Engineering Mechanics:
Statics in SI Units, 12e
9
Center of Gravity and Centroid
1
Chapter(Objectives
• Concept)of)the)center)of)gravity,)center)of)mass,)and)the)
centroid)))
• Determine)the)location)of)the)center)of)gravity)and)centroid)
for)a)system)of)discrete)particles)and)a)body)of)arbitrary)
shape
Chapter(Outline
1.
2.
Center)of)Gravity)and)Center)of)Mass)for)a)System)of)Particles)
Composite)Bodies
9.1(Center(of(Gravity(and(Center(of(Mass(for(a(
System(of(Particles
Center)of)Gravity))
•
•
•
An)object)is)composed)of)infinitesimal)bodies)and)let)each)body)has)the)
weight)dW))
Let)the)body)is)in)the)3D)in)the)x,)y,)z)frame)
The)total)weight)of)all)the)bodies)can)be)represented)by)a)single)force)W)
at)point)G)
3
9.1(Center(of(Gravity(and(Center(of(Mass(for(a(
System(of(Particles
Center)of)Gravity)(use)equivalent)force)and)moment))
• Resultant)weight)of)an)object)=)the)sum)of)all)infinitestimal)weights)ofall)
bodies)
FR = ∑ F
•
W = ∫ dW
Resultant)moment)about)any)axis)=The)sum)of)moments)of)all)bodies)
about)the)axis)
MR = ∑ M
•
Let)G)is)the)location)of)the)equivalent)force,)which)is)equal)to
xW = ~
x1W1 + ~
x2W2 + ... + ~
xnWn
yW = ~
yW + ~
y W + ... + ~
yW
1
1
2
2
n
n
zW = ~
z1W1 + ~
z 2W2 + ... + ~
z nWn
4
9.1(Center(of(Gravity(and(Center(of(Mass(for(a(
System(of(Particles
Center)of)Gravity))
• In)summary,)for)discrete)quantity)
∑~
xiWi
∑~
yiWi
∑~
ziWi
x=
;y =
,z =
∑ Wi
∑ Wi
∑ Wi
• For)continuous)quantity
~
~
~z dW
x dW
y dW
∫
∫
∫
x=
;y=
,z =
∫ dW
∫ dW
∫ dW
5
9.1(Center(of(Gravity(and(Center(of(Mass(for(a(
System(of(Particles
Center)Mass)))
•
Using)the)relationship)W)=)mg,)consider)the)
centre)of)mass)with)contant)g)
•
In)general,)the)centre)of)mass)is)the)centre)of)
gravity)
•
The)centre)of)mass)is)usually)used)in))
Dynamics)problems
6
9.1(Center(of(Gravity(and(Center(of(Mass(for(a(
System(of(Particles
Centroid)of)a)volume))
• For)an)object)with)uniformly)
distributed)mass,)hence)
))))))))))))))))))))or)))))))))))))))))))
m = ρV
dm = ρdV
• Hence)the)centre)of)volume)is
7
9.1(Center(of(Gravity(and(Center(of(Mass(for(a(
System(of(Particles
Centroid)of)an)Area))
•
For)an)are)with)the)same)thickness)thoughout)the)area)
•
The)area)can)be)subdivide)into)dA
8
9.1(Center(of(Gravity(and(Center(of(Mass(for(a(
System(of(Particles
Centroid)of)a)Line))
• For)an)object)with)a)line)shape,)consider)a)small)length)dL)
• From)Pythagorus
dL =
(dx )2 + (dy )2
2
2
& dx #
& dy #
= $ ! dx 2 + $ ! dx 2
% dx "
% dx "
2
&
& dy # #!
$
= 1 + $ ! dx
$
% dx " !"
%
2
or
2
& dx #
& dy #
dL = $$ !! dy 2 + $$ !! dy 2
% dy "
% dy "
&
$
=$
$
%
& dx #
$$ !!
% dy "
2
#
!
+ 1 ! dy
!
