1 Discontinuous Galerkin Methods for Mass Conservation Equations

!#"%$&'(')*
+,+-./0
21435/0
*$&
14
6-7
89:
;(#"<:
<=
>@?BA:?/CEDGFIHJHIKLNMPORQS?UTVFIWFY[X Z\Y^] OR>_?B`;?Gacb Y[Y H Y[Z&]
Med Y[fGgZ L\h Yji LVK0k> Yjl b gi F lmg H#n iGo F iGY[YjZ F iGo OUp i FIW Y[Z\q FILsrtK0k<u YjvxwyZ H Ymgi:q ORz{{|{~} gYjq bGK Z€Y d Z O
u Y^vwyZ H YmgiGq OU}‚„ƒ{ m…‡†
]ˆ;Yji L Y[Z k‰K Z‹Š DGŒ q D Z k gl[Y >'K Y HIF iGo O,ސ ˆ ‚‘>@ORސb Y p i FIW YjZ\q FILsrtKkŽ Y^’:gq“g LV‚SD q LNF i
‚SD q LNF i OGŽ•”–ƒ † ƒ z
‚—GF q\l K i LNF i DGKD q C g H Y[Z€ F i h Y LNbGK˜F q F i L Z K,:D l[Y ™k‰K Zšg›q r q L Y h Kk‹LNFIh YPœ  Yjf.Yji  Yji L* œ d
h g0q\q L Z\giGq€f K Z L Y[ž D g L\FJK i:q K i D iGq L Z D l LND Z€Y 'h Yjq b Yjq D q F i:o b Y^’:g b Y  ZNg H Y H Y h Yji L q ?Ÿ}F iGY[gZVgf,œ
fGZ K ’ FJh g L\F iGo k‰D iGl L\FJK i:qgZ\Y‘Y h f HJK+r Y  v bGF l b gZ€Y  Yj Ui:Y ¡HJK lmg HIHIršK itY[gl b Y H Y h Yji LmO fGZ K+W,FIGF i:o
k‰K|D Z  Yjo|Z\YjY[q K0kk Z\YjY GKh f/Y[ZŸY H Y h Y[i Lm? i%g G:FILNFIK i O v¢Y  Y^ UiGYSg£fGZ K ljY GD Z\Y k‰K ZŸl K|h f D:LNF iGo HJK œ
lmg HIHIr l K iGq\YjZ W g L\FIW Y W Y HIK l FILNF Y[q k Z K|h¤UD ’,Y[q  Yj UiGY *K i k gl[Yjq Kk Y H Y h Y[i L q ?<ސbGF q FJh f H Y h Yji L g L\FJK i
F q W g HIFJ g L Y tK i¡g~q\YjZ F Y[q KkL Y[q L l[gq\Yjq ?
¥U¦*§j¨.©+ª«¬#­®©+¯°«/¨
 i LNbGF q“fUg0f.YjZyg :F q\l K i LNF i D:K|D q C g H Y[Z\ F i²± d C´³•k‰K Z hµDGH g L\FJK i F q  Y W Y HJK f/Y ¶k‰K Z L\b Y  œ d D iœ
q L Ymg :r l K i W Yjl L\FJK i,œ GFI·.D q FJK itYjž D g LNFIK i ?‚(D i F ž D Y‘fGZ K f.YjZ LsrtKk#LNb:F qgf:fGZ K g0l b¡F q LNb g LLNb Y d C
q K|HID:LNFIK i˜qNg L\F q& UY[q LNb Y h gq\qšl K iGq\YjZ W g LNFIK i¸Yjž D g LNFIK i HJK lmg HIHIr Y H Y h Yji L*Œ‡r Y H Y h Y[i L[?¸ i¹g GGF œ
LNFIK i OULNb Y ¤ Y^’ FIŒGFJHIFILsrKk d Cºh Y L\bGK, q F q“gig L\L Z\gl L\FIW Y k Ymg LND Z€Y k‰K Z :r iUg h»F l b œsf'Z\Yj GiGY h Y[i L q O
v bGF l b¼F iGl HJDG Y“i K iGl K i k‰K Z h*F iGo4g  gf L\FIW Y h Yjq b Yjqgi *W g0Z F g ŒGH Y HJK lmg HRK Z  Y[Z Kk gfGf:Z K ’ FJh g LNFIK i ?
>'K Z€Y K+W YjZ O5Œ Yjlmg D q\Y LNb Y r g0Z\Y bGF o bGH½r@HIK l[g HO d C—h Y L\bGK q K i H½r Z\Y[ž DGF Z\Ytl K|h*hµD i F l[g LNFIK i Œ YPœ
L v;YjY[i%Y H Y h Yji L qv bGF l b q b gZ€Y k g0l[Y[qj¾ L\bD q L\b Y r gZ€Y‹v¢Y HIH œ¿q DGF½L Y ~k‰K Z5fUg0ZNg HIH Y H l K|h f D:L g LNFIK i ?ސb Y
L YjZ h d Ch Y L\bGK lmg0itZ\Y k YjZ L\K q\Y W Y[Z\g H Ui FIL Y“Y H Y h Y[i L•h Y L\bGK, q D q F iGo GF q\l K i LNF i DGKD q GF q\ljZ\Y L Y
q\fUg0l[Y[q O q D l b g0q L\b Y Q gq€q F gi *T Y Œ g r~h Y L\bGK,'À [Á O L\b Y }K l[g H d F q€l K i L\F i DGK|D q C g H Y[Z\ F i¡± } d C´³
ÀÂz Á h Y LNbGKOL\b Y%w  Yji O#Q g ŒGD q\7g'g0i ÃQ g DGh giGi h Y LNbGK9Àĝ Á LNb Y F i L Y[Z FIK Zyf/Y[iUg HILsr_C g H YjZ\ F i
h Y LNbGK q K0k/acb Y[Y H Y[Z À …Á O d K|D o H gq<g0i  d D f K i LVÀÂÅ Á O gi šL\b Y u“ÇƟCch Y LNbGK q ÀÉÈ:Oʃ Á ? i ‚ Z\i KHJO
Q Z\YjË[Ë FO ˆ K le ŒGD Z€igi ¡> gZ F i FÀ †0Á gµo|Y[i:Y[ZNg Hk ZNg h Yjv K Z€ Kk6L\b Y[q€Y h Y LNbGK q F q•fGZ\Yjq\Yji L Y ?Ÿ‚ fœ
f HJF lmg L\FJK i KkL\b Y[q€Y h Y LNbGK q LNK g4v FJ Y W gZ F Y Lsr%Kk f:Z K|ŒGH Y h q•lmg0i Œ Y k‰K|D i ¡F i ÀÉÌ Á ?
