File No.26/18/30/12/2014
VIII CLASS - IIT/N.T.S.E FOUNDATION - OLYMPIAD
ANDHRA PRADESH - TELANGANA
2014-2015 PROGRAM M E
5TH - CHAPTER - SOLUTIONS
5. TRIGONOMETRY
1.
3cos   2sin  3  2tan 


4cos   3 sin  4  3 tan 
2.
sin       1, sin      
   
 4
3  2 
 5   23
 4  32
4  3 
 5
1
2




,        , 
2
6
3
6
tan    2  tan  2   
 1 
 2 
 5 
 tan 
 1
 tan 
  3 
3
6




 3

3.

L.H.S  sin2   cos ec2  2  cos2   sec2   2
2014 - 2015
 7  cot 2   tan2 
k  7
4.
Put A  90 0 in the given expression, we get:
 3 0
G.E  
 1 2 


3
 1 2 


 30
3
3
3
 1   1 
 
 
 0
 3  3
5.
G.E  sin4   2sin2  cos2   cos 4 

 sin2   cos 2 
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6.

2
1
Given that cos 2 A  sin A.tan A
 cos 3 A  sin3 A
cos 6 A cos 2 A

sin6 A sin2 A
sin4 A cos 2 A 1 cos 2 A



1
sin6 A sin2 A
sin2 A
cot 6 A  cot 2 A 
PATHFINDER
1
MATHEMATICS-CHAPTERSOLUTIONS
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7.
VIII CLASS - IIT/N.T.S.E FOUNDATION - OLYMPIAD
sec   tan   sec   sec2   1
2
1
1 

 a
 a 
 1
4a
4a


1
1
 a
a
 2a
4a
4a
8.
G.E  cos2 1000 sec1000
  cos1000.sec100 0  1
9.
x
2
 y2
2
2
  x  y x  y

2
 16cot 2  cos 2 


 16cot 2  1 sin2 

 16 cot 2   cos 2
 16  cot   cos   cot   cos    16xy
10.



G.E  cos   A   B
4
4



 cos    B  A    sin B  A 
2

1
0
tan20
G.E 
 1 
1  tan 200 
0 
 tan20 
 tan 200 
11.


1
p 1 p2


1 1
2p
p 
12.
tan 2B  tan  A  B    A  B   
 cot 2B 
13.
pq
1 pq
2014 - 2015
1 pq
pq
tan  A  B  
tan A  tanB
1 tan A tanB
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4 1
28  3

 3 7  21  1
4 1 21 4
1 .
3 7
21

 tan
4

 A B 
4
14.
0
A  B  3150 then tan  A  B    tan45

tan A  tanB
 1  tan A  tanB  1  tan A tanB  1   tan A  tanB  tan A tanB
1 tan A tanB
adding 1 on both sides
we get 1 tan A 1 tanB   2
PATHFINDER
2
MATHEMATICS-CHAPTERSOLUTIONS
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15.

VIII CLASS - IIT/N.T.S.E FOUNDATION - OLYMPIAD

tan 80 0  10 0  tan70 0
tan800  tan100
 tan700
1 tan800 tan100
 tan800  tan100  tan700 1 tan800 tan100


0
0

0
 tan80  tan10  tan70 1 1
 tan800 tan100  1
 tan800  tan100  2tan700  2cot 200
16.
We, have cos  450  A  cos  450  B 

 
 cos  45  A    45
 cos 90   A  B 

 B 
 sin 450  A sin 450  B
0
0
0
 sin  A  B 
2
17.
18.
    1 
2  5 
G.E  1 sin2    
  cos 

 12   2 
 12 

3
 5  
 5  
 cos 


 cos 

2
12
12


 12 12 

3

 3
 cos   cos   
2
 2
 3 2
x
y
z


1 2 2
 xy  yz  zx  1 2   2 2   21
2014 - 2015
 2  4  2  4  4  0
19.
sin x  sin2 x  1  sin x  1 sin2 x  cos 2 x

cos 8 x  2cos 6 x  cos 4 x  sin 4 x  2sin3 x  sin2 x  sin2 x  sin x

2
 12  1
20.
5cos   7 1 sin   5cos  1 sin   7 cos 2 
 7 cos   5 sin   5
21.

1  sin 
 
1  sin 
22.

