Towards Optimal Indexing for Segment Databases E・ Bertino B

 MNOPQRST
!"#$%&"'()&* +" ,-"().( +(//01)2*%'$."*)(
U$)V W(%*X U(5($%-Y ;()&(%
Z%()*I/( [$I*%$&*%E
3)"4(%5"&6$ +(7/" ,&8+" +" 9"/$)*
( 9$8#(%&8"5
:"$ ;*'(/"-* <=>?@
\D -Y('")
+
9(E/$) ^%$)-(
AB@ 9"/$)*D 1&$/E
<]/ A?B
(F'$"/G HI(%&<C")*D-$&$)"$JK
"L
)"'"L
"
(
'$"/G
-Y"
4
V""K7
+5 8 & F + * 5 %()*I/(L%X%-LX(%*X L-*'
_`abcdeb
,(7'()
I8& #*55"I/E( ( &*8'")(-Y")7$// 5(7'()
(7'()&5 ")") (5(-(-*)")7+$%E$
& +$&&$I$+$5&($5 5&%8
5&*%-(&8%f(5)Y$4(
*)F-%*55I(()")7+(i)(
$7(L
gh-"()
5&*%
+
&*
+
&
%
5
&5 *&2 %5k8(&%E 2*%
4((7'()
"-$/ /")($ $I$
j5&$II")7
k
(
"(
L
Y"
#$#(
(
)
"
(
$
'
(
7()(
$/
E#(
1)
%&
8
%
5l
&
5
%D
m
*
5
+
%
*%
%
&
")&(%5/$(-&-"*(h-"()
)5 m"&YL %(n(5#(-#& &*# $(7()(%$/".(/ +" 5)(7'()& /4(j$ /")(Y" D
5$ %$ED $& 5+(7'()
& 5&l(5Dm+"&(Y&($%'")")7
i
(
$)7
X
+
8
%
*
& -*'#/(%*X"&*5EDm&m*
5*f8&"5&*Y(5 +&*$&$I$
5* 5( &5".(5
#$)%*I/('L" oY(i
/
"
)Y$
#
"'$/pjq
#$-(
Y(
(
%5&
5*
8&
*
5*
&
l5
%
r"5 2$% 2%*' *#&"'$/L oY( 5(-*)+ 5*/8&"*) %(k8"%(5
Y(
#$7(
".(
I
Y(
k
(
E
"'(
+
s
5
&
5
D
8&
&
8
%
&
/*-/7tsl( 5#$-(Y(D&#Y("'$/
k8(%E$)&"'(") "(5 pj/" )*7$'r qr j/".(*7r qr"'(u /*" 7tpj/s uvwx
jsll/ 7tu yr l &"'(/ 7Dmt Y"-Y
r
"pjq
4(
E
7
q
5mY(%%( { *5"5 &Y(&* &*8&#*8&& 5".( D*2 &+Y( 5k8%&(%*ED $)+*%& j+&sl "5 $ 55'$//* -r*)r5&u$)&D* %(#s %u(5r()z *&")7r qr&Y(lD
)|A8'I(L % *2 &"'(5 m( '85& %(#($&(+/E $##/E &Y(vwx/*7x 28)-&"*) &* s I(2*%( &Y( %(58/& I(-*'(5
} ~€‚ƒ„…€†‚