"
x=
∫ ~xdL
L
∫ dL
L
; y=
∫ ~ydL
L
∫ dL
9
L
Example(9.1
Locate)the)centroid)of)the)rod)bent)into)the)shape)of)a)
parabolic)arc.
10
Example(9.1
Differential)element)
dL)is)located)on)the)curve)at)the)arbitrary)point)(x,)y))
Area)and)Moment)Arms)
For)differential)length)of)the)element)dL)
Since)x"=)y2)and)then)dx/dy"="2y"
The)centroid)of)a)small)element)is)located)at
11
Example(9.1
Integrations
12
Example(9.2
Locate)the)centroid)of)the)circular)wire)segment)shown.
13
Example(9.2
Polar)coordinate)is)more)suitable)since)the)arc)is)circular)
Differential)element)
A)circular)arc)is)selected,)it)intersects)the)curve)at (R, θ )
Area)and)Moment)Arms)
The)differential)length)of)the)element) dL = Rdθ
The)centroid)of)a)small)element)is)located)at)
~
x = R cos θ and ~
y = R sin θ
Integration
Example(9.3
y
Determine)the)distance))))measured)from)the)x)axis)to)the)
centroid)of)the)area)of)the)triangle)shown.
15
Example(9.3
Differential)element)
A)rectangular)element)with)thickness)dy,)intersect)at)(x,y))
b
dA = xdy = (h − y )dy
Area)and)Moment)Arms)
h
~
The)area)of)the)element))
y=y
The)centroid)of)a)small)element)is)located)at)
Integration
~
∫ ydA ∫ y(b h )(h − y )dy (1 6)bh
y=
=
=
∫ dA ∫ (b h )(h − y )dy (1 2)bh
A
h
2
0
h
A
=
h
3
0
16
Example(9.4
Locate)the)centroid)for)the)area)of)a)quarter)circle)shown.
17
Example(9.4
Polar)coordinate)is)used.)
Differential)element)
A)triangle)element)with)angle))))))))intersect)at))
dθ
Area)and)Moment)Arms)
The)area)of)the)element))
(R,θ )
The)centroid)of)the)triangle)element)is)located)at)(Ex.)9.3))
dA = (1 2)(R )(Rdθ )
Integration
~
x = (2 3)R cosθ and ~y = (2 3)R sin θ
Example(9.5
Locate)the)centroid)for)the)area)shown)below.
19
Example(9.5
Solution)I)(Fig.)a))
Differential)element)
A)rectangular)element)with)thickness)dx,)has)a)height)y.)
Area)and)Moment)Arms)
The)area)of)the)element))
The)centroid)is)located)at)
Integration
dA = ydx
~
x = x, and ~y = y 2
20
Example(9.5
Solution)II)(Fig.)b))
Differential)element)
A)rectangular)element)with)thickness)dy,)has)a)length)(1Wx).)
Area)and)Moment)Arms)
The)area)of)the)element))
dA = (1 − x)dy
The)centroid)is)located)at)
Integration
~
x = x + (1 − x) / 2 = (1 + x) / 2, and ~y = y
21
9.2(Composite(Bodies(
• is)composed)of)objects)with)simple)geometries)
such)as)triangles,)rectangles,)circles)
• Consider)individual)geometries)to)find)the)centroid
∑~
xW
x=
∑W
∑~
yW
y=
∑W
∑ ~z W
z=
∑W
22
9.2(Composite(Bodies
Analysis)method)
Composite)Parts)
• Devide)a)big)object)in)to)a)series)of)simple)geometries)
• For)the)void)or)spaces,)the)geometries)have)negative)values)
Moment)Arms)
•
Locate)the)frame)and)then)find)the)centroid)for)each)simple)
geometry)
Summations)
• Find)the)centroid)the)previous)centroid)equaiton
23
Example(9.10
Locate)the)centroid)of)the)plate)area.
24
Solution
Composite)Parts)
Plate)divided)into)3)segments.)
Area)of)small)rectangle)considered)“negative”.
25
Solution
Moment)Arm)
Location)of)the)centroid)for)each)piece)is)determined)and)
indicated)in)the)diagram.)
Summations
26