ͦ¼Î(«¬6ÏÐ;Ñ´ª«RÒаÏÓ Ô«Rª0ӛ­#аÕ,©¯°«/¨
ސb Y Œ g0q F l k‰K Z hÖKkLNb Y h gq\qVl K iGq\YjZ W g LNFIK i¡Y[ž D g L\FJK i k‰K ZVq r q L Y h—Kk q\f/Y[l F Y[q F i¡g GK|h g F i¡×
Fq
ØRÙ;Ú
ØGÛÝÜ¸Þ–ß ± Ù;Úà ³âá Þ–ß ±°ã Þ Ù;Ú ³ ܸä Ú ±¿å ³^æ F i × æ
± Ù;Ú°àèç ã Þ Ù;Ú ³ ß+é á ِêë Ú°à ß+é æ K i ìíïî æ
z
ã Þ ;Ù Ú +ß é á {,æ K i ì æ
v b YjZ\Y Ù;Ú F q L\b Y FILNb q\f/Y[l F Yjq´fUg0Z LNF g H YjiGq F½Lsr|O ä Ú LNb Y*YP’ L Y[Z€iUg H q K|D Z\l[Yjq O à LNb Y W Y HJK l F½Lsr UY HJ
gi  ã L\b Y GFI·.D q FIK i4l K Y*l F Yji L[?ސb Y Œ.KD i  gZ r4KkRL\b Y GK|h g F i F q  Yjl K|h f K q\Y »F i L\K gi F i ¤UK v
á Ø fUg0Z L ìíïî × à ß+é { gi  gi K|D:L€¤UK v(fUgZ L ì á Ø ×Vìíïî ?
¦¯ m®|«/¨.©¯°¨­6«.
­ tÕGÐ°Ï ª ¯°¨¹Ô«/ª7ӛ­#аÕ:©+¯°«/¨
 i LNbGF q;q\Yjl L\FJK i¼v¢Y  Y^ UiGY Œ/KLNb q\Y h»F œ GF q€l[Z€Y L YSgi %:F q\ljZ\Y L Y L\FJh YSgf:fGZ K ’ FJh g LNFIK iGq ?a Y“ UZ€q L
Yjq L g ŒGHJF q b i K0L g L\FJK i ?'ސb Y GKh g F i²× F q´q DGŒ/GF½W,FI Y ÃF i LNK¶b Y^’:gY  ZNg H Y H Y h Yji L q !" #?¶} Y L ì
Œ Y LNb Y D i FJK i Kk“F i L Y[Z FIK Z k gljY[q Kk Y H Y h Y[i L q ?Ãa Ygq\q K l F g L Y%v FILNb Y[gl b q\Y L"$&%%F i9ì O g D i F½L
i K Z h g H;W Yjl L\K Z é %7? `UK Z $&%tF i Ø × OŸLNb Y W Y[l LNK Z é %tF q K|D,L v•gZ  LNK Ø × ? ސb Yt Ui FIL YtY H Y h Y[i L
q DGŒ q\fGgl[Y*l K iGq F q L q Kk¢GF q€l K i LNF i DGK|D q£f F Yjl[Y^v F q\Y HIF iGY[gZyf K|HIr i K|h»F g H q ?Ea Y»i K v  Yj GiGY k‰K ZEgi r
L Y[q L‹k‰D iGl LNFIK (i ' O:L\b Y£g W Y[Z\go|Y ' O:L\b *Y ) DGh f À ' Á gi LNb Y D f‡v F i  ',+ W g HJD Yjq ?
' ‘á ± '.- #/ ³
z 0 Ü z ± '.- #201 ³Pæ À ' Á á ± '.- #0 / ³ ç ± '- #201 ³Pæ 32$&%‹á Ø !5%74 6 Ø !9% 8 æ
%=<c{:æ
'.- #/ FIk à
',+ á;: '.- #20 1 FIk à ßmé % ?{ > æ 32$%‹á Ø ! % 4 6 Ø ! % 8 >
ß+é 0
Q g0q\Y K i LNb Y´v K Z\ F i À [Á O v¢Y4lmg0i k‰K Z h4DGH g L Y LNb Y´q\Y h*F œ GF q\l[Z€Y L Y´q€l b Y h Y k‰K Z“g*q F iGo H YEq\f/Y[l F Y
gi ¡k‰K Zl K i W Yji F YjiGl[Y  Z K f LNb Y£q DGŒ q€l[Z F f L‹F @BA Ø/Ù
@IA
ç
D
C @# ã Ù
C @ # à¶Ù
á
'
'
'
Þ ß7Þ Ü #EGFH
ß7Þ Ü ä '
ØGÛ
#EGFH
Ù
%L,À ' Á ç C @ ã '
%L,À Ù Á
ã
Ü J 0 EGK J 0 Þ +ß é
Þ
+
ß
é
G
E
K
J
0
J0
@
çMC ENK à ß+é % Ù + À ' Á ç C ENKBOQPSR @ à ß+é % Ù ' ç C ENKBT U @ à ß+é % ِê ' >
J0
J0
J0
J0
J0
J0
ސb Y :F q\ljZ\Y LNF Ë[g LNFIK i F i LNFIh Y F q K|Œ:L g F iGY ²Œ‡r@L\FJh Y H go|o F iGo LNb Y ¤GD ’ L Y[Z h q4l K Z\Z€Y[q€f K i GF iGo LNK
L\b Y W YjZ LNF lmg H¢k gl[Yjq ?_ސbGF q4q L gi  gZ ²L Y[l b i F ž D Y k‰K Z4q K|HIWF i:o¶q D Z k gl[Y%v;g L Y[Z~fGZ K|ŒGH Y h q b gq L\b Y
g ,W g0i L go|Y Kk fGZ KGD l F iGo»g ŒGHJK le L Z FJ:F go K iUg H q r q L Y h¡?Ÿa Y‘vVZ FIL Y£ì á ìVWYX'ì[Z\W O v b Y[Z\Y´ìVW
F q LNb Y D i FIK i KkŸLNb Y bGK Z F Ë K i L g Hk g0l[Y[q KkŸLNb Y~Y H Y h Yji L q£gi  ì Z\W LNb Y D i FIK i Kk5W YjZ LNF lmg H<k g0l[Y[q ?