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
0
4 4 180

 4 360  1440
5
5
1  sin  
cos 2 


1  sin  1  sin  
1  sin  1  sin  
2

1  sin 
cos 
 1  sin    1  sin  
 


 cos    1  sin  


cos 2 
 
   Q2
 cos  1  sin    


cos 
1
1



1
sin   1 sin 
tan   sec 

cos  cos 
PATHFINDER
3
MATHEMATICS-CHAPTERSOLUTIONS
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O

23.
cot  
24
7
25
X
 sin  
24.
A
X
-7
B
7
25
cos ecx  2cos ecy  3cos ecz  sin x  2sin y  3 sin z  12

 900
2
90
90
180
 tan
 5tan
 2sec 2
2
2
3
0
0
2
 tan 45  5tan 45  2sec 600
xyz
 1 5 1  2  2
2
 1 5  8  14
25.
0
0
0
Let A   2x  ,B   3x  , C   4x  and we know that A  B  C  180 0
 2x 
0
0
0
  3x    4x   1800
 9x  180  x 0  200
 angles are 400 ,600 , 800
26.
No. of sides = 8
 No. of exterior angles = 8
Sum of all exterior angles  3600
 Each exterior angle 
3600
 450
8
2014 - 2015
0
 Each interior angle  180  45  135  135 

 
G.E  cos 2 1o  cos 2 89o  cos 2 2o  cos 2 88o
27.

2
o
2
o
..........  cos 3  cos 46
  cos
2

3c

180
4

 
o
45 )  0
2
 1 
 cos 2 1o  sin2 1o  cos 2 2o  sin2 2o  ......  cos 2 44  sin2 44  

 2

 
 44 
28.


2

1 89

2
2
    1800
 sin2   cos 2   sin2   cos 2 180   
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 sin2   cos 2   1
3
G.E  2  sin2 x  cos 2 x  3 sin x cos 2 x sin2 x  cos 2 x 


2
3  sin2 x  cos 2 x  2sin2 x cos 2 x   1



29.









 2 1  3 sin2 x cos 2 x  3 1  2 sin2 x cos 2 x  1  0
PATHFINDER
4
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30.
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Given that sin   1 sin 
2
 sin   cos 2 
 cos 2   cos 4   sin   sin2   1
1.
sin 1  sin 2  sin 3  3
 sin 1  sin 2  sin 3  1
 1  2  3  900
 cos 1  cos 2  cos 3  0
Correct Option : 4
2.
Given that cos 2 A  sin A.tan A
 co s 3 A  sin 2 A
co s 6 A co s 2 A

sin 6 A
sin 2 A
4
2
2
sin A co s A
1  co s A



1
sin 6 A
sin 2 A
sin 2 A
co t 6 A  co t 2 A 
3.
k 2  k.k  1 sin A 1 sinB 1 sinC . 1 sin A 1 sinB 1 sinC 
 cos2 A.cos 2 B.cos2 C  k   cos A cosBcosC
4.
sin x  cos x
 tan x sec2 x  sec 2 x
cos 3 x


 tan x 1 tan2 x  1 tan2 x
3
2014 - 2015
2
 tan x  tan x  tan x  1
 a  1,b  1,c  1,d  1
 abcd  4
5.
Correct Option : 1
Given that a sinx = b cosx
 tan x 
b
 cos x 
a
2c tan x
b cos x 

1 tan2 x
ab

2
a b
a

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2
2
 b2

a2  b 2
6.

a
2
a  b2
and
b
a

2
a2  b2 1 b
a2
b.a
2c.
2abc
a2  b2
2
 4c2
2
a2  b2   x sec   y tan     x tan   y sec  



 x 2 sec2   tan2   y 2 sec2   tan2 
2
 x y
2

2
PATHFINDER
5
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7.
VIII CLASS - IIT/N.T.S.E FOUNDATION - OLYMPIAD
G.E  cos  n  1   n  1  
 cos n    n     cos 2
1
0
tan20

G.E
 1 
1  tan 200 
0 
 tan20 
 tan200 
8.


