!$+/!G`*!E : MR*,,
v"0Q #%0J-?\-
+%`#%PQP0%*0\!$+ {wWQ -#%(?#%\>
!$+]Q -!$`0-R, #%h0J#%D+*LA
8-* : MÏGÇ
CLQy#&`#%\-!*)D{8Q :(L!+00>:(E-L!GLA¾W>#90#%+-,
-?[
#%#&#%*[#%+!R0#%>#%;!GP!$+-+-?[!$[#%+ P!05V30 (L!+>E!#%+
!c#,-`
#%#&U-!+/9XA
TU+'-]*J70*(?#+²V\Q[/*0+3!H0#%>-%70
K
>*(E!$+-#%0ÙQ -#%(?!$%)(L!G*/-,)37d-H-!*)
-+#&4
K$>&6!$ E!$+/A[1!$00
->J-!$`-R0
- $e-R
#%%#&#%*
tL!(E-!*)\G2@\!%²,)3\#%\+Ae=`Q #%F0-LQM-!$PQ #&
-#%,/!#%#&z]J!$g#%c
*+32)eC*0
-&#%+-,!$%)(*!$4
#%+/#% +-c>C-!+ v $ & )(+*?w?A
bCcd!efKd^g<ÇA {3A nGj`j¤±È «X°ª« ÓLÔ _ 8
)H
Ò YH-[. =YH1 p
° X¬ È n © Ë*XË ¤$n ¬È É È?¬¤Ê ¬E§ ¥¹!·± n k m ª© iRË*¤¬ xh%§ ª ¬ ¯ È]§ È © ¤ jn ¬0¯G¤@° ¦ @¦§k § «X° È?¬0È7È )È l§K± ¤« ± ¨
ª>m « §S¤ «X° ¤Wn tj ªn ¯ ¦ «X° È °7¤¬E«X§ °ª¥« «X°]±c° ¥ ¯G° l§K¥Zn¥ª È «"Ê>«X° ¥:ªX¤ ±
ª« © « « Ê7«X° ª ¯ «X° °ª ª
©-ÉLÊª$« «
v $ u & X)(+* w p
sfêeKCOP1)#%C-!0L/+/-5!#%#%#%(8>-3NA
^D%%)(L!GDL!$(?>,)3:#%+9*+*+)%5R;!*)?tÒ:Q #&>!$-#%&4
#&U6 WeA[ [*!$&-#%P#% !50
X
->*(E!$+-#%0/AuDQ #%%F0LQ
!G\Q #&7-#%,7!$-#%%#%z)VJ!$%)(L!G#%+3
-(*L!$#%m-*
-10#%*H9
-+NAJBu#&g6zQP-!*)PÒ .Ö3A #%2@*+Ò!$+6Ö:QP
?m+-!E!+2!$#!% #%+#%(L!G#%+-,/->(+)0#%-
#%+=
,)3I JC-\+2)8N!L@tÒ1K[ÖAeOP-\2!$#! !D#%LÄ)
!$
>V3#&F,)3I 8#%[!%%)(L!$LR-!*)[ÖV@4V)#&t#&W#[!%%)(L!$*
-!*)PÒtV²!+·-?0Q #0AcÎD*+-(* !:qÐ8Q #%.!#%#&z
G GeC
V VR>QRA ²AZG Ga!+-d·/QRA FAZv VM{)w WeA=+-LQ m-+-
-5E!+-l2!$#!% Ô L8q ÓGÔ _ A5 [%L!G&6-8*+3237
Ò.X5Ö#% T Ô L q FºG!· . Ô L »)A8=5Q #%0-LQÚ-!$JQ #&#%,
!$-#%%#%z)V)K$\*2@0JÒ .Ö3V Ô L8 v $ & X)(+* w[!$+:-#%WQ #%%
(*>-%CR)zA
OP-R?g9(E!$#%+7 Ô LR#%*
>| Ô L 9q | !* Ó Ô _ Rqa·

Ot/(>-
1:2!G#!+-(Vu+:!GR-:2!$#!$-%*cº »]!$
#%+*9*+*+)LAhOP3
-*
| Ô L9q Ó Ô _ | Nq { Ó Ô _ 8 W{ ÓLÔ _ q W{

J
A,/.