‡“ ˆ‰™œŠ‹ŒŽœ ‘ œ’“™ ”•–—˜“ “˜—œ ™•š•™ ›œ”˜“ šžŸš• ™ “œ–Ÿ ¡˜•›¢š˜£œ •–“ –˜¤
•™œ—•››œž– “ž •“œ–£¥›
“
™
›¦
›
¦
›
›
¢
›¦
˜• –Ÿ ¤ £•¢ • œ¥ Ÿ˜žŸš•
˜ ˜”˜ ž ˜–©™ ž¡› –˜¤›¦ • •
“ ¢“—••›¥œ–Ÿ•–£¢—¦˜ žš•
“•›•¥ ¤œ•›¦•¥›œ ˜š˜§ •–š˜“ £•—˜
£“›•𛢕—›¢£›š˜£
¡žš
§
˜š¨
–Ÿ
•–
—ž •š•
ž ž£˜“ œž¡–
œž–•™ “•›•©•£˜£‘‘ ’ªž ™˜«œ›¨ ž¡ ›¦˜ ”•šœž¢£ ž˜š•
œž–£ œ£ ˜“œ˜«š˜££˜
¢š —›¢š˜£ ¡žš š˜™•´›µ¶·
›
›˜š £©™ ž¡¿¬­®¯°“ ±²› ¯°® ¯° ³ › ²®¸¹º°¬
›œž– œ£ ›¦›˜œ ž˜š•
›œž–›¦ž¡ š˜•¢ ©–Ÿ½¤šœ›œ›œ–Ÿ
­»›¦ – ¼½¾ ž˜š•
²
“œ
¿‘
™
›
žš¢ ž ©• £ œ›¾ ˜š •š• ˜
˜š£¿•š˜ š˜£˜—
”˜©¨À Á¥œ› ˜ –œ ›¦˜š ž¡ ©™˜ £
“œ
¿
©™
œž–˜–™›¦œ˜ž—“•›•ž¡©•£˜Â• •¡šž ›¦
›¦
¢
Ã¥
˜
–
˜š
ž¡
˜ £
˜š
£
ž—
Â
Ä¥
˜
–
– ˜È šž
˜ ™ –¢ ©˜š ž¡ ©™ž—¿£ š˜§¢œš˜“ ›ž £›žš˜˜š›¦ž¡˜ “˜ £
©•£˜Â
œ
›¦
›
›
£ž›¦ ¢› ž–›œ ř Æ ¢ÁÇÃ¥
˜
ž
•
•
•
Æ
ÄÇÃ¥
œ–Ÿ ›¦Ñ˜ šž©™˜ š˜£¢™›‘ œÉžšœ Ê˓œ ˜–£
œž–•™
›
¡žš
š˜žš
“•˜›•¥˜žÌ •—œ˜–›–“ •›©•˜š£›šž¡¢—›¢©™ž—š˜£¿£™œ¿©™›˜ž Í¿•——˜££
“
™
Ð
¢˜š ˜£›œ – Òӓ ™žŸÔÅÕÈÖ
•– “ÍŚ¨Ë›š˜˜£
Ï šž—˜££
š•–Ÿ˜ §œ–£˜š
Ë£›š˜˜£
“ ˜š¡žš ›
¼½¾™ ž˜š•›œž–£¥ š˜§¢›œœš˜ ÒÓÅÖ
ž—
ž¡
£˜—ž–
£
žš•Ÿ˜¥
•–
ž–£½ ˜ ˜›œž–£ œ–
‘
’™™
™
‘
œ
œ
›¦
›
›
ÒÓ žŸÔÅÖ ¼½¾ ž˜š• ž–£ ˜£˜ —ž  ˜« ˜£ •š˜ ¤žš£ ˗•£˜
’
™
¿
©
“
©
™
™
œ
œ
œ
œ
œ
¢
›
¦
¢›
›
›
›
›
•šŸ˜
• ž
–
ž¡
¤žš
•£
˜˜–
—•šš
˜
ž
ž
ž
•
–
ž
•
¼½¾
—ž 
˜«
˜ £ž
™™¨ —ž–›•œ– Á žœ–›£ ž–˜£ ›¦¡žš˜ ›¦™•–˜¥
œ
œ
¦
¦
›
—•™™˜“ ™×ž›œ–› “™•›“•©›•£˜£Ø› ¢‘ ɛ¢žš £¢¦—¦ “•©›•©•£˜£¥
¤
—
¨
—•
“˜”˜™ž˜“‘ Ù¦ž£˜ “•›• ©™£›š¢—›¢š˜£ •š˜ —¦•š•—
œÚ˜“
›
˜«
˜š–•
•
•
£
š
—
š˜£
•”˜
˜˜–
˜š
©£˜”˜š•
™
“
“
™
œ
œ
œ
¨ ¢•–™› ¼½¾Û —ž 
˜«Ûё›¨ ¡žš £˜•š—¦ •– ¢ •›˜ ž˜š•› ž–£ —ž •š• ˜ ›ž ›¦˜ –›˜š–• ˜ žš¨