1
p 1 p2


1 1
2p
p 
9.
1 tan20 tan 280
1

0
0
 tan28  tan2
 tan30 0
  cot 300   3
 k 3   3  k  1
10.
sin     
cos     
 1
sin  cos   cos  sin 
1
cos  cos   sin  sin 
divided by cos  cos  we get
tan   tan 
1
1 tan  tan 
 tan   tan   1 tan  tan 
 tan  
11.
1 tan 
1 tan 
tan  A  B  
tan A  tanB
1 tan A tanB
1 1
3 2

2 3

 6 1
 1  1  6  1
1   
6
 2  3 
12.
2014 - 2015
0
A  B  3150 then tan  A  B    tan45
tan A  tanB
 1
1 tan A tanB
 tan A  tanB  1 tan A tanB

 1   tan A  tanB  tan A tanB
adding 1 on both sides
we get 1 tan A 1 tanB   2
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13.
sin A 
4
3
,  cos A  and
5
5
 tanB 
5
5
12
 sinB 
,cosB 
12
13
13
 sin  A  B   sin A cosB  cos A sinB

4 12 3 5 48  45 63
.  .


5 13 5 13
65
65
PATHFINDER
6
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14.
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
 A  B 
 A B 
G.E  cos  A  B  C   
   cos 

2


 2 



A B
 A  B 
 cos   
  cos
2
 2 

A B
A B
  cos
 cos
0
2
2
Correct Option : 3
15.

G.E  log tan10 tan 20 tan30......tan890



 log tan 450  log1  0
16.
2

G.E  3 1 2sin x cos x   6 1 2sin x cos x   4 1 3sin2 x cos 2 x




 3 1 4 sin2 x cos 2 x  4 sin x cos x  6 1 2sin x cos x   4 1  3sin2 x cos 2 x

 3  6  4  13
17.
co sec   cot  
1 cos 
and
sin 
1 cos  1 cos 

 sin   0   ve 
1 cos 
sin 
  lies in I or II quadrants
Y
B
18.
cos ec 
5
5
4
4

X
 cos  
19.
A
-3
O
2014 - 2015
3
5
Let A  3x 0 ,B  4x 0 and C  5x 0 . We know that A  B  C  180 0
 3x 0  4x 0  5x 0  180 0
 x  150
 smallest angle  3x  450
   5
0
radians
Greatest angle  5x  75 

 180  12
20.
G.E  sin2 1o  sin2 2o  sin2 3o  .......  sin2 900  sin2 89o  sin 2 88o  ....sin2 10  0
 2  sin2 1o  sin2 2o  ....  sin2 890   1

 



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 2  sin2 10  sin2 890  sin2 20  sin2 88o  ....  sin2 440  sin2 46o  sin2 45o   1
2

 1  
2 0
2 0
2 o
2 o
2
0
2
o
 2  sin 1  cos 1  sin 2  cos 2  ....  sin 44  cos 44  
  1
 2  

1

 2  44    1  89  1  90
2


PATHFINDER
 



7
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  Q 3 ;cot   7
 cos ec   8; sec   
8
7
8
8
7 3
 G.E 
8 4
8
7
22.





G.E  sec 4  1 sin2  1  sin2   tan2   sec 4  cos 2  1  sin2   tan2 
 sec 2   tan2   tan2   sec2 
23.
G.E 


cot   cosec  cos ec2  cot 2 

cot   cos ec  1
 cos ec  cot  1 cos ec cot  
cot   cos ec  1
1 cos 
 cos ec  cot  
sin 
24.
G.E 

25.




cot 2  sec2   1  sec2  sin2   1
1 sin  1 sec 

cot 2 .tan2   sec2   cos  
1 sin  1 sec 
G.E  1

 0

2
2
1 cos 2 y 1 cos y  sin y

1 cos y
sin y 1 cos y 
2014 - 2015
 1 1 cos y   0  cos y
26.
 cos   sin  
2
2
  cos   sin    2
2
  cos   sin    2 sin2   2
 cos   sin    2 cos 
27.
Given that cos x  sin2 x;
3
G.E   sin4 x  sin2 x   1
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28.
cos2   sin  tan 
 cos3   sin2   1 cos 2 
 cos3   cos 2   1
Taking cube of the both the sides
 cos9   cos6   3cos5   1
PATHFINDER
8
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29.
2
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

a2   cos   sin    cos2   sin2   2sin  cos 
 1 2sin  cos 
 a2  1  2sin  cos 
a2  1
 sin  cos ........ 1
2
sin2   cos 2 
1
b  tan   cot  

sin  cos 
sin  cos 
1
 sin  cos   .............  2
b
a2  1 1
from 1 &  2 ;
  b a2  1  2
2
b


30.
tan  

1 tan 290
1 tan290


 tan   tan 450  290    740
BRAIN TWISTERS
:
1.
cos 2A  cos 2 A  sin2 A  2cos 2 A  11  2sin2 A 
2.