#
:
A
EJ
J
J
D
35.
@
"
B
P
N
P
¾
0#+, [-30*2K 5#%+-*Ä3
-!%#&U)VFQP!L2@1!$5Xc!+)H04
L7-!#&è!L@hÒ .0Ö80
-(E]!G<
Ò qaN Ö1!+-]K$4 Y·
| Ô L z8 W{ ÎD*+-(CQPR-!G2
| Ô !$_ L g Ô LR z q | _ Ô LR UqÚq V | _ Ô L U
Ô L
Ô L
W{
G{ q V _ yq V Ô L
TfuQPR0?" hq{ $ < & X)(+* QPR!L2@D!$L
| !GgNAh*+323 RI{ $ & )(+* y V *
vLw
=
=
%K
=
=
K
=
| G1 DA¾P!$k*,@!$+²V .A¶!$+)!V!$+uAO²
-kL!3A´@a>(*#%*+)
!-Lg#%!G#+/!$,#&->\X`-J0
-004f0
- %*/A
TU#+ $¢ ® 5 PV!$,*CÍÏG4%¸ÃVu*¸¸Í3A
| Ç$1¶NA A¾E!>`!+-7^8A ¼ A-Ou!*%L+A h ª §K¬ J§ É §K±§S¤ K© } Ë?¬0¤$¥
¢ È@¢ n § ¤ J§KA± jn È È?±?¤ n « §S¤ © A9 P!1#&K,
½C+-ª #%2@?0#%z«"« ©)¯*« 0*VFL¸¸ÃA «
| ÆL8´ A A9 [$×N!+6!$+ .A^5A ,²!+-,+FA^9?0K!$+-(*
,
!GE!+)*JX`-J,$*L004f-!$0#&#%+-#%+,!%,$#%/A
® m «fª © Ë*¤¬E¥ ª$« A§ m ª VN{) Ç@·¸ )ÇGÆ)VeL¸Í$ÇA
| ÃG 1A ¼ *+,V DAÎ1Ae!$!#%>#%0#%
²V-!+ .A9¶!$XE!3ANÅC+-
(*>?g#&zhLÄ)
-#%%#%#!ATU+ ®`©-© n ª -Ê 9¥ j¤$±E§ n¥l¤ ©
° È0¤¬ Ê ¤Ë:¢¤¥Cjn « § ©3¯ V!$,*DÃ@ÏÏ)VF{$··@{)A
| ÏL8¾DA ,hA ¼ *
-?>)LV ¼ AÂ:AB#%*0*+FV!$+ .A^5A ,²!+,+FA
¶(E-L
-%#%+-,1c!$g#%>#kD-R>#%+#1
- )(*0`m+-#%0
#>C#+7!cc
&#)(**00$C*/A ® 3¤ n3¬ ©ª ¤UË
®D ¯ È*¦¬ ª A§ m ª© iR§XQ± m¬0È « È È «X° ¤ i$±EKV %L¸· *¸Ã3VeL¸Í{3A
| ÍG .A ¼ !$%A ^`,%#%]!$+]OCA9uAÎC#%%SA /!$g#%>#%+4f0!GR!+-
>#+#%!$g34f*+323c#%+7"!$#%04z#23#%0#%+6-%*>*A 3¤ n3¬ ©9ª ¤Ë
.ª«X° È?¥ ª« A§ m ªN®`©ª Ê ±E§X± ª© i ® j`j A§ m ª« §S¤ © ±VN{$·3· 3A
| ¸G ¼ AB%)A³D0
(5!%%)(L!$#%+H!$+R-
-%#%(J0*($LA
! ª "
È qmE¤ © ¤¥1A§ m± P±E± ªÊ ±VNÏ) Ç@#Æ )¸ÍVe*¸ÃÏ3A
|&L·G5³8Â ,A E!-!/A-¾[
+`+71
-&#%)(**00#%+,c#%>#+,
!+-!%#%**A ® 3¤ n3¬ ©9ª ¤Ë ® j3j §f)È i Hª«X° È?¥ ª$« A§ m±V
GÏ3 ÇLÃ@Ç){$¸VhL¸Ã¸A
|&? ¼ A9¶9AÎC)(E-!
n!+- ¼ A-¾DA¶->L*A½C0#%+-,c
-!