Ü
Ð
š˜£ £ Ï ¥ Ê ¥ Ê ¥ Ê
ª“ž •š˜
“ ›ž“›¦˜©×žœ–› “•›•©•£˜Ø —•£˜¥ ¢—¦ ™˜££ ¤žš™ ¿ ¦•£‘ ’©˜˜– —•ššœ“˜“ ž©¢› ¡žš ›¦˜ £ž
™™
×
—• ˜ £˜Ÿ ˜–› •›• •£˜£Ø ¤¦œ—¦ š˜š˜£˜–› • žš˜ Ÿ˜–˜š• —•£˜ £˜Ÿ ˜–› •›• •£˜ £›žš˜£ œ–
Ê
œ©™¨ ›ž¢—¦œ–Ÿ ™•–˜ £˜Ÿ ˜–›£ Ó¡žš ©š˜”œ›¨¥—•™™˜“ ªÙ
£˜—ž–“•š¨› ‘£›žš•Ÿ˜ Á› “–ž–› Ë©—šž££œ–Ÿ ©›¦¢› ž££
™˜ •™œË
›•œ ›œž– œ– £˜”˜š•™ ™•šŸ˜£—•
£˜Ÿ ˜–
£Öœ ™¢˜Ÿ ˜–
•œ •™ “•£˜£› ©•š˜ ˜ “©•£œ£ ¡žš “¦•œ ›•™ š˜š˜£˜–
Ñ
“œ
œ
œ
›
›
›
›
›
—•“ › ž–£¥
–—
–Ÿ
£•
•
•
•
•£˜£
•–
Ÿ˜žŸš•
—•
–¡žš •
ž–
£¨£
˜ £
Ó
¼ Ö ÏÊ ¥ ˜ žš•™
Ñ
ё
›š•œ–› “•›•©•£˜£“ ÏÊÊ© ’ ž–Ÿ
• •©•£˜£› ›¦ÏÊ •–œ“ —ž–£
•™™“ ž££œ©™“˜ ›•© ™œ—•›œž–£¥
¼ —˜š›•œ–™¨
‘
“
›
›
›
›
›
˜ •¦– •šŸ˜¦ ž¡ £˜Ÿ ˜–
•
•
•£˜£
¼–
˜˜
¥
¼ • • •£˜£ ž¡ ˜– £›žš˜ “•›• •£
™š˜š˜£˜–
™™
“
™™
œ
œ
•¨˜š£ ž¡ •£¥¤ ˜š˜ ˜•— • £ ›¨ —• ¨ £›žš˜ •£ • —ž ˜—›œž– ž¡ ªÙ £˜Ÿ ˜–›£‘
ž ˜ š˜™˜”•–› §¢˜š¨ ›¨˜£ ¡žš £˜Ÿ ˜–› “•›•©•£˜£ —•– ©˜ š˜“¢—˜“ ›ž • »°º¬­ ¯¸¹ ž– •
£˜› ž¡ ʛ˓œœ ˜–£œ™™ž–•™ œ–›˜š”•› ›¦™£‘ ›œœ”˜–
• ›£˜›‘ž¡’œ–¢› œ–›˜š”•™ ™£ •–¢“ • ž›¦œ–›› ¥ •©£›•©©œ“¢–Ÿ “§¢›˜š¨
›
¡žš£›•©©œš˜–Ÿš§˜”˜£
•—ž–££˜Ÿ ˜–
£˜ §¢•˜š¨– ›¦˜š£˜—
£ ”˜š•– ›˜«• 
•™™ £˜Ÿ ˜–
—•– ˜ ›š˜£ œ–›—˜˜š£˜—›ž˜“•
™ ™œ–˜˜ ž¡¥š˜§›š˜š¨
œ“
œ
œ
œ
¢
›¦
›
˜š¨¥
˜š
•
¥Ÿ
”˜–
•
—•
˜”˜£
•
©¨ ‘ Ù¦œ£ §¢˜š¨ —•– ©˜ š˜“¢—˜“ ›ž • £›•©©œ–Ÿ §¢˜š¨ •Ÿ•œ–£› Ê˓œ ˜–£œž–•™ £˜Ÿ ˜–›£ ¤¦œ—¦ •š˜
˝šž ˜—›œž–£ ž¡ ›¦˜ “•›•©•£˜ £˜Ÿ ˜–›£‘ ̗œ˜–› £ž™¢›œž–£ ›ž ›¦˜ šž©™˜ ž¡ ˜«›˜š–•™ £›•©©œ–Ÿ
“œ£—¢££˜“ œ– ÏÊÜ¥ Êё ˜—˜–›™¨¥ ›¦˜ ž›œ •™ £ž™¢›œž– ›ž ›¦˜ šž©™˜ ¦•£ ©˜˜–
§¢˜šœ˜£ ¦“•”˜œ ©˜˜–
ё