2
tan  
use formula
2 
1 tan
2
3.
2cos 2 A  3  3sin2 B
1 tan2 A
1 tan2 A
2tan
2014 - 2015
 2sin2 A  3sin A  1 0
 2sin A  1 sin A  1  0
sin A 1
sin A 
1
2
 A  300 , B  450
4.
 x  a cos   y sin    x  a cos   y sin  a
 1


and tan    tan    2b then tan   y  bx 
2
2
2 x
 
 
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and tan
5.
tan  
 1
  y  bx  and y 2  2ax  1 b 2 x 2
2 x


sin   cos  tan   1



 tan    
sin  cos 
tan   1
4

PATHFINDER
9
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:
6.
cos 360 
5 1
, cos720  sin180 
4

3 1

sin150  sin 450  30 0 
2 2
5 1
4
6 2
4

7.
Statement - I does not follow from Statement - II
Both A and R are true R is the correct explanation of A.
8.
2cos

9
3
5
cos
 cos
 cos
13
13
13
13
3
5
  9 
  9 

= cos 
  cos  13  13   cos 13  cos 13
13
13




 
3
5

 8 
 cos
= cos 10   cos    cos
13
13
 13 
 13 
3 
5 
3
5


= cos   
  cos    13   cos 13  cos 13
13




=  cos
3
5
3
5
 cos
 cos
 cos
0
13
13
13
13
:
9.
a)
sin2
2sin  cos 

 tan 
1 cos 2
2cos 2 
b)
sin2
2sin  cos 

 cot 
1 cos 2
2sin2 
c)
2014 - 2015
1 cos 2   sin2  2cos2   2sin  cos   2cos  cos   sin    cot 
1 cos 2   sin 2 2sin2   2sin  cos  2sin   sin   cos 
2
d)
10.


2
2



2sin  sin  cos 

2
2
2

 tan



2
2cos  cos  sin 
2
2
2
2

1 cos    sin  2sin 2  2sin 2 cos 2

1 cos    sin  2cos 2   2sin  cos 
a) sin 48sin12 
1
 2sin 48.sin12
2
 2 sin A.sinB  cos  A  B   cos  A  B  
1
1  5  1 1
5 1
= 2 cos 36  ccos60   2  4  2   8


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b) cos 48.cos12 
1
 2cos 48.cos12
2
 2cos A.cosB  cos  A  B   cos  A  B  
1
1 1
5  1
5 3
= 2 cos60  cos 36  2  2  4   8


 75  15 
 75  15 
c) sin75  sin15  2sin 
 cos  2 
2




PATHFINDER
10
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
 1   3
3
CD
 C  D 
 
 . 
 sinC  sinD  2sin  2  cos  2    2sin 45.cos 30  2 
2




 2  2 

 sin84  cos6
d) sin 24  cos6  sin 24  sin84
11.
 108 
 60 
= 2sin 
 .cos  2 
5





CD
 C  D 
 sinC  sinD  2sin  2  .cos  2  





 5  1 3 
= 2sin  54  .cos30  2  2 
 2 




5  1
15  3
 sin 54  cos 36 

4 
4

sin 5A  sin3A 2cos 4A.sin A sin A


 tan A
cos 5A  cos 3A 2cos 4A.cos A cos A
similarly we get remaining answers.
:
12.
4
2 
2
tan
A
24
3
4
Given tan A  ; use the formula tan 2A  1  tan 2 A  tan 2A  16  7
3
1
9
13.
4
3 tan A  tan3 A
Given tan A  ; use the formula tan3A 
3
1 3 tan2 A
14.
cos 2A 
10
10
2cos 2 7
1
1 cos150 1 3  1 2 2
2 
2
cot7 


2
10
10
10
sin150
3 1 2 2
sin7
2sin7 cos7
2
2
2
0
15.
1  tan2 A
1  tan2 A

cos7

 
 