ސb Y k‰DGHIHIr*GF q€l[Z\Y L YEq\l b Y h Y F q LNb Yji @A Y
@
@
Ù ]B^ 4 ' `
Ü _ Û #C ENF H # ã Þ YÙ ]B^ 4 ß7Þ ' ç _ Û #C EGF H # àYÙ ]B^ 4 ß7Þ '
ç _ a
Û C @ ã Þ Ù ]B^ 4 ß+é %,À ' Á Ü_ d
Û C @ ã Þ ' ß[é %,À Ù ]B^ 4 Á
C
ç
J 0 NE K bBc J 0
C
@
J 0 NE KIf c J 0
@
J 0 GE KBbBc J 0
% Ù + ]I^ 4 À ' Á á @ A
@A ]
] '
eC @ à
Û
Ù
Û
Ü _ J 0 ENK J 0 +ß é
Y
Ü_ ä '
@
@
Ü J 0 C EGKIf c J 0 ã Þ Ù ] ß+é %L,À ' Á ç J 0 C EGKGf c J 0 ã Þ ' ß+é % ,À Ù ] Á
à ß+é % ÙY+] À ' Á ç C ENK @ à ß+é % YÙ ] ' ç C ENKBT U @ à ß+é % Ù=ê ] ' >
J0
J 0 OQPSR J 0
J0

6¦£Ïа«®‡¯‰© Ԑ¯‰ÏЬ#ª«
6¯°ÓÃÕ:©¯‰«/¨
 i h g0i r g0fGf HJF lmg L\FJK i:q‘q D l b g0q´Yji WF Z K i h Y[i L g H5h*K Y HIF iGo K0k q D Z k gljY*v;g L YjZ O¤GD ’ k gl[Y W g H œ
D Y[qµgZ\Y K i H½r f:Z K+WFJ Y O Y ? o ? Y[i WF Z K i h Yji L g HŸh*K Y HJF i:o D q F i:o›ˆ n œ p“‚S} œ  ˆ > À { Á ?¡ i LNb Y
d C h Y LNbGK_F i L YjZ FJK Z W Y HIK l FILsr›GF q L Z FJŒGD,LNFJK iGq KW Y[Z4Y[gl b Y H Y h Y[i L gZ\Y»Z\Yjž DGF Z€Y ? YjZ\Y¼gi gf,œ
fGZ K ’ FJh g L\FJK i›v;Y  Y W Y HJK f/Y  o FIW Yji  i K vVi ¤GK v ZNg L Y[q4gl[Z K q\q4Y[gl b Y  oY%f HJD q LNb Y%g GGF½LNFJK iUg H
l K i:q L Z\g F i LSKk5HJK lmg H#h gq\qyl K iGq€Y[Z W g L\FJK i K iYmgl b Y H Y h Y[i LSF q  Yjq\ljZ FJŒ Y ?‘ i K Z  YjZ LNK g0fGfGZ K ’ F œ
h g L Y LNb Y W Y HIK l FILsr UY HJO LNb Y b Y^’:g b Y  Z\g HF q GF½W,FI Y *F i LNK£L v K f:Z F q h q ?<ސb Yyf:Z F q h q¢gZ€Y k‰K Z h Y 
Œ‡r fGZ K )€Y[l L\F iGo W Y[Z L\F l[g HJH½r%F i L\b Y GF Z€Y[l L\FJK i ?<ސb Y W Y HIK l FILsr¼F qVgq€q DGh Y LNKšW gZ r gq
ç Æ Z F q h¹z : ç á 4
á 4
4 ± ³
4 ± ³
Æ Z F q h : Ü
Ü
± ³
ç
ç
á
³
!
á
³
±
±
8 8 Ü 4
Ü 4
ސb Y¡g Œ/KW Y'YP’,fGZ\Yjq\q FIK iGq F i W|K|H½W YY F o b‡LšD iG i K vViGq»v bGF l b gZ\Y k‰K|D i 9Œ‡r l K iGq FI Y[Z F iGo LNb Y¡q F ’
 i K vVi ¤GK v9ZNg L Y[q5g0l[Z K q\qYmg0l b»k gljY O f HID q HIK l[g H l K iGq€Y[Z W g L\FJK i Kk/h gq\q K i~Ymgl b fGZ F q h Y^’,fGZ€Y[q€q\Y 
gq O Þß à á ç ± #"%$ #³ Ø $ # " ØU'Û &–)ç ( O v b YjZ\Y $ #F q L\b Y WK|HJDGh Y K0k Y H Y h Yji L ! gi  ( F q  Yj Ui:Y 
r * 4 Gæ >I>I>[,æ *.- ±°Z€Y[q\f ?
gq LNb Y'Z\g L Y KkSF iGljZ\Y[gq\Y Kk‹W|K|HIDGh Ytf.YjZ D i FIL~WK|HJDGh Y ?™} Y L»D q  Y^ UiGY Œ‡+
¤UD ’,Y[q%±°Z€Y[q\f ?%LNb Y K|D:L v;gZ  i K Z h g H<W Y[l LNK Z€q ³£K+W Y[Z L\b Y W Y[Z LNF lmg Hk gljY[q Kk•LNb Y
éb Y^4 ’:Iæ g>IY >I >jæZNég H -^³y! LNbgiY /
 *10+2æ *.3 ±°Z€Y[q€f ? é 0[æ é 3P³‹LNb Y ¤UD ’,Y[q*±‰Z\Y[q€f ?EK|D:L v;gZ  i K Z h g H6W Y[l LNK Z€q ³ gljZ K q€q
LNb Y bGK Z F Ë K i L g H‡k gl[Yjq ? 4 Ú  Y[i KL Y[q L\b Y•g0Z\Ymg KkGL\b Y k gljYŸv F½LNbµ¤UD ’ * Ú ? Š DGŒ q LNF½LND:L\F iGo LNb Y W Y HIK l FILsr
Y^’,fGZ€Y[q\q FJK i:q“o F½W Yji Œ‡r ± ³;F i LNK~L\b YEl K iGq€Y[Z W g LNFJK i¡Yjž D g LNFIK i r,F Y HI q LNb Y k‰K|HIHJK v F i:o W g HJD Yjq
ç ± *13 ç *.0P³ ç ( æ á ± *13 ç *.0^³ >
á
á
4 8
z$#
z 65
$#
Q¢r vVZ FILNF iGo é Ú á ±7 8 æ 7 98 æ 7;: 8 ³POGLNb YEY^’,fGZ€Y[q€q FJK iGq k‰K Z 4 ,æ 8 2æ < 4 gi =
 < 8 gZ\Y k‰K|D i L\K*Œ Y
/
/ 7 9 @ ç ?> @@ 7 /
?