™ ˜«›˜š–•™ ˜ žš¨ •™Ÿžšœ›¦ £ ¡žš £ž ˜ ž›¦˜š £˜Ÿ ˜–› šž©™˜ £ ¦•”˜
œ
›
šžž£˜
–
Ï
¾
•
ё
©˜˜– š˜£˜–›˜“ œ– ÏÜ
‘ ’ žš˜ Ÿ˜–˜š•™ •–“ š˜™˜”•–› šž©™˜ œ– £˜Ÿ ˜–› “•›•©•£˜£ Ә£˜—œ•™™¨ ¡žš ¼Ö
œ£ ›ž ““˜Œ›˜š œ–˜™ •™™œ £˜Ÿ ˜–œ›£ œ–›©™˜š£˜—›©œ–Ÿ •™ Ÿœœ”˜– §¢˜š¨¿ £˜Ÿ ˜–©™ ›‘ ¼– ›¦œœ£ œ•˜šœ “¤˜ Ÿž ž–˜
›˜™™
£
œ
œ
›ž¤•š £ ›¦œ ˜ £ž ¢› ž–“ ž¡© ›¦ £ œšž ˜ ¨™œÚ£ž“” –Ÿ • ¤˜• ˜š šž ˜ ¥
—ž–£ £› –Ÿ – ˜›˜š – –Ÿœ •
™œ
›
›
›
¢
›
›
¦
£˜Ÿ ˜– £ – ˜š£˜— ˜ ¨ • Ÿ ”˜– Ÿ˜–˜š• ˜ § ˜š¨ £˜Ÿ ˜– ӕ –˜¥ • 𕍥 • £˜Ÿ ˜– Ö¥ •” –Ÿ •
«˜“ •–Ÿ¢™•š —ž˜Ì—œ˜–› ‘ œ›¦ž¢› ™˜•“œ–Ÿ ›¦˜ Ÿ˜–˜š•™œ›¨ ž¡ ›¦˜ “œ£—¢££œž–¥ ¤˜ •££¢ ˜ ›¦•› §¢˜š¨
£˜Ÿ ˜–›£ •š˜ ”˜š›œ—•™ ‘ Ù¦˜ —žšš˜£ž–“œ–Ÿ §¢˜š¨ œ£ —•™™˜“ ¯¸¹ Ó£˜˜ ɜŸ¢š˜ Ê֑
Ù¦˜š˜ ˜«œ£›£ • “œ˜š˜–—˜ œ– ›¦˜ ž›œ •™ ›œ ˜ —ž ™˜«œ›¨ ©˜›¤˜˜– •–“ £›•©©œ–Ÿ §¢˜šœ˜£
œ–™ œ–›˜š–•™ ˜ žš¨‘ ’ £•—˜
œ •™ £ž™¢›œž– ¡žš “£ž™”œ–Ÿ §¢“˜šœ˜£ œ– œ–›™˜š–•™ ˜ žš¨Ñ
›
˜”˜–
ž
™
¦•£ÒÓ
¢˜š¨ —ž œ ˜«œœ›¨¥ ¢“£˜£™ ÒÓÁÖ£•—˜
¢œ •›˜£© œ– ÒÓ žŸœ©™ ÁÖ ›œ ˜œ Ï
žŸ“ÁÕÄÖ§
•– ˜š¡žš £
œ
œ
›¦
¢
›
›¦
›
›
›
¢›
›
¢
¦
Ó¤›¦˜ •™š˜• “•¨ ˜£›¤˜žš˜“ ˜•–
˜
–£˜š
ž–½
˜
˜
ž–
ž¡
•
£˜Ÿ ˜–
–ž–
—šž££
–Ÿ¥
ž££
¨
ž
—
–Ÿ¥œ˜£
Ë
‘
“
™
™
™
©©œ
œ
œ
œ
›¦
›¦
¦
›¦
›
¢›
›
¢
ž–˜£Ö
¾–
˜
ž
˜š
•–
¥
˜
ž
•
£ž
ž–
¡žš
£ž
”
–Ÿ
£
•
–Ÿ
§
˜š
™˜«œ›¨¥ ¢£˜£ ÒÓÁÖ £•—˜ •–“ ˜š¡žš £ ¢“•›˜£
œœ– œ–›™˜š–•™ ˜ žš¨
¦•£ ÒәžŸ œÁ ÕÄÖ §¢˜š¨ —ž 
ё
œ
œ
œ”˜ ›¦•– £›•©©œ–Ÿ §¢˜šœ˜£‘
›
¢
›¦
¦
– Òӛ¦œ žŸ ÁÖ ˜ Ï § ˜š ˜£ ™•š˜ ˜š˜¡žš˜ – ™¢›˜š˜–œ ›™¨¦ žš˜
˜«˜–£
™
™
œ
œ
¢
›
¼–› ™£ •˜š ¤˜‘ ٝšžž£˜
•
ÒÓÅ
žŸ
ÃÖ
£•—˜
£ž
ž–
•”
–Ÿ
§
˜š¨
¼½¾
—ž 
˜«
¨
”˜š¨
—
ž£˜
™
“
“
“
™™
œ
œ
œ
œ
œ
œ
œ
œ
¦
¢›
›
›
›¦¢
›