2014 - 2015
=
=
=
16.
2 2  3 1
3 1

2

2  3 1
2
3 1
3 1
6  2 2  3  3  3 1
2
2 62 32 24
 6  3  2  2 2  3  4  6
2
3


2 1  2
10
45
tan11  tan

4
4

 
2 1 
3 2


2 1
45
4
45
cos
4
sin
45
45
45
1
cos
sin
sin 22
4
4 
2
2

45
1
2 45
2cos
1 cos
1 cos 22
4
2
2
2sin
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
1
By using sin 22 
2
2 1
2 2
We can get the value is
PATHFINDER
1
and cos 22 
2
42 2 

2 1
2 2

2 1
11
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17.
10
285
tan142  tan

2
2
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285
2
285
cos
2
sin
285
285
0
0
cos
2
2  sin 285  sin 360  75
285
1 cos 285 1 cos 3600  750
2cos 2
2
2sin
=







 sin 90  150
 sin750

= 1 cos750
1 cos 900  150

 3 1
0
 cos15

= 1 sin150
2 2
3 1
1
2 2
2 2



2
2 2
 3 1
=


3 1
2

3  1
3 1
=

 3  1  2
8   3  1 2 3 
=
2 6  2 2  2  6  2  1

42 3
2 3

=
3 1 2 2 

6  2 1 2  3
 2  3  2  3 
  2
6  3  3  2 2  3 1
42 3
6  2 2  2  18  6  3
2
22014
 3
2
 - 2015
=  6  2 32
18.
Since A  B  C  2700
 cos 2A  cos 2B  cos 2C  2cos  A  B  cos  A  B   cos 2C

C  D 
C  D 
 cos C  cosD  2cos 
 cos  2  
2





= 2cos  270  C  cos  A  B   cos 2C   2sinC.cos  A  B   1 2sin2C
= 1 2 sinC cos  A  B   sinC   1  2 sinC cos  A  B   cos  A  B 
= 1 2sinC  2sin A.sinB  1 4 sin A.sinB.sinC
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19.
sin2A  sin2B  sin2C  2sin  A  C .cos  A  C  sin2B
= 2 sin  270  B  ,cos  A  C   2sinB.cos B   2cos cos  A  C   sinB 
= 2cosB cos  A  C   sin  270   A  C   
=  2cosB cos  A  C   cos  A  C     4 sin A.cosB.sinC
PATHFINDER
12
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20.
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sin2 A  sin2 B  sin2 C
= sin  A  B  .sin  A  B   sin2 C
 sin2 A  sin2 B  sin  A  B  , sin  A  B  
= sin  270  C , sin  A  B   1 cos2 C   cos C.sin  A  B   1 cos 2 C
= 1 cos C  sin  A  B   cos C  1 cos C  sin  A  B   cos 270   A  B  
= 1 cos C  sin  A  B   sin  A  B    1  cos C  2cos A.sinB  1  2cos A.sinB.cos C
21.
tan2A  tan A
We have 3A  2A  A  tan3A  1 tan 2A tan A
 tan3A  tan 2A tan A tan3A  tan2A  tan A
 tan3A tan 2A tan A  tan3A  tan 2A  tan A
22.
We have 5x  3x  2x
tan 5x 
23.
tan3x  tan 2x
 tan 5x tan3x tan 2x  tan 5x  tan3x  tan2x
1 tan3x.tan 2x
Given A + C = B
tan  A  C   tanB 
tan A  tanC
 tanB
1 tan A tanC
 tan A  tanC  tanB  tan A tanB tanC
 tan A tanB tanC  tanB  tan A  tanC
:
24.
tan   b
 1 tan2  
 2tan  
cos 2  b sin 2b  
  b

2
2
1

tan


 1 tan 2014


- 2015
 1 b2 
 2b 
=  1 b2   b  1 b2 




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=
1 b 2  2b 2
1 b2

1
1 b2
1 b2
25.
1
 120 
 50 
sin85  sin35  cos65  2cos 
.sin 
 cos65  2. .sin 25  sin 25  0