>
4
7 /7 @ ç 7 @7 /
7 / ±7 @ ± - Ü Ü
ç /
8 á >? @@ 7 / ç ?> / 7 @
7 / 7 9@ 7 @ 7 /
7 ±7 / ± Ü @ 4 Ü
1
ç
5 á ?> 1 7 9C ç ?> CC 7 1
7 17 C 7 C7 1
7 1 ±7 ± Ü C 5 Ü
ç 1
% - á >? CC 7 1 ç ?> 1 7 C
7 1 7 9C 7 C 7 1
7 ±7 1 ± Ü C 8 Ü
á
³ Ü 7 9 @ ± - Ü 4 ³\³
z # 4B 4 ±7 / 7
ç 7 9 @ ±7 / ±A 4 Ü 8 ³ Ü 7 / ± 4 Ü 8 ³€³
9@ ç 7 @ 7 / ³
³ Ü 7 / ± 4 Ü 8 ³\³
z # 4B 4 ±7 / 7
ç 7 / ±7 @ ±A - Ü 4 ³ Ü 7 9@ ± - Ü 4 ³€³
9@ ç 7 @ 7 / ³
-j³ Ü 7 C ± 5Ü -^³\³
z # 4B 4 ±7 1 7
ç 7 C ±7 1 ±A 8 Ü 5 ³ Ü 7 1 ± 8 Ü 5 ³€³
C ç 7 C7 1³
5 ³ Ü 7 1 ±z 8 Ü 4 5 ³\³
# 4B ±7 1 7
ç 7 1 ±7 C ±A 5<Ü j- ³ Ü 7 C ± 5Ü -^³€³ >
C ç 7 C7 1³
4
8
…
`F o D Z€Y ?<È|{ Y H Y h Y[i 5L L [Y q L l[gq\YLV± H Y k Le³ Z€Y[l L giGo DGH gZY H Y h Yji L q O ±°Z F o b‡Le³ ž D g  Z IF H g L Y[ZNg H Y H Y h Y[i L q ?
¦ £ ÕUа¯°¬#Õ:©+¯°«/¨
`RK Z4q FIh f HIF l FILsr v¢Ytl K iGq FJ YjZ K i H½r g¶q r q L Y h KkVL v K Y[ž D g LNFJK iGq O iUg h Y H½r›L Y h f/Y[ZNg LND Z€Ygi 
Hq\g JF i FILsr?
¦°¥U¦»¨6Ï ¯Ó@Ï,¨m¯‰«/¨#ÕUÐ.©­¬ ސb Y F i F½LNF g H l K i GF½LNFIK iGqEgZ€Y D i FIk‰K Z h—k‰K Z Œ.K0LNb qNg HJF i FILsr gi L Y h f/Y[Z\g LND Z€Y4v FIL\b q\g HJF i FILsr q€Y L
L\K { " 5 g0i ÃL Y h f/Y[Z\g LND Z\Y¼q€Y L´LNK›ƒ Ù ?'ސb Y%qNg HJF i FILsr g LµF i ¤GK v Œ/K|D i  gZ F Y[q F q HJF i:YmgZ HIr
Z\g h f/Y 4k Z K|h {“LNK zSKW Y[Z5gyf/Y[Z FJK4Kk ?BÅS g r q ?ސb Y L Y h f.YjZNg L\D Z\Yg L<LNb Y F i ¤UK v Œ/K|D i  g0Z F Yjq
Z€Y h g F iGqVg L“ƒ Ù '? “K v;Y W YjZ ORLNb Y£g F Z L Y h f/Y[Z\g LND Z€YEg Œ/KW Y L\b Y‘q D Z k gljY Kk#LNb Y GK|h g F i F iGl[Z€Ymgq€Y[q
GD Z F i:o LNb Y'q FJh4DGH g LNFIK i ?™ŽbGF q*fGZ K+WFJ Y[q%g b Y[g L¼¤UD ’™q K|D Z€l[Yg L»L\b Yq D Z k g0l[Y K0kSLNb Y GK|h g F i
v bGF l b Z\g F q€Y[q L\b Y L Y h f/Y[Z\g LND Z\Y%v FIL\bGF i L\b Y GK|h g F i GD Z F iGo L\b Ytq FIh4DGH g LNFIK i ?ސb Yt UZ€q L lmg0q\Y
F q¼g_q FJh f H Y d ¤UK v 0 v FIL\b¸GF½·D q FJK i9q€Y L»LNK ËjY[Z KG?cސb Y ¤UK v—Yji L Y[Z€q LNb Y GK|h g F i9g L á {
gi  YP’ F½L q£g L á ? >
?šŽbGF qEq K|HJD:L\FJK i¶v;gq£l K|h f D:L Y _K i LNb Z€Y[Y h Yjq b Yjq ?*n gl bÃh Y[q b v;gq
GF½WFJ Y 'F i L\K%z0{  Y H Y h Yji L q ?¢Žb Y´ GZ\q L‹h Y[q b v;gq :FIWFJ Y 'F i LNK Z\Y[l L gi:o DGH g0ZY H Y h Yji L q“gi 
g HIF o|i:Y  v FIL\b»L\b YVl KK Z :F iUg L Y GF Z\Y[l LNFIK iGq O|L\b YVq\Yjl K i  v•g0q GF½WFJ Y »F i LNK ž D g  Z FJH g L Y[Z\g H Y H Y h Yji L q
±‰q\Y[Y `F o ? ± ŒR³\³PO gi ²LNb Y LNbGF Z  v;gq~g H q KGFIWFJ Y ²F i L\K ž D g  Z FJH g L YjZNg H Y H Y h Y[i L q4gi  Z K0L g L Y 
|{@ Y[o|Z€Y[Yjq%v FILNb Z\Y[q€f.Yjl L%L\KÃLNb Y'’ œÇg7’ F q ?ސb Y h Y[q b¹F q LNb Z€Y[Y :FJh Y[iGq FJK iUg HO g HILNb:K|D o b9K i HIr
L\b Y¡± æ ³ f H giGY F qSq bGK vVi F i LNb Y4 Uo D Z€Y ?Eސb Y W Y HJK l F½Lsr UY HJF qygq€q DGh Y  l K iGq L gi L g L B 4
fUg0ZNg HIH Y HL\K%LNb Y´’ œsg7’ F q K i LNb Y´ UZ\q LyL v Kh Y[q b Y[q‘g0i  Z KL g L Y |{¼ Y[o|Z€Y[Y[q K i LNb Y L\bGF Z ¶h Y[q b?