!-Lg#%!G#+/!$,#&->\XD0(?L
#%+,:-%*>*A
3¤ n3¬ ©ª ¤Ë «X° È ® ¢
V $Ç%*ÇÇ4LÃ{3Ve*¸Í@Ï)A
|&G{L5Î1A3ÚA ,²*+0E!ATz+)*, ,$E!>>#%+-,8Q #%/!1m-gL
+
c9Pe2!$#!%**A .ª$«X° p%$ jÈ?¬ p& È?± p%VÍ3 WÆ #Í Æ$ÇÍV
L¸ÍA
|& G' A-Â:A ,²+-0E!V ¼ A-¾DA¶->L*V!+-7´\AOu!GE*A
^D-Lg#%!G#+7!$%,#&>`X`0(?L
%#+,:
-+*!$L
!$E!$%t!(E-#%+**A Hª«X° È?¥ ª$« A§ m ª P¬0¤ ¯ ¬ ª ¥c¥1§ ©3¯ V
Ç@Ã {Æ¸3{Ï)VhL¸¸·A
|&*Ç$51AC#%!+/!+]T?A-¶*,!"A9OP8 [>1
-+-#%(L!G#%+
LÄ)
-#&*>*+)P$hQ a>(*#%*+)D!%%)(L!$#%+-J!$+0
--9$0#%+-,
#%+--!²#%(***ATU(+ /® ¢ 7¤¬ ± ° ¤ jd¤ ©
¢¤¥9jn «fª« §"¤ ©9ª E±±n-È?±R§ © ª ¥È ° È0¤¬ Ê]ª© i
¥ 8È?±E§ ¯© V{··3A
)È m °ª© §X±E)
|&GÆL1¶NA A-³`9?00+6!$+7^5A ¼ A*-FAh¢ ª ÈË@¢ n «"« § ©)¯
®D ¯ ¤¬?§ «X° ¥c± } CÈhË ª §K¬C§ Ë Ê ¤ nrm ª$© p^DÂ_u?*V²*¸¸ÍA
|&LÃG5Î1A-¶3*#%+!
*AOPR-%*nt"!#&C#%23#%0#+²A
Em¤ © ¤¥È « ¬EA§ m ª Vu*Ã%L·3* *·ÇV*¸ÇÍA
|&GÏL5Â:AOu!*+3
!1!$+AOP>0+FAOPJ"!$#%C!%%)(L!G#+
!+/#%+#%2#%0#%-%R,)37Q -*+]>+-?E!$0(*>9+-!$#%+-`!$
900#%-%A .ª«X° È?¥ ª« A§ m ª ¤ m§ ª m§fÈ © m?È?±V9{Ævf{w?%GÏ @{3V
L¸¸ A
|&LÍG5Î1AÌ[!G#!+²A-´Ä3
#&U)V*+32)!+]Q a>(*#%*+()A 3¤ n3¬ ©ª ¤Ë
Em¤ © ¤¥cA§ m ° È0¤¬ Ê V¸ 3Ã #3¸VeL¸Ï$ÇA
|&L¸G5Ì1AÌ1AÌ[!$k*#&E!+#SA ® j`j¬0¤ l§K¥ ª« §"¤ ©®D ¯ ¤$¬?§ «X° ¥c±A
¶#%+,04fÌ!,V{··A
| {·G A)*,#%+-,LA9^9&+->#;!$F#%>R!$-Gg#%!$#%+
0(?*>CK$`!$g#%>#k#+,1J>#%+-#%c
!(E-#%+
(*>?#+]#%>+A $ jÈ?¬ ª$« §S¤ © "± È?±È ª )¬ m ° 5uÈ «"« È?¬?±V
{·%Ç@¸ -GÆGÇVhL¸¸@Ï3A
5
9?