2
 2 
 2 
1.
If sec   mand tan  n
then
1  1

 m  n
m  m  n

PATHFINDER
13
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=
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
1 
1
  sec   tan   

sec   sec   tan 

2
1 1  sec   tan   
= sec   sec   tan  


1  1  sec 2   tan 2   2 sec  tan  

= sec  
sec   tan 


1  2sec2   2sec  tan  

= sec  
sec   tan 


=
2.
 sec 2   tan2   1
1
 sec   tan  
.2sec  
2
sec 
 sec   tan  
Since cos 2   1
sec2  
4xy
x  y
2
[  x, y  R ]
It is possible only when x = y
3.
2
 1 4xy   x  y    x  y   0
2
The equation is,
cos 2   sin   1  0  1 sin2   sin   1 0
 sin2   sin   2  0   sin   1 sin   2  0
 sin   1 0 (  sin   1 )  sin   1  sin
 
4.
3
2
3  5 7  

,
2  4 4 
1
1
1
2014
Given that, cos   x    x   2cos 
2
x
x
- 2015
2
2
We know that x 
1 
1
 x   2
x 2 
x
2
=  2cos    2  4 cos 2   2  2cos 2
1
1 1
  x 2  2    2cos 2 cos 2
2
x  2
5.
Given that 2y cos   x sin 
....
(1)
and 2x sec   y cos ec   3
....
(2)
....
(3)

2x
y

3
cos  sin 
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 2x sin   y cos   3 sin  cos  0
Solving (1) and (3), we get y  sin  and x  2cos 
Now, x 2  4y 2  4 cos 2   4 sin2 
2
2
= 4  cos   sin   4
6.
 sin
2

3
  cos 2   1
PATHFINDER
3
14
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

 sin6   cos6   3cos 2  sin2  sin2   cos 2   1
 sin6   cos 6   3cos 2  sin2   1
2
Similarly,  sin2   cos 2   1
....
(1)
....
(2)
2
 sin4   cos 4   2sin2  cos 2   1
From (1) and (2), we get
sin6   cos 6   1 3sin3  cos 2 
and sin4   cos 4   1 2sin2  cos 2 
Now put these values in given equation




2 1  3 sin2  cos 2   3 1  2 sin2  cos 2   1
= 2  6 sin2  cos 2   3  6 sin2  cos 2   1 0
7.
x sin   y cos  
2z tan 
1 tan2 
sin 
2z
 cos 2 
2z
tan

cos

Taking x sin  
 x sin  
1  tan 2 
cos 2   sin 2 
 x sin  
 z
2z sin  cos 
2z cos 
 x
2
2
cos   sin 
cos 2   sin2 

x cos2   sin2 

2cos 
Similarly, y 

y cos2   sin2 
2z sin 

z

cos 2   sin2 
2sin 
Compare (1) and (2), we get tan  
y
x

....
(1)
....
(2)
2014 - 2015
zy
x  2xyz  sin   2yz
 x sin  
y2
x2  y2
x2  y2
1 2
x
2


2xz
Similarly, cos   x 2  y 2

8.

4z 2 x 2  y 2
x
2
y
2

 1
 

2
[  sin2   cos 2   1]
 3 sin A  5cos A  5
  3cos A  5 sin A 
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
 4z 2 x 2  y 2  x 2  y 2
2
 9cos 2 A  25sin2 A  30 sin A cos A
 9  9sin2 A  25  25cos 2 A  30 sin A cos A

 34  9 sin2 A  25cos 2 A  30 sin A cos A
 34   3 sin A  5cos A 
PATHFINDER

2
15
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 34  25  9
9.
 tan A  tanB 
2tan  A  B   2 

 1 tan A tanB 
2

10.
 2tanB  cotB  tanB 
1  2tanB  cotB  tanB

2
tanB  cotB

2 1 tan2 B

  cot B
cotB tan2 B  1
1 tan B 
2
sin 500  sin 700  sin10 0
  2cos 600 sin10 0  sin10 0


 sin10 0 1  2cos 600  0
11.
We have, tan  
m
1
and tan  
m 1
2m  1
We know tan      
tan   tan 
1 tan  tan 
m
1

2m2  m  m  1
m

1
2m
1 

m
1
2m2  m  2m  1 m
1
m  1  2m  1

2m2  2m  1

 1 tan       tan
4
2m2  2m  1
Hence,    
12.