ސbGF q%q FIh f H Y¡lmgq€YfGZ KGD ljY[qg d v;g W Y k Z K i L%LNb g L¼L Z\g W Y H qtg L g²l K iGq L gi L%W Y HIK l FILsr9F i L\b Y
¤UK v GF Z€Y[l L\FJK i ? Š F iGljY LNb YfGZ K|ŒGH Y h F q%f b‡r q F lmg HIHIr™LNb Yq\g h Y k‰K Z%Ymg0l b l[gq\Y O“L\b Yl bGK|F l[Y Kk
Y H Y h Y[i L q b g0f.YSgi ¼h Y[q b¼K Z F Yji L g LNFIK išq bGKDGHJ*b g W YSi K Y · Yjl L•K i LNb Y“q K|HJD:L\FJK i ?ސb Y“l K|h f D:L Y 
q\g HJF i FILsr9k‰K ZtYmgl bÝKk£LNb Y_g Œ/K+W Y h Yjq b Yjq F qtq bGK vVig HJK iGo v F½LNb LNb Y›Z€Y[q D:HIL q Kk£LNb Y K Z F o F iUg H
Ui FIL Y W|KHJDGh Y h Y LNbGK@F i `F o ?#z g L´ g r q ?tސb Y%g0iUg HIr L\F lmg H q K|HID:LNFIK i F q´g H q K f:Z\Y[q€Y[i L Y ?ސb Y
Uo D Z\Y‘q bGK vVq L\b g L•L\b Y‘Z\Yjq DGH½L q D q F iGo L\b Y d C(h Y LNbGK gZ\Y F i  Yjf.Yji  Yji L‹Kk l bGKF l[Y K0k Y H Y h Yji L q
gi  h Yjq b K Z F Y[i L g LNFIK i O gi  q b:K v YP’:ljY HIH Y[i L g0o|Z\YjY h Y[i L v FIL\bÃLNb YtgiUg H½r LNF l[g H q K|HID:LNFIK i ?¡Žb Y
l K iGq L gi L gfGf:Z K ’ FJh g LNFIK i‘ Ui FIL Y WK|HJD:h Y h Y LNbGK q bGK vVqg h»K Z€Y¢q h Y[gZ\Y  v•g W Y k Z K i LGD Y LNKSL\b Y
gZ LNF Ul F g HWF q€l K q FILsr l b gZNg0l L YjZ F q LNF l Kk UZ\q L£K Z  YjZ h Y LNbGK q ?4`F o ?z g H q K q b:K vVq L\b Yšl K|h f D:L Y 
L Y h f.YjZNg L\D Z\Y :F q L Z FIŒGD:LNFIK i²g L4 g r q ?_‚•L4LNb Y F i ¤GK v Œ/K|D i  gZ r@LNb Y L Y h f/Y[ZNg LND Z€Y¼Z\Y h g F iGqµg L
ƒ Ù ?¼Žb Y*Z€Y[q D:HIL q Kk¢LNb Y d C h Y LNbGK q bGK v gq b gZ€f.YjZ  Z K f@gi O q FIh*FIH gZ HIrtLNK¡LNb Y»qNg HJF i FILsr
Z€Y[q D:HIL q OGGK i K0L Y^’ bGFIŒGFIL¢LNb Yyq h Y[gZ F iGo KkL\b Y k Z K i L gq GK Y[q LNb Yy Ui FIL Y W|K|HIDGh Y h Y LNb:K,?5`F o ?
q bGK vVq LNb Y´q K|HID:LNFIK iGq k‰K Z‹qNg HIF i F½Lsr gi L Y h f.YjZNg L\D Z\Y O Z€Y[q€f.Yjl LNF½W Y HIr|O.D i  YjZ h Y[q b Z\Y^ UiGY h Y[i L‘F i
L\b Y»œ GF Z€Y[l L\FJK i D q F iGo LNb Y d C h Y LNbGK?t‚“H q K q b:K vVi F i L\b Yš Uo D Z€Y[q4g0Z\Y L\b Y»q K|HID:LNFIK iGq D q F iGo
L\b Yµ Ui F½L Y W|K|HIDGh Y h Y LNb:K,¶K i LNb Y h*K q L Z€Yj Ui:Y h Y[q b ± † {@ ³^?‹Žb Yµ Uo D Z\Yjqyq bGK v LNb g L
Å
` F o D Z\Y z,? Š KHJD:L\FJK i Kk ± H Y k LP³ q\g JH F i FILsr gi  ±°Z F o b‡LP³¢L Y h .f YjZNg L\D Z\Y k‰K Z d U¤ K 
v g L Û áݝ» g r q K i
Wq\Y Y[Z\g H6h Yjq b Yjq D q F iGo HIF iGY[gZ d C gi  l K iGq L gi L Ui F½L Y |W KHJDGh Y h Y LNbGK q ?
`F o D Z\Y :? Š K|HJD,LNFJK i K k ± H Y k LP³
D i  jY Z h Yjq b Z\Yj GiGY h Y[i L‹F i  grq
q\g HJF i FILsr gi  ±‰Z F o b Le³‘L Y h f.YjZNg L\D Z\Y ‰k K Z d U¤ K v g L Û á :F Z\Yjl L\FJK i ?
