國立虎尾科技大學
102-2期中會考解答
(一)填充題:
R
1. 求 cos2 x dx
解:
Z
Z
2
cos x dx =
2. 求
解:
令
1 + cos 2x
1
dx =
2
2
Z
x 1
(1 + cos 2x)dx = +
2 4
cos 2x d(2x) =
1√
dx
x+ x
R
√
x = y2,
x = y,
Z
原式 =
2y
dy =
2
y +y
dx = 2ydy
Z
√
2
dy = 2 ln |y + 1| + c = 2 ln ( x + 1) + c
y+1
R
3. 求 ex sin 2x dx
解:
g 0 (x) = ex
f (x) = sin 2x
\+
f 0 (x) = 2 cos 2x
g(x) = ex
\−
Z
00
f (x) = −4 sin 2x
g(x) dx = ex
^+
Z
Z
x
x
Z
x
e sin 2xdx = e sin 2x − 2e cos 2x − 4 ex sin 2xdx
Z
⇒ 5 ex sin 2xdx = ex sin 2x − 2ex cos 2x + c1
Z
ex
⇒ ex sin 2xdx = (sin 2x − 2 cos 2x) + c
5
1
x sin 2x
+
+c
2
4
R
4. 求 cot3 x dx
解:
Z
Z
3
cot x(csc x − 1)dx =
cot xdx =
=−
5. 求
R
解:
Z
2
2
(csc x cot x − cot x)dx = −
Z
Z
cot x d(cot x) −
cot x dx
cot2 x
− ln | sin x| + c
2
1
dx
5 + cos x
x
2
1 − u2
令 u = tan ,
dx =
du,
cos
x
=
1 + u2 Z
1 + u2
Z
Z
Z 2
2
2
2
1
1
·
du =
du =
du =
du
原式 =
2
2
2
2
1−u2
(5 + 5u ) + (1 − u )
6 + 4u
3 + 2u2
5 + 1+u2 1 + u
r
r
2
1
2
x
1
u) + c = √ tan−1 (
tan ) + C
= √ tan−1 (
3
3
2
6
6
6. 求
R
解:
e2x
dx
e2x − 4
1
原式 =
2
7. 求
解:
Z
R
Z
e2x
1
1
d(e2x − 4) = ln |e2x − 4| + C
−4
2
x3
(x − 1)2
x3
dx =
(x − 1)2
Z x+2+
3
1
x2
1
+
dx
=
+ 2x + 3 ln |x − 1| −
+C
2
x − 1 (x − 1)
2
x−1
2
8. 求由兩拋物線 y = x2 − 9 及 y = 9 − x2 所圍封閉區域的面積 ?
解:
由題目可知兩拋物線的交點 x2 − 9 = 9 − x2 ⇒ x = ±3
將圖畫出，我們可知在 −3 ∼ 3 之間 y = 9 − x2 高於 y = x2 − 9 因此式子為
Z
3
A=
h
−3
Z 3
3
i
2 3 3
2
(−2x + 18)dx = − x + 18x
(9 − x ) − (x − 9) dx =
3 −3
−3
−3
2
2
2
= − [27 − (−27)] + 18[3 − (−3)] = −36 + 108 = 72
3
R
9. 求 sin 2x cos 3x dx
解:
Z
1
sin 2x cos 3x dx =
2
Z
(sin 5x − sin x)dx = −
10. 求由 y = cos 2x 、 y = 0 、 x = 0 、 x =
解:
Z
A=
π
2
Z
| cos 2x| dx =
0
π
4
π
2
cos 5x cos x
+
+c
10
2
所圍封閉區域的面積 ?