ž Òӑ žŸÔ ÅÕÈÖ ˜ £ž ž– £ šžž£˜ ¡žš £ • — •– £˜ Ë ¨–• — Ó £¥• ž¤ –Ÿ –£˜š ž–Ö
—•£˜£
ɜŸ¢š˜ ÊÀ ˜š›œ—•™ ™œ–˜ §¢˜šœ˜£ ”£ ”˜š›œ—•™ £˜Ÿ ˜–› §¢˜šœ˜£‘
Œ  Œ Ž! ‘ Ù¦˜ “•›• £›š¢—›¢š˜£ ¤˜ šžž£˜ ›ž £ž™”˜ §¢˜šœ˜£ •š˜ žšŸ•–œÚ˜“
“œ–Ÿ ›ž ›¤ž ™˜”˜™£‘ ’› ›¦˜ ›ž ™˜”˜™ ¥ ¤˜ ¢£˜ • šœ •š¨ “•›• £›š¢—›¢š˜ ӗ•™™˜“ " ¹»°±#¸$¸#
•——žš
%º°º »°¹¯&°¯¹¸Ö‘ ¾–˜ žš žš˜ •¢«œ™œ•š¨ “•›• £›š¢—›¢š˜£ ӗ•™™˜“ »¸&²­%±#¸$¸# %º°º »°¹¯&°¯¹¸»Ö •š˜
œ•“›˜“ ¤Ìœ›¦ ˜•—™¦ –ž“˜ ž¡ ›¦˜ š£›Ë™˜”˜™ “•›• £™›š¢—›¢š˜‘ Ù¦˜ £˜—ž–“Ë™™™˜”˜“ ™ “•›• £›š%¢—›¢š˜£ •š˜‘
•££ž—
›•œ™žš˜ ›ž ˜ —œ˜–› ¨ ˜«˜—¢›˜ §¢˜šœ˜£ ž– • £˜—œ• ›¨˜ ž¡ £˜Ÿ ˜–›£¥ —• ˜ #¬­¸±º»¸ »¸'¸­°»
stabbing query
a)
vertical segment query
()* +,- ./-01 2-34-5+ 62 57+ 8-0+69:;< 9770=65:+- :>-2 9:5 ?- :@@07@06:+-;1 07+:+-=A
Ü
b)
’ £˜› ž¡ £˜Ÿ ˜–›£ œ£ ™œ–˜Ë©•£˜“ œ¡ •™™ £˜Ÿ ˜–›£ ¦•”˜ •– ˜–“žœ–› ™¨œ–Ÿ ž– • Ÿœ”˜– ™œ–˜ •–“
œ›œž–˜“ œ– ©›¦˜ £• ˜ ¦•™¡“˝™•–˜ ™™¤œ›¦ š˜£˜—› ›ž £¢—¦ ™œ–˜‘ Ù¦¢£¥ ›¦˜ •œ–
›
•—ž–™™ £˜Ÿ ˜–
›šœ©¢›œž–££ •š˜ž¡ ›¦ž£˜ •˜š
—•– ˜ £¢ •šœÚ˜ •£ ¡ž ž¤£À
›£¥ ©•£˜“ ž– ®¹¬²¹¬°“
ʑ ˜ šžž£˜ •“Ù•›• £›š¦¢—›¢› š˜ ›žÛÑ £›žš˜
•–“› §›¦¢˜š¨œ ›™œ–˜Ë©™•£˜“ £˜Ÿ ˜–
“
œ
Ϫ
›
& °¹¸¸» Ó ¡žš £ žš Ö Ï ¥ ¥£ •š ž ˜ – ˜š–• ˜ žš¨ • • £›š¢—›¢š˜ šžž£˜
œ»¸º¹
– Ï Ñ‘
Ë£œ“˜“ §¢˜šœ˜£ ӕ £˜—œ•™
¦ ›š˜˜£œ ÏÊÑ •š˜©™ ¢£˜“œ ›ž •–£¤˜š
¼–—•£˜œ–›ž¡˜š–•›¦™˜ ˜ žš¨¥š
¨ £˜•š—£˜•š—
“œË ˜–£œž–•œžš™œ›š•–Ÿ˜
™
“ ¢“•›˜
œ
Ü
¦
›
¢
–Ÿ
šž
˜ Ö
–
ž
•
£•—˜¥
§
˜š¨¥
•–
››¦œ ˜‘ œ”˜– •“œ£˜› ž¡ žœ“œ–“›£ œ¢– ›¦˜ ›¢™•–˜ •–™™“ • œš˜—› ›•–Ÿ¢›™•šœ š˜Ÿ“ œœž–›¦ž˜– œ– ž–˜ ž¡› œ›£™ £‘œ“’™™˜£¥
˜ —žšš˜£ž–
• –˜ “ – ›˜ Ӟ˜–Ö“š˜— •–Ÿ