È
`F o D Z€Y … ? Š |K HID:LNFIK i K k ± H Y k LP³ qNg IH F i ½F Lsr g i  ±‰Z F o b‡LP³yL Y h f/Y[ZNg LND Z€Y ‰k K Z d U¤ K v g L Û á   g r q
D i  Y[Z LNFIh YyZ€jY Ui:Y h Y[i Lm?
`F o D Z€Y ,Å ?ސb Z\YjY  g r q FJhµDGH g L\FJK i K k Z FIW Y[Z U¤ K v O l K i:l[Y[i L ZNg L\FJK i¡l K i L\K|D Z\q ?
L\b YEq K|HID:LNFIK i D q F iGo LNb Y d Cxh Y L\bGK¡F qY[q€q\Y[i L\F g HIHIr%F i  Yjf.Yji  Y[i L“Kkh Yjq b q F ËjY O YP’,l[Y[f LSk‰K Z L\b Y
{ ‘ h Y[q bO v bGF l b q bGK vVqq Kh Y•q HJF o b‡LK+W YjZ\q bGK,K0L5F i4q\g HJF i FILsr iGY[gZ L\b Y;v;g W Y k Z K i L g0i 4L g FIH?
ސb YV Uo D Z\Y[q¢g H q KEF i :F lmg L Y LNb g L5LNb YVq KHJD:L\FJK i D q F iGo LNb Y‹ Ui FIL Y WK|HJD:h Y h Y LNb:K,šFJh fGZ KW Y[q D i  Y[Z
h Y[q b Z€Yj UiGY h Yji Lm? ‹K v¢Y W Y[Z OLNb Y~q K|HID:LNFIK i k‰K Zyq\g HJF i FILsr¡F q‘q LNFIHJH q h YmgZ€Y  iGYmgZ L\b Y4v;g W Y k Z K i L
gi @L g FJHO g0i @L\b Y*q K|HJD,LNFJK i k‰K Z L Y h f.YjZNg L\D Z\Y F qEq h*KKLNb Y  iGYmgZ LNb Y h»F i FIh4DGh—L Y h f/Y[Z\g LND Z€Y
gq‘l K|h fUgZ\Y LNK%LNb Y d C h Y LNb:K,? “K v¢Y W Y[Z O gqyq€Y[Yji Œ‡r l K|h fGgZ F iGo `F o ?z g0i _`F o ?.:OL\b Y
d Ch Y L\bGK, fGZ K,GD l[Y[q¢g h*K Z€Y‹gl[l D ZNg L Y“q K|HJD,LNFJK i K i%gEl K gZ€q\YjZ h Y[q b?<‚cLNFJh Yq L Y[f*q\Y[i:q FIL\FIWFILsr
q LNDG:r v•gqf/Y[Z k‰K Z h Y tK i L\b Y z{ ' h Y[q b?ސb Y‘Z\Yjq DGH½L qVgZ€Yyq bGK vVi F i `F o ? … k‰K Z•qNg HJF i FILsr
gi ¶L Y h f/Y[ZNg LND Z€Y O Z€Y[q\f/Y[l LNF½W Y H½r|?Eސb Y4 Uo D Z\Yjq‘q bGK v LNb g L“LNb Yµq K|HID:LNFIK i¶l K i W Y[Z€o|Y[q D i  Y[Z L\FJh Y
q L Y[fZ€Yj Ui:Y h Y[i Lm?S`RK Z _ Û áx|{{|{:ORLNb Y´q K|HID:LNFIK i b gqSi K0LSr Y L l K i W Y[Z€o|Y ? “K v;Y W YjZ OFIL‹F qSq\YjY[i
L\b g LVk‰K Z _ Û {{|{:O:L\b YEq K|HID:LNFIK i Œ Yjl K|h Y[q F iGq\YjiGq F½LNFIW Y LNK~LNFIh Yyq L Yjf ?
¦Iͦ6ªÏ Ϭ¯°ÓÃϨ m¯°«/¨6ÕUÐt¯/Ï ª ©­#¬ ސb Y;iGYP’ L lmg0q\Y•q FJh4DGH g L Yjq ¤UK v F i´g“Z F½W YjZ K Z L Z FJŒGD,L gZ r|?#ސb Y F i FIL\F g H g0i µŒ/K|D i  gZ r l K i GFIL\FJK i:q
gZ€Y L\b YEqNg h Y£gq LNb YEfGZ€Y WFJKD q“l[gq\Yjq ?¢ i LNb Y£f:Z\Y WFIK|D qVlmgq€Y[q O/L\b Y W Y HIK l FILsr GY HJ v;gq“l K iGq L gi L
ƒ
`F o D Z\Y ,È ? :Š g HJF i IF Lsr l K iGl[Yji L ZNg L\FJK i'g L q€Y H jY l L Y 'L\FJh Y[qE± k Z K|h H Y k LLNK Z F o b‡L Û áÝ{:æPÅ,æ 4{  g r q ³^?
F i Œ/KLNb˜h go|i F½LNDG Ytgi ˜GF Z\Y[l LNFIK i ?ΐb:F q~lmg0q\Yv•gqšl bGK q\Y[i LNKL Y[q LšL\b Yq K|HID:LNFIK iÃv b Yji LNb Y
W Y HJK l FILsr'W Yjl LNK Z W gZ F Y[q F i :F Z\Yjl L\FJK i ?~¿L£F q£q FJh»FJH gZ L\K¡L\b YšfGZ\Y WFJK|D q£lmg0q\Y F i LNb Yšq€Y[iGq€Y LNb g L g
v•g W Y‘fGZ K fGgo‡g L Y[q L\b Z KD o b¼L\b Y GK|h g F i¼g L¢LNb Y HJK lmg HUW Y HJK l F½Lsr|? ‹K v¢Y W Y[Z O/:D Y LNK£LNb YSo|Y K|h Y L Z r
Kk:L\b Y ¤UK v O|FIL#F q k‰DGHIHIryL v K œ GFJh Y[iGq FJK iGg H?6`F o ?7Å q bGK vVqq\g HJF i FILsr l K i LNKD Z\qg L g r q K i4g z{ ‹ h Yjq bD q F iGo*g LNFJh Yyq L Y[f'q\Yjl ?
