Spectral Analysis Introduction

��������������������������������
�������������������������
�����������
������������
������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������� ��������������������������������������������������������������������������������������
������������������������� �������-� ���������������������������� - ������������������������������������
���������������������������������� ��������������������
������������������������������������������������������������������(�)�������������������������������
�������������������������(ω)��������(ω)��������ω���������������������������������������������������
��(�) = ∫
∞
{�(ω) ��� (ω�) + �(ω) ��� (ω�)} ⅆω�
�
�������������������������������������������������������������������������������������������� � ����������
������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������
���������������������������������������
�����������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������
����������������������������
� ������������������������������������� �� �� �����
ω = � π � �-�������������������(�������������������������������������������)
� = �/� �-�������
�������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������
2 ���
QF_II_L1 Spectra_intro.nb
� �
�
��������������������
������������������������������������π����→���������������������������������������������π�����������
�������
��������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������×��π��
��������������������
����������������������������������������������������������������������� ������������
����������������������������π������π����������������������π�
�������������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������������������
��������
����[{���[�π �]}�{��-�������}������������→�������������]
1.0
0.5
��������
5
-5
10
-0.5
-1.0
�������������������
�����������������������������������������������φ��������������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������
�� ��������������φ������∞�������∞�
���������������������������������������������������������������������������φ����������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������
��������
����[{�*���[��]��*���[��]}�{������}������������→�������������]
2
1
1 sin(1 n)
��������
5
-1
-2
10
15
20
25
30
2 sin(1 n)
QF_II_L1 Spectra_intro.nb
��������
���3
����[{���[�]����[�+��/�]}�{��-������}������������→�������������]
1.0
0.5
sin(n)
��������
2
-2
4
6
sinn +
8
π

2
-0.5
-1.0
��������������������������������������������������������������������������������������������������π���φ�
��π�
��������������������������������������������
�������������������������������������������� ����������φ� ������������������������������������������
��������
�� ���∑� �� ���(�� + φω )������∞�������∞�
���������������������������������
��������
����[{���[�]����[��]}�{�������}������������→�������������]
1.0
0.5
sin(x)
��������
1
-0.5
-1.0
2
3
4
5
6
sin(8 x)
4 ���
QF_II_L1 Spectra_intro.nb
��������������������������������
��������
����[{���[�]+���[��]}�{�������}������������→�������������]
2
1
��������
1
2
3
4
5
6
-1
-2
�����������������������������������
��������
����[{���[�]����[��]����[���]}�{�������}������������→�������������]
1.0
0.5
sin(x)
��������
1
2
3
4
5
6
sin(4 x)
sin(12 x)
-0.5
-1.0
����������������������������
��������
����[{���[�]+���[��]+���[���]}�{�������}������������→�������������]
3
2
1
��������
1
-1
-2
-3
2
3
4
5
6
QF_II_L1 Spectra_intro.nb
���5
��������������������������
��������
����[{���[�]+���[��]+���[���]����[�-��/�]+���[��-��/�]+���[���-��/�]}�{�������}������������
3
2
1
sin(x) + sin(8 x) + sin(12 x)
��������
1
2
3
4
5
6
sinx -
π