˜ œ“
™£ ›ž ˜«–Ÿ›˜–“Ë£šœ˜žšœ§›¨ ˜š¨£˜•š—š˜¦ ›š–£š˜˜£¥• ¡žšž –¢£˜£ —ž–
œ– ё£˜—ž–
›
šžž£•
•š¨
£
žš•Ÿ˜¥
ž
–ž
šž”
©ž›¦ §¢˜š¨ •–“ £•—˜ ž›œ •™ —ž ™˜«œ›œ˜£ ÏÛ¥ ÊÐ¥ ÊÛ ¼– ÏÛÑ¥ • £ž™¢›œž– ¤œ›¦ ÒÓÅÖ £›žš˜Ë
“ ÒәžŸ Å ÕÈÖ §¢˜š¨ ›œ ˜ ¤•£ “˜”˜™ž˜“‘ Ù¤ž ›˜—¦–œ§¢˜£ ¦•”˜ ©˜˜– “˜–˜“ ›ž
•Ÿ˜
•–
œ šž”˜
Ë£œ“˜“ §¢˜šœ˜£ œ– ÒәžŸÔÅÖ¥ ¤œ›¦
›¦˜£˜™ š˜£™ ¢™›£‘ º° ±‘&º’& ¬­ •™™ž¤£œ ›ž ™˜š¡žš ™
™
œ
›
¢›
›ž œ ©™™˜ ˜–¿ › £˜—ž–“•š¨
›žš•Ÿ˜
ÒÓŜ œ›žŸ›Ã žŸœ ©žŸÃ֓ £•—˜
£•—˜
ž
•
£ž
ž–
£
Ñ
“
œ
Û
š žš ¨ š˜˜£ £ •£˜ ž– ›¦˜ ±¹º­¸ °¹¸¸ ÏÊ •– ¢£˜£ ÒÓÅÖ
ž— £¥ ˜š¡žš –Ÿ Ë£œ“˜“
“ ¢“•›˜£ œ– ÒәžŸÔÅÕ Ô Ö¥¤¦˜š˜ ÓÃÖ œ£ • £ •™™
¢˜šœ˜£ œ– ÒәžŸÔÅ՜ ÓÃÖÕÈ֕–
§—ž–£
›•–›¥š˜š˜£˜–™› –Ÿ© ›¦˜ –¢ ©Ü˜š ž¡‘ ›œ ˜£ ¤˜ ¢£› š˜˜•›˜“™¨ •“ ™¨ ›¦˜ ™žŸœ ¡¢–—“›œž– ›ž
©
›¦
¢
›
¢
›
›
¢
›¦
›
מ ˜¡žš˜
˜
š˜£
˜—ž ˜£
˜
£˜
•
š•–Ÿ˜
š˜˜
ž
š˜
—˜
˜
Ë
™˜«œ›¨ ž¡ ›¦˜ £›š¢—›¢š˜ ¤˜ šžž£˜ ›ž £›žš˜ ™œ–˜Ë©•£˜“ £˜Ÿ ˜–›£‘ ˜ •– £•—˜
ܑ ™™˜ šžž£˜ ›¤ž •šž•—¦˜£ ›ž ›¦˜ šž©™˜ ž¡ §¢˜šœ˜£‘ Ù¦˜¨ —•– ©˜ —¦•š•—›˜šœÚ˜“ •£
¡ž ž¤£À
¼– ›¦˜ 𣛠£ž™¢›œž–¥ ›¦˜ š£›Ë™˜”˜™ £›š¢—›¢š˜ œ £ • ©œ–•š¨ ›š˜˜¥¤¦˜š˜•£ ›¦˜ £˜—ž–“Ë™˜”˜™
£›š¢—¦›¢š˜¥› •££ž—› œ•›œ ˜“ ¤™œ œ›¦©˜•—¦“ –ž“˜ ž¡ ››¦œ˜ š£›Ë™˜”˜“ ™ £›š¢› —›¢š˜¥‘ œ£Ù•¦œ•œš™¢›ž¡œšœžš¢œ›¨
£˜•š— ©™ š˜˜£¥
£ žš –Ÿ“ –˜Ë ›•£˜ £˜Ÿ ˜–
£ – £˜—ž–
•š¨œ £ žš•Ÿ˜
£ £ž ž– £˜£
¿
“
™
™
œ
¢
ÒÓÅÖ
ž—
£
ž¡
£˜—ž–
•š¨
£
žš•Ÿ˜
•–
•–£¤˜š£
§
˜š
˜£
–
ÒÓ
žŸ
ÅÓ
žŸÔÅÕ
ÓÃÖÖÕÈÖ
“ œ–
¼½¾£‘ ˜ •™
£ž £¦ž¤ ¦ž¤ ¢“•›˜£ ž– ›¦˜ šžž£˜“ £›š¢—›¢š˜£ —•– ©˜ ˜š¡žš ˜
ÒәžŸ ÅÕ Ô Ö • žš›œÚ˜“ ›œ ˜‘
ٞ œ šž”˜ ›¦˜ §¢˜š¨ ›œ ˜ —ž ™˜«œ›¨ ž¡ ›¦˜ 𣛠£ž™¢›œž–¥ ¤˜ š˜™ •—˜ ›¦˜ ©œ–•š¨