¦ ¦ å #&Ï [Õ Ï \Õ RÏ4Õ ¸Î«¬#ÏÐ
ސb Y´q\g HJF i FILsr gi tL Y h f/Y[Z\g LND Z\Y k‰K Z LNb Yµˆ b Y[qNg0f.Y[gY Œ g r gZ\YEl K|h f D:L Y ¡D q F i:o*l K iGq L gi L Y H œ
Y h Y[i L q ?5ސb Y F i F½LNF g H l K i GF½LNFJK iGq k‰K Z LNb Y£ˆ b Y[q\gf.Y[gY Q g rth»K, Y H gZ€Y£i K i,œ D i FIk‰K Z h g0i  o FIW Yji
F i¡gi F i:f D:L H Y k‰K ZYmgl b Y H Y h Yji L“F i LNb Y GK|h g F i ?<ސb Y Œ.KD i  gZ r l K i GFIL\FJK i:q K i'q\g HJF i FILsr gZ€Y
qNg H½L v•g L Y[ZSg LyK l[Y[gi Œ/K|D i  gZ F Y[qyg0i k Z\Yjq b v;g L YjZEg L Z FIW Y[Z Œ/K|D i  gZ F Y[q ?‹Žb Y Œ/K|D i  gZ r l K i GF œ
LNFIK iGq K i L Y h f/Y[Z\g LND Z\Yµq€f.Yjl F½k r'L\b Y L Y h f.YjZNg L\D Z\Y KkLNb Y F i ¤GK vxg L g HIH#Œ/K|D i  gZ F Y[q ?Sސb Yjq\YšgZ€Y
o FIW Y[i F i F iGf D:L H Y ?V‚SG:FILNFIK iUg HIHIrO:LNb Yµg F Z L Y h f.YjZNg L\D Z\Yµg Œ.K+W Y LNb Yµq D Z k gljY W gZ F Y[q O fGZ K+W,FIGF i:o
g b Y[g L4¤UD ’ Œ/K|D i  gZ r l K i GFIL\FJK iÃg L£LNb Y%q D Z k g0l[Y Kk;LNb Y :K|h g F i ?ސb Y h Y[q b²b gq z {|{ q D Zǜ
k gl[Y´Y H Y h Y[i L q‘g0i  { ÌÈ*LNKL g H Y H Y h Yji L q ?‘¿LyF q :FIWFJ Y F i LNK ̼H g r Y[Z\q ?ET Yjq DGH½L q k‰K ZyqNg HIF i F½Lsr
gi L Y h f.YjZNg L\D Z\Y4g L q\Y H Yjl L Y LNFJh Y[q GD Z F iGo L\b Y4q FJh4DGH g LNFIK i'gZ\Y4q bGK vVi F i `F o ?/È gi ›`F o ?.ƒ
Z\Yjq\f/Y[l L\FIW Y HIr?
¦ å «/¨®‡Ð°­ m¯°«/¨ 4ÕU¨#¬2Ô6­©­6ª7ϖ«Rª ‚ d F q\l K i LNF i D:K|D q C g H YjZ\ F i h Y LNbGK¼k‰K Z h gq€q;l K iGq\YjZ W g L\FJK itYjž D g LNFIK iGq b g0q Œ YjY[i  Y W Y HIK f/Y 
gi %W g HIFJ g L Y ? ˆ K|h f D:L g LNFJK iUg H Y^’,f.YjZ FIh Yji L q F i :F lmg L Y L\b g L•L\bGF q•gfGfGZ K gl bF q•Z K|ŒGD q L gi  l[gi
L Z€Ymg L q b gZ\f k Z K i L q ?tސb Y K Z\Y L\F l[g H Z\Y[q DGHIL q F i À |[Á q bGK v LNb g LEL\bGF q h Y LNbGK lmgi Œ Y*gfGf HIF Y ›L\K
i K i,œ¿l K i k‰K Z h»F iGo‹o|Z FJ q#v bGF l b~F q W YjZ rµFJh f K Z L gi LF i  Y W Y HJK f F iGo ,r iGg h*F l•g  gf LNF½W Yg H o K Z FIL\bGh q ?
Æ Z\Y[q€Y[i L q LND:GF Yjq F iGl HJDG Y F i W Y[q LNF o‡g LNF iGo GF½· YjZ\Y[i L‘L\FJh Y4q L Y[fGf F iGoq\l b Y h Yjqµg0qyv;Y HJH gq L Z\Ymg LNF i:o
Z\Y[gl L\FIW Y L ZNgiGq€f K Z Lm?
‘Ô å ?º`¢?,Q gq\q F gi  Š ?T Y Œ g r|O,‚ÝbGF o b œ K Z  YjZŸgl[l D ZNg L Y GF q\l K i LNF i DGKD q¢ Ui FIL Y‹Y H Y h Y[i L¢h Y LNbGK*k‰K Z
L\b Y‘i DGh Y[Z F lmg H q KHJD:L\FJK i K0kLNb Yjl K|h fGZ\Yjq\q FJŒGH Y u g WF YjZ&œ&Š LNK 0Y[qY[ž D g LNFJK iGq OGA:? ˆ K|h f D:L g LNFJK iUg H
†
`F o D Z€Y ,ƒ ?<Ž Y h /f Y[ZNg LND Z€Y G F q L Z FJŒGD:L\FJK iµg L q€Y H jY l L Y ~LNFIh Yjq± k Z K|hxH Y k LLNK Z F o b‡L Û áÝ{:æPÅæ S{  g r q ³P?
Æ5b‡r q ?.u“K:?  ± Ì|̇ƒ³^OUz0ȇƒ,?
,z ?ºQS? ˆ K le ŒGD Z€i%gi  ˆ ?Éa? Š bDO,ސb Y HJK lmg HGGF q€l K i L\F i DGK|D q C g H YjZ\ F i h Y L\bGK,šk‰K Zl K i W Y[l LNFIK i,œ
GFI·.D q FIK iq r q L Y h q O Š s‚y> A:?Ru‹DGh YjZ ?U‚ iUg H?:u“KG?R|Å ± Ì|Ì † ³^ORz …… {:?