2
+ sin8 x -
π

4
+ sin12 x -
π

8
-1
-2
-3
�����������������������������������
������������������
�(�) = �� + ������������������∈ℤ�����
���������������������������������������
�����������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������
�π��
�π��
�(�) = ∑∞
�=� �� ���  �  + �� ��� � �����
�����������������������������������������������������������������������������������������������(�)����
��������������������������∫ �(�) ⅆ ��∞��������������������π����������������������������������������
������������������������������������������������ �������
��������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������
�
�(�) = ∫ �∞{�(ω) ��� (ω�) +�(ω) ��� (ω�)} ⅆω�
�������������
������������������� ��������������
�
�
�� - � ��  � > �
�
�� =
� =�
��
�
��  + � ��   � < �
�
� π��
 + �� ��� � π�� ����
���������������������(�) = ∑∞
�=� �� ��� 
�
� ω� �
�(�) = ∑∞
�=-∞ �� �
������ω� = � π�/����� = �� ±�� ±�� ���
�
6 ���
QF_II_L1 Spectra_intro.nb
�
�� �
�
�
�� + ��  ������������������������
���������������������������������������������������������
∞
�(�) = ∫ -∞
� (ω) �� ω � ⅆω
���������������ω�����������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������������������������ω� � ω� � ω� � ������
��������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������∞�
����������������������������
������������������������������(�)���������
π �
� (�) ⅆ �
������������������������������π��π���∫ -π
�
�������� (-π�π)
������������� = ����� ������ ����
�π
����������������������������������������������������
����������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������∫ �(�) ⅆ ��∞�����������������������������
����������������������������������
�� (�) = 
�(�) -� ⩽ � ⩽ � �
�
���������
�� (�)��������������±∞����������������������������������������������������������������∫ �(�) ⅆ ��∞�
�� (�) =
�
�π
∞
∫ -∞�� (ω) �
�ω�
ⅆω
���������������������������
�����
�� (ω) =
=
�
�π
�
�π
∞
∫ -∞�� (�) �
�
∫ -� � (�) �
-� ω �
-� ω �
ⅆ� �
��������������������
ⅆ� � ���������������� (�)������(�) ����������
�� (ω)�ⅆω����������������������������������������� (�)����������������������������������������������
�������������ω��ω�ⅆω�
������������������������������������������������������������������∞�∞����������������������������������
����������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������→�∞�������
QF_II_L1 Spectra_intro.nb
���7
���������������������������������
���� →∞
�� (ω)
���� →∞
�� (ω)
�
�����������������������ω�
��
��
�
ⅆω���������������������������������������(�)��������������������������������
��������������������ω��ω�ⅆω�
������������ (ω)� ������������������������������������������������������������������������� (ω)� �����
������������������������
������������������������������������ (ω)� �������������������������������� →����� (ω)� ������������
�����������ω�����
�(ω) = ���� →∞ � 
�� (ω)
�
��
�
�(ω)ⅆω����������������������������������������������������������������������������������������������(�)�
�������������������������ω��ω�ⅆω�
���������������ω����������������������������������������������������������������������������������
�����������������������
���������������������������������
�(ω� � ω� ) = ∫ ωω� �(ω) ⅆω���������������������������������������������������������������
�
��������������������ω� �����ω� ��
�
��������������������������������������
�
ω
�(ω) = ∫ -∞
�(θ) ⅆθ��������������������������������������������������������������������
������������ ����������������������ω�
������������������
���������������������������
∞ �
∞
�
∫ -∞� (�) ⅆ� = ∫ -∞ �(ω) ⅆω�
�(ω)� �����������������������������������������������������������������(�)�
������������������������������������������������������������������������������������
∞
�(ω) ⅆ ω = σ��
�(∞) = ∫ -∞
8 ���
QF_II_L1 Spectra_intro.nb
��������
������ = �����[���[� �](*+����[��]*)� {�� �� � ��� ���}]�
�����������[�������[������]]� �� �����������[������] - �  � � � 
������[������]  �� ��������� → ���������
��������� → ���� ������� → ����� ��������� → {���������[������]}
��������[������]
��������[�������[������� ����������������� → {�� �}]] � �  ������[������] - �
Spectrum
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
20
40
60
��������
��������
��������
���������������������������������������������������������������������
ω� � � � � � � =
� -�
����� ���������������������������
�
��������������������������������������������������������������������������������
��������
����[{���[��]����[���]����[��]}�{�����}������������→�������������������������→�������������
1.0
0.5
��������
1
2
-0.5
-1.0
��������������������������������
3
4
5
QF_II_L1 Spectra_intro.nb
���9
�����������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������
����������������
�����������������������������������������������������������
�� ω � = ���(ω �) + � ���(ω �)
����������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������⟶����������������������
10 ���
QF_II_L1 Spectra_intro.nb
�������
�����������
�����
������
∞
��  = ∫ -∞
�(�) �-� π � � � ��
����������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������⟶����������������������������
�����������������������������������������
����� = �����[���[� �]� {�� �� � ��� ��}]�
����� = ��������� � - ��  �� {�� �� � ��� ��}�
������������[{������ �����}]
�� = �������[�����]�
�� = �������[�����]�
������������
����������[{�����}(*������������������→{-���}*)] � �  ������[������]  ��
��������� -> ���
1.0
0.5
20
40
60
80
100
120
100
120
-0.5
-1.0
0.4
0.3
0.2
0.1
20
40
60
80
QF_II_L1 Spectra_intro.nb
��〚� �� �〛
���[��〚� �� �〛]
��〚�〛
���[��〚�〛]
��〚�〛
���[��〚�〛]
�[���[��〚�〛] / ������]
{�������� - ���������� ⅈ� ������� - �������� ⅈ� - ��������� + ���������� ⅈ}
{���������� �������� ���������}
������� - �������� ⅈ
- ���������
������� + ������� ⅈ
��������
�������
������������������
����������������“��������������������������������������”
���11
12 ���
QF_II_L1 Spectra_intro.nb
��������
������=�����[���[��](*+����[��]*)�{�����������}]�
��������[����������������→����������������→��������������→{���������[������]}]
��������[���[�������[������]][[��������[(������[������]-�)/�]]]��/(������[������]/�)����������
signal
1.0
0.5
��������
50
100
150
-0.5
-1.0
Spectrum
0.5
0.4
0.3
��������
0.2
0.1
20
40
60
QF_II_L1 Spectra_intro.nb
���13
������������������
��������
������=�����[���[��]+���*����������[������������������[���]](*+����[��]*)�{�����������
��������[����������������→����������������→��������������→{���������[������]}]
��������[���[�������[������]][[��������[(������[������]-�)/�]]]��/(������[������]/�)����������
signal
4
2
50
��������
100
150
-2
-4
-6
Spectrum
0.30
0.25
0.20
��������
0.15
0.10
0.05
20
40
60
14 ���
QF_II_L1 Spectra_intro.nb
����������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������
��������
������=�����[���[��]+����[��]+����[���](*+����������[������������������[���]]*)�{�����
��������[����������������→��������� ���������������→��������������→{���������[������]}
��������[���[�������[������]][[��������[(������[������]-�)/�]]]��/(������[������]/�)����������
��������������[�������[������]]�
��������[��[��������������[�������[������]]]����������→�������������� ���������������→
Original signal
4
2
��������
50
100
150
-2
-4
Spectrum
2.0
1.5
��������
1.0
0.5
20
40
60
Reconstructed signal
4
2
��������
50
100
150
-2
-4
�����������������������������������������������������������������������
QF_II_L1 Spectra_intro.nb
���15
��������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������
��������
�������=�����[���[��]�{����������}]�
�������=�����[����[���]�{����������}]�
������=����[���������������]�
��������[����������������→��������� ���������������→��������������→{���������[������]}
��������[���[�������[������]][[��������[(������[������]-�)/�]]]��/(������[������]/�)����������
(*��������������[�������[������]]�*)
��������[��[��������������[�������[������]]]����������→�������������� ���������������→
Original signal
2
1
��������
50
100
150
200
250
300
-1
-2
Spectrum
0.4
0.3
��������
0.2
0.1
50
100
150
Reconstructed signal
2
1
��������
50
100
150
200
250
300
-1
-2
�������������������������������������������������������������������������������������
16 ���
QF_II_L1 Spectra_intro.nb
��������������������������������������������������������
����������������������������������������
���������
������ = �������������[����� ����� �� �����]〚���� �〛�
������������[������� ��������� → ��������� �������]
�����������[�������[������]]� �� �����������[������] - �  � � � 
������[������]  �� ��������� → ���������
��������� → ���� ������� → ����� ��������� → {���������[������]}
��������������[�������[������]]�
������������[��[��������������[�������[������]]]
(*[[�����]]*)� ��������� → �������������� �������]
Original signal
30
25
20
���������
15
10
5
500
1000
1500
Spectrum
800
600
���������
400
200
200
400
600
800
Reconstructed signal
30
25
20
���������
15
10
5
500
1000
1500
QF_II_L1 Spectra_intro.nb
���������
������=�����������@���[�������������[���������� �� �����]〚�����〛]�
������������[����������������→��������� �������]
��������[���[�������[������]][[��������[(������[������]-�)/�]]]��/(������[������]/�)����������
��������������[�������[������]]�
������������[��[��������������[�������[������]]](*[[�����]]*)����������→��������������
Original signal
0.04
0.02
���������
500
1000
1500
-0.02
-0.04
Spectrum
3. × 10-6
2.5 × 10-6
2. × 10-6
���������
���17
1.5 × 10-6
1. × 10-6
5. × 10-7
200
400
600
800
Reconstructed signal
0.04
0.02
���������
500
-0.02
-0.04
1000
1500
18 ���
QF_II_L1 Spectra_intro.nb
��������������������������������
��������
������������[���[�������[����������[������������������[���]����]]][[��������[(���-�)/�
Spectrum
12
10
8
��������
6
4
2
20
��������
40
60
80
100
120
140
������������[���[�������[������[��������-�������]]][[��������[(���-�)/�]]]��/(������[������
Spectrum
1500
�������� 1000
500
10
20
30
40
50
�����������
����������������
���������������
�����������
���������������������������������
�����������������������������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������