“Ë™˜”˜™
›š˜˜
› ›¦ › ™ ™ œ›¦ œ› “•š¨¦ £››žš•Ÿ˜ œ–™œ›˜š”•©™ ›š˜˜“ Ïё ٛ¦˜ £˜—ž–
“
›£ 𢗕›¢š˜£˜•š˜ž“©•£˜˜”˜œ “ ž–¤ šœ œ•žš£˜—ž–
›
¨
£˜•š—
š˜˜£
¡žš
–˜
•£˜
£˜Ÿ ˜–
£
•–
£˜Ÿ ˜–
Ë
ё
™
“œ
Ù
™
™
›š˜˜£¥
¦•–—˜¢ ¤œ ›¦œ ¡š•—›™ ž–• —•£—•
¦œ£ £ž ¢›œž– ¢£˜£›œ ÒÓő žŸÃ֙ £•—˜
˜–
–Ÿ
Ï
“
™
™
¦ž¤œ
•–¦ •–£¤˜š£
§
˜š
˜£
–
ÒÓ
žŸÔÅÓ
žŸÔÅ
Õ
žŸ
Ã
Õ
ÓÃÖÖ ÕÈÖ ˜
˜
•
£ž
£
“
©
“
“
œ
œ
œ
œ
œ
ž¤™ ›¦˜ šžž£˜
£›š¢
—›¢š˜ —•–œÚ “˜ •œ ˜‘ £˜ Ë ¨–• —¥ ˜š¡žš –Ÿ –£˜š› ž–£ –
™
ÒÓ žŸÔÅ Õ žŸÃ Õ Ô Ö • žš› ˜ › ˜
Œ‹ˆˆ!  ! ˆŒ ‘ Ù¦˜ •˜š œ £ žšŸ•–œÚ˜“ •£ ¡ž™™ž¤£ ‘ ˜—›œž– Ü šžž£˜£ • “•›•
™œ © “ ™ ›£‘ ˜—›œž– œ–›“šž““¢—˜£ ›¦˜ 𣛑 £žÉœ™¢›™™œž– ›ž ›¦˜ šž©™˜ ž¡
œ£–›š“¢˜«—›¢œ–Ÿš˜ ¡žš™ §¢–˜˜šËœ˜£•£˜‘“ Ù¦£˜Ÿ ˜–
œ£™œ £ž ¢›œž– œ£ ›¦©™˜– ˜«‘›˜–Ù ˜ œ– ˜—“œ›œž– ™–• ¨¥ ˜—›“œž– šžž£˜£
œ–£˜š““œ›˜ œ œ– ™›¦˜ •˜šÀ
¢£œž–£ •–› ž¢› –˜£™ ž˜–
—ž–—
šž
˜ £
¤ž
•˜–
—˜£
•š˜
•
£ž
’£ž ˜
“œ
’
’
“œ
œ
›¦
¦
›
˜– « š˜£˜– £ £ž ˜ • Ÿžš £ ¤ ˜š˜•£ ˜– « Í š˜£˜– £ £ž ˜ • › ž–• Ÿ¢š˜£‘
5;-22
7+,-062- 2+:+-= :;; ;73:06+,42 :0- 368-5 6+, 0-2@-9+ +7 ?:2- A
€ €„…€„ ‚ †ƒ €
˜› ©˜ • £˜› ž¡ £˜Ÿ ˜–›£‘ œ£ #¬­¸±º»¸% œ¡ ›¦˜š˜ ˜«œ£›£ • ™œ–˜ ӗ•™™˜“ º»¸ #¬­¸Ö £¢—¦ ›¦•›
¦ £˜Ÿ ˜–
› œ– ™¦•£›Ó•“› ™˜•£›¦›Ö ž–˜ ˜–¦“ž™ œ–™› ž– œ•–›¦“ •™™ ›¦›˜›£˜Ÿ ˜–
›£ œ– ¦•”œ–Ÿ ž–™¨ ž–˜
˜•—
“
‘
œ
›
˜– ˝ž – ž– •š˜ ž—• ˜ ž– ˜ £• ˜ • ¡Ë •–˜ ¤ š˜£˜— ž “•›• £›š¢—›¢š˜ ¡žš £›žšœ–Ÿ ™œ–˜Ë©•£˜“ £˜Ÿ ˜–›£ œ– £˜—ž–“•š¨
›¦˜ ¡ž“ ™™ž¤œœ–Ÿœ ¤˜ —ž–£
›
¢
›
¼–
š
—
•
™™
“©
™™ ™
©£›•£˜žš•Ÿ˜™œ–˜•–‘ š˜›š ˜” –Ÿ • £˜Ÿ ˜–›£ œ–›˜š£˜—›˜ ¨ • §¢˜š¨ £˜Ÿ ˜–› ¤¦œ—¦ œ£ •š• ˜ ›ž ›¦˜