:? A:?Ž‘? w  Y[i Oe?:Q g ŒGD q€0gµgi  ˆ ?Ân?GQ g D:h gi:i O ‚GF q\l K i L\F i DGK|D q b f¼ Gi FIL Y“Y H Y h Y[i L;h Y LNbGK
k‰K Z GFI·.D q FJK ifGZ K|ŒGH Y h q ORAK|D Z€iUg HK0k ˆ K|h f D:L g LNFIK iUg HÆ5b‡r q F l[q u“KG? m… È ± ÌÌ † ³ … Ì ?
… ? >@?B`¢?#acb YjY H Y[Z O‚ i²Y HJHIF f L\F l~l KHJHJK lmg LNFJK i,œ¿ Ui FIL Y´Y H Y h Y[i Lµh Y L\bGK v FIL\bÃF i L Y[Z FJK ZEf/Y[iUg H½LNF Y[q O
Š s‚‘> A:?Ru“DGh Y[Z ?G‚ iUg H?Uu‹KG? Å ± ̇ƒ † ³ Åz,?
Å,? A:? d K|D o H gqg0i Ž‘? d D f K i LmO‘ i L YjZ FJK Z'f/Y[iUg HILsr fGZ K ljY GD Z€Y[q k‰K Z'Y HJHJF f LNF lgi  fUgZ\g Œ.KHJF l
C g H Y[Z€ F i h Y LNbGK q OR} Yjl L\D Z\Y u“KL Y[q F i Æb‡r q F ljq Å † O Š,fGZ F iGoY[Z&œ 5Y[Z H go O:Q Y[Z HJF i O ± ̇ƒÈ‡³P?
È:?ºQS?/T‹F½W,F Y[Z€Y O.>@?Â`;?Uacb Y[Y H Y[ZSgi  ?.CEF ZNg D:HILmO ?½O/sh fGZ KW Y  YjiGY[Z€o r Y[q LNFJh g L Y[q k‰K Z F i L YjZ FJK Z
f.YjiUg HILsrO l K i:q L Z\g F i:Y  gi ›GF q\l K i LNF i DGKD q C g H Y[Z€ F i h Y L\bGK q k‰K ZSY HJHIF f L\F l£fGZ K|Œ:H Y h q ?Æ gZ L
e?IO ˆ K|h f D:L g LNFIK iUg HC Y K q\l F YjiGl[Yjq u‹KG?R ± Ì|Ì̇³^OU‡ƒ,?
ƒ,?ºQS?TVFIWF YjZ\Y O>@?Â`;?.acb YjY H Y[ZEgi  ?C‘F Z\g DGHIL[O.‚ fGZ FIK Z F Y[Z€Z K ZyYjq L\FJh g L Yjq k‰K Z“ Gi FIL Y4Y H Y h Y[i L
h Y LNbGK q Œ g0q\Y K i :F q\l K i LNF i D:K|D qgf:fGZ K ’ FJh g LNFIK i¼q€fUgljY[q k‰K Z¢Y HJHIF f L\F l‹fGZ KŒGH Y h q O Š s‚y>âA:?
u“DGh Y[Z ?U‚ iUg H?Uu“K:?U|Ì ± z{{ ³•Ì|{‡z?
† ? d ?;‚ Z€i K|HIO‹`;?•Q Z€Y[ËjË FO ˆ ? ˆ K le ŒGD Z€igi  d ?•> g0Z F i FO d F q€l K i L\F i DGK|D q C g H Y[Z€ F i h Y LNb œ
K, q k‰K Z‘Y HJHIF f L\F lµf:Z K|ŒGH Y h q O6`F Z\q LE i L Y[Z€iUg LNFIK iUg H Š rh f K q FIDGh K i d F q\l K i L\F i DGK|D q C g H Y[Z\ F i
> Y L\bGK, q O ˆ K le ŒGD Z\i OQS?½O gZ€i F g  g F q O;C~?Bn? gi  Š b DO ˆ ?Äa?½O Y  q ?½O•} Y[l LND Z€Y u‹KL Yjq F i
ˆ K|h f D:L g L\FJK iGg H Š,l F YjiGl[Y´gi 'n iGo F i:Y[Y[Z F iGo O Š,fGZ F iGoY[Z&œ 5Y[Z H go O:u“KG? ± z{|{|{|³^O † Ì:?
Ì:?º`F Z€q Lx i L Y[Z€iUg L\FJK iUg H Š r,h f K q FIDGh K i d F q\l K i LNF i D:K|D q C g H Y[Z€ F i > Y L\bGK, q ± Q“? ˆ K le|œ
ŒGD Z\i OÊC~?Bn? gZ\i F g  g F q5gi  ˆ ?Éa? Š b DO Y  q ?B³^O,} Y[l L\D Z\Y u“KL Y[q F i¼ˆ K|h f D:L g L\FJK iGg H Š,l F Y[i:l[Y
gi 'n i:o F iGYjY[Z F iGo O Š,fGZ F iGo|YjZ&œ 5YjZ H go OGu‹KG? | ± z{|{|{‡³P?
{,? ˆ ? ˆ;YjZ\l K gi %Ž‘? ˆ K|H Y O:p q\YjZ\q C‘DGFI Y L\K´L\b Y‘ˆ n œ p‹‚y} œ  ˆ >  œ d nD:L Z K f bGF l[g LNFIK i >¡K, Y O
p´? Š ?¢‚ Z hµr ˆ K Z\fGq KkEn iGo F iGY[YjZ\q O•a g L Y[Z€v;g r q n ’:f/Y[Z FJh Y[i L Š L g L\FJK i ?IO¢Ž Yjl b i F l[g H“T Yjf K Z L
nŸ} œ ̇М Å ± Ì|Ì|Å|³^?
| ?6QS?TVFIWFYjX Z\Y~gi _>@?B`¢?acb Y[Y H YjZ O6u“K iGl K i k‰K Z h»F iGo h Y LNbGK q k‰K Z L ZNg0iGq\f K Z L v FILNb i K i HJF iGYmg0Z
Z\Ymg0l LNFIK i O#Æ Z K l[YjY GF iGo|q Kk;L\b Y AK|F i L Š D:h*h Y[Z T Y[q€YmgZ€l b ˆ K i k YjZ\YjiGl[Y K i `HJDGFI›`HJK v–gi 
Ž Z\giGq\f K Z L“F i ÆK Z K|D q > Y :F g OGL\K g0fGf.Y[gZ ?