I
@
"
@
CÅ DISCUSSION
W!%,$#% XW>#%+-AND
#%>#%k*#%+-,COPEN
\*+3233PROBLEMS
4SE!$#%CQ[j3+-&1#&
\
#%%#&U8K
-+(#%+$9-P!L@!$\-P!$>AeTfQ[
;19
207#%+)*#%+,:cm+-7!+!$-Gg#%!$#%+/!%,#&- K$D
,*+-?E!u(L!$0ADÅC+-5!$-@!(E6#%D>
01!:%#%+-*!$J,$E!>>#%+-,
;!Gg!$#%+60#%>#%!$ U ,²+-0E!cD!$SA`|& GSA
OP>!G:!+)7;!GL.+#%+RW"!#&+*050
-(E!$R!$g34
>#%+K!#&+-0cc90#%+-![K!#&+-*0c!+-.QPQP
-=%#j
j3+GQyJ(*>%g#%zu*0R0%
#%+/(*+(***A
^`+-$-1Ä)
-*#%+=(*+(*+80E!*$×I9?UQP*+"!$#&+-*0
!$+I#%!%#&UY1!0%
#%+FA_^D+a!$%)(*!$#%+#%]#%!`#&
#&c!$g#%>#k*R-0
-i -
#%#&#%*:$`-!*)*A¶
(?
!70E!*$×I(*!+d9>0**+'!$80)(*#!P(*:$\"!#&+*0c$1
z#%(*5u0)(*#!%#%0 A
OP`>#,)W9`!$+>#+)#+,5(*++-*(#%+>9UQ[**+:m+-#%+-,
! !$jt*Ä3
#%#%#
!$+J>#%+-#%>#%k*#%+-,PW+2))AFTU!$,#%+-h!G
Q[J,#%2@D+J%;!G\1*!(E]+-J$²C-!*)P!+!L2@ -
-*#&`"!L2@$#%8,)3J#%+/-5!$jLAPTfh!$j@`(*%L!G:v"#&
>#%,3+LV`9*(L!$
-06-,)3/!GH+7#%23#%0#%Gw>*+I
!$%)(*!$#%+y#%]+2)34SX*AyTzJ/!$j@?)*+-$(*%L!$LV\
m(#+-(cN- !$jW!(*(*$E#%+-,5>| Ã$9#%W(*%0*&>*!$*>
!Gg#1
-£*+32334SE!$#%A
5.
\ACKNOWLEDGMENTS
QP
%#%j@ J!$+-j:O²L:ÎC#%%-K$P!$+3c#%0(*
00#%+-P!+
+-(*
E!,#%+-,:(*>>*+)¼ *AtDQP
-!%0c%#%j@C5!$+-j¶)*2@*+
¾E!>*V@Â5!$!@!$#%+²V !G23#:¶3->L*VGÌC# x0!*8ÌW!k*#&E!+#!+ 04
-!$Ed=)*,#%+-,?:K$
-0X
- #%0(*
00#%+-:!+'9#%+)8H
%#&E!G
A
6.
|%?5^8REFERENCES
A^`j!+FV A ¼ *!+,V!+- ¼ A !$AB!$#&C!$%)(*!$#%+6$
#%+#23#%0#%-%R,)3C!$+7(?#%?#;!:$x
#%(*A
qm¤ © ¤$¥È « ¬E§Am ª V
Æ¸3%L·@W{ -L3· ¸VL¸¸A
| {LR1A-^D%+²V cA^DkL!GLV A=),#%+-,LV9!$+/OCA P!#FA
^DLg#%!$#%+0(?*>*\K$`0(?L
#%+,:+/-!$E!$%*
!(E-#%+**A 3W¤ n¬ ©9ª ¤Ë m ° È iWn § ©3¯ V9¸Í ÆÆ 3ÃÃVeL¸¸Í3A
7.
@
@
?
@
#"
"
9@
@

Download Report

On Approximately Fair Allocations of Indivisible Goods

Paperzz.com

Your Paperzz