π
2
Z
(cos 2x − 0) dx +
(0 − cos 2x) dx
π
4
0
Z π
Z π
π
π i 1
2
1h 4
4
2
=
cos 2x d(2x) =
sin (2x) − sin (2x) π
cos 2x d(2x) −
π
2 0
2
0
4
4
1
1
= [(1 − 0) − (0 − 1)] = · 2 = 1
2
2
11. 求
解:
R
ln (ln x2 )
dx
x ln x2
令 u = ln (ln x2 ),
1
原式 =
2
Z
du =
1
1
1
· 2 · 2xdx =
dx
2
ln x x
x ln x
1
1
udu = u2 + C = ln2 (ln x2 ) + C
4
4
3
12. 求由 x2 = y 及 x = y 所圍封閉區域繞 x = −1 旋轉所成體積 ?
解:
由題目可知 x2 = y 及 x = y 的交點為 x2 = x ⇒ x(x − 1) = 0 ⇒ x = 0 or 1
將圖畫出,可知在 0 ∼ 1 間 x = y 高於 x2 = y
利用圓柱殼法求解
先求輔助線長 l(x) = x − x2
其次球旋轉半徑 r(x) = x + 1
Rb
帶回公式 V = 2π a r(x) · l(x)dx 中
Z 1
Z 1
Z 1
2
2
3
2
V = 2π
(x + 1) · (x − x )dx = 2π
(x − x + x − x )dx = 2π
(−x3 + x)dx
0
0
0
h 1
i
1 4 1 1 2 1
1
1 1
π
= 2π(− x + x ) = 2π − (1 − 0) + (1 − 0) = 2π( − ) =
4 0 2 0
4
2
2 4
2
(二)計算題:
1. 求
解:
R
√
dx
3 + 2x − x2
3 + 2x − x2 = 4 − (x − 1)2
√
4−(x−1)2
令 sin θ =
cos θ =
,
dx = 2 cos θdθ
Z
Z
Z2
x−1
1
1
p
· 2 cos θdθ = dθ = θ + C = sin−1 (
)+C
原式 =
dx =
2 cos θ
2
4 − (x − 1)2
x−1
,
2
4
R
2. 求 (ln x)3
解:
令 u = ln x,
x = eu ,
R 3 u
原式 = u e du
dx = eu dx
g 0 (x) = ex
f (x) = u3
\+
0
2
g(x) = ex
f (x) = 3u
\−
Z
00
f (x) = 6u
g(x) dx = ex
\+
Z Z
000
f (x) = 6
g(x) dx dx = ex
\−
Z Z Z
0000
f (x) = 0
g(x) dx dx dx = ex
^+
R
原式 = u3 eu du = u3 eu − 3u2 eu + 6ueu − 6eu + C
= x(ln x)3 − 3x(ln x)2 + 6x ln x − 6x + C
3. 求
解:
R
dx
x4 −1
1
1
1
1
=−
+
−
2
−1
2(x + 1) 4(x − 1) 4(x + 1)
Z
1
1
1
x−1
1
1
原式 = (−
+
−
)dx = − tan−1 x + ln |
|+C
2
2(x + 1) 4(x − 1) 4(x + 1)
2
4
x+1
x4
5
4. 求區域 {(x, y)|x2 + y 2 ≤ 1, x ≤ 0, y ≥ 0} 繞直線 y = −1 旋轉所成體積，(a) 列出算式
(b) 計算此算式之值
解:
將圖畫出得知區域是在第二象限的四分之一圓
用圓柱殼法解
p
先求輔助線長 l(y) = 1 − y 2
在求旋轉半徑 r(y) = y + 1
Ra
帶回公式 V = 2π b r(y) · l(y)dy 中
Z 1p
Z 1
hZ 1 p
i
p
2
2
2
1 − y dy
V = 2π
(y + 1) · 1 − y dy = 2π
y 1 − y dy +
0
0
0
1 π i
h 1Z 1p
h 1
πi
2
2 32 2
= 2π −
1 − y d(1 − y ) +
= 2π − (1 − y ) +
2 0
4
3
4
0
i
h 1
2
3
3
π
π 1
π
2π
(1 − 1) 2 − (1 − 0) 2 +
= 2π( + ) =
+
= 2π −
3
4
4 3
2
3
6