4
2014 - 2015

sin 47 0  sin610  sin110  sin 250

 2sin 540 cos70  2 sin 180 cos7 0

 2cos7 0 sin540  sin180

 2cos70 . 2cos 360 . sin180
 4.cos70 .
13.
5 1
.
4
5 1
 cos70
4
cos 520  cos 680  cos1720


 cos 520  cos1720  cos 680
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 2cos 1120 cos 600  cos 680


 cos 1120  cos 680  2 cos 900 cos 220  0
14.
cos 2


5
 cos 2  cos 2
12
4
12
2
    1 
2  5 
 1 sin2    
  cos 

12
   2
 12 
PATHFINDER
16
MATHEMATICS-CHAPTERSOLUTIONS
File No.26/18/30/12/2014
 1
15.
16.
17.
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1 
5
 
  cos2
 sin2
2 
12
12 

3
 5  
 cos 

 cos
2
 12 12 

3
1 3
 0. 
2
2 2


 5   3
 12  12   2  cos 2 cos 3


0
0
Now, cot 70  4cos70 
cos 700  4 sin700 cos 700
sin 700



0
0
0
cos700  2sin1400 cos 70  2sin 180  40

sin 700
sin 700

sin 200  sin 40 0  sin 40 0
2sin30 0 cos100  sin 400

sin700
sin700

sin 800  sin 400 2sin600 cos 20 0


sin 700
sin 700
3
x  cos100 cos 20 0 cos 40 0

1
 2 sin 100 cos100 cos 200 cos 400 
2sin100 

1
2 sin 200 cos 200 cos 400 
2.2sin100 

1
1
2sin 400 cos 400 
sin800
0 
2.4 sin10
8sin10 0

1
1
cos 100  cot 100
0
8sin10
8



2014 - 2015
sin3  sin5  sin7  sin9
cos 3  cos 5  cos 7  cos 9

 sin3  sin9   sin 5  sin7
 cos 3  cos 9    cos 5  cos7 

2 sin6 cos 3  2 sin6 cos 
2cos 6 cos 3  2cos 6 cos 

18.
VIII CLASS - IIT/N.T.S.E FOUNDATION - OLYMPIAD
2sin6  cos 3  cos  
2cos 6  cos 3  cos  
sin  x  y 
sin  x  y 



 tan 6
ab
ab
sin  x  y   sin  x  y 
a  b   a  b 
sin  x  y   sin  x  y   a  b    a  b 

2sin x cos y 2a
tan x a



2cos x sin y 2b
tan y b
PATHFINDER
17
MATHEMATICS-CHAPTERSOLUTIONS
File No.26/18/30/12/2014
19.
 sin 2A   cos A 
 1 cos 2A   1 cos A 




20.
2sin A cos A cos A
sin A
A

 tan
2
2
2cos A 1 cos A 1 cos A
sin   sin 2
1  cos   cos 2

21.
VIII CLASS - IIT/N.T.S.E FOUNDATION - OLYMPIAD
sin   2sin  cos  sin  1 2cos  

 tan 
cos  1 2cos  
2cos 2   cos 

cos 2 A 3  4cos 2 A

2

 sin2 A 3  4sin2 A
2
  3cos A  4cos 3 A   3sin A  4 sin3 A
2



2
2
2
  cos 3A    sin3A   1
22.
 

cos 
 2cos 


 2 
 2 
 cos








cos  sin sin  2cos cos  2sin sin
2
2
2
2
2
2
2
2
 3sin





 1
sin  cos cos  tan tan 
2
2
2
2
2
2 3
23.
1 sin 2A  sin 2B  sin2C
2
L.H.S = 2
sin A sinB sinC
24.
L.H.S = 2cos  A  B  cos  A  B    2cos 2 C  1
  1 2cos Ccos  A  B   2cos 2 C
2014 - 2015
  1 2cos C cos  A  B   cos  A  B     1 4cos A cosBcosC
25.
A  B  C  1800

A B
C
  900 
2 2
2
C
A B

 cot     cot  900  
2
 2 2

A
B
. cot  1
C
1
2
2
 tan 
B
A
C
2
cot  cot
cot
2
2
2
cot
or
A
B 
C
B
A

or  cot cot  1 cot  cot  cot
2
2
2
2
2


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cot
A
B
C
C
B
A
. cot . cot  cot  cot  cot 0
2
2
2
2
2
2
PATHFINDER
18
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