’ §¢˜š¨ •¨ ©˜ • £˜Ÿ ˜–›¥ • 𕍥 žš • ™œ–˜‘ ’ ™œ–˜ §¢˜š¨ œ£ “˜–˜“ ©¨ œ›£ “œ£›•–—˜ ¡šž œ˜£ •š˜ Ÿœ”˜– ™©¨ • ™œ–˜¥ ¤¦œ—¦ œ£ •š•™™˜™ ›“ž ›¦˜ ©‘•£˜ ™œ–˜¥
›¦˜“ ©•£˜ ™œ–˜ ‘ •¨œ •–“ £˜Ÿ ˜–
›
¢
§
˜š
›œ–Ÿ™š˜£˜—›œ”˜œ ¨ ›¦˜ 𕍙™ žšœ ›¦˜ £˜Ÿ ˜–› ˜–™ žœ–›£ œ–—˜ •
•– ž–˜› žš¢›¤ž ž –›£ ž–› œ›¦›¥ š˜š˜£˜–
›
›¦
¢
¢
¦
›
£˜Ÿ ˜–
§
˜š¨
š˜š˜£˜–
£
˜
ž£
—ž 
˜«
—•£˜¥
–
˜
¡ž
ž¤
–Ÿ
¤˜
¡ž—
£
ž–
¨
ž–
£
—
ž¡
™ž££ ž¡ Ÿ˜–˜š•™œ›¨¥ ›¦šž¢Ÿ¦ •™™ ˜—›œž– Ü¥¤˜ š˜£›šœ—› ›¦˜ š˜£˜–¨˜
œ
œ
›¦
¢›
›
›
§› ¢˜š¦œ˜£œÚ‘ ›žš˜ž”˜š¥¤
ž
•
ž–
™ © ™œ ‘ Ù œ žœ—˜ £œ ™œ˜£ ›¦˜ “˜£—šœ›œž– ž¡ ž¢š “•›• £›š¢—›¢š˜ •¿œ–Ÿ
“š•¤œ–Ÿ “•›• £›š¢—›¢š˜£‘ Ù¦˜ §¢˜š¨ ›¦¢£ ©˜—ž ˜£ •
œ›ž —žžš¦˜š˜–ž–™› •¤œ›¦•£˜›¦˜–˜£›š•“œ™™‘›œ¦ž–•£ ™—¦¤•¨
ž¡
¦žšœÚž–›• £˜Ÿ ˜–› •£ ¤˜
Ù¦˜ £ž™¢›œž– ¤˜ šžž£˜ ¡žš £›žšœ–Ÿ • £˜› ž¡ ™œ–˜Ë©•£˜“ £˜Ÿ ˜–›£ œ£ ©•£˜“ ž– ›¦˜ ¡•—› ›¦•›
“
œ
›¦˜š˜˜«œ£›œ£ •–ž©”œž¢£š˜™œ ™•©›œž–£“¦œ ©˜›¤˜˜– • Ë£œ“˜™“ §¢˜š¨ •Ÿ•Éœ œ–£› •£˜
›
›
ž¡
ž
–
£
•–
‘ ’ £˜Ÿ ˜–› §¢˜š¨•£˜Ÿ ˜–
“˜–˜£›
Ü
›
›¦
¢
§œ ¢˜š¨¢ •Ÿ•œ ¢–£› • £˜›ž¡ œ“–˜“Ë •£˜
£˜Ÿ ˜–
£
ž–
˜

•–˜
Ó£˜˜
Ÿ
š˜
Ö
“œ–Ÿ ›ž •™™ £˜Ÿ ˜–› ˜–“žœ–›£
– ›• © –™ § ˜œ ¤•¨› •›¦ Ë£© ˜ §™œ¢˜š¨‘ ž– ›¦›¦˜ ž›¦œ–› ¦“•›•“©•£˜›¦ —žšš˜£ž–
©
Ë£œ“˜“ §¢˜š¨ ž–
››
›
–ž¢ ¦ ˜ ž–Ÿ
–Ÿ
ž
˜
•£˜
–˜
¾–
˜
ž
˜š
•–
¥
˜
ž
ž £˜Ÿ ˜–
ž¡
•
“£ ›ž • £˜Ÿ ˜–› §¢˜š¨ ž– ›¦˜ £˜Ÿ ˜–› “•›•©•£˜‘ ž¤˜”˜š¥ ›¦˜£˜
£ — žœ–›“œ“•›•©¢•£˜œ —žšš˜£ž–
“
‘ ¼–“˜˜“¥ •™›¦ž¢Ÿ¦ ©ž›¦ §¢˜šœ˜£
Ϫ
›
ݢ
›¦
—žšš˜£ž–
–Ÿ
§
˜š
˜£
ž
–ž
–˜—˜££•š
¨
š˜
š–
˜
£• ˜
•–£¤˜š£
“•›• Ó£˜Ÿ ˜–› Ê œ– ɜŸ¢š˜ ÜÖ¥ ›¦œ£ œ£ –ž› •™¤•¨£ ›š¢˜‘ Ù¦˜ œ–›˜š£˜—›œž–
ž¡›˜– š˜›šœ˜”˜› ›¦œ›¦˜ £• ˜
›¦
¢
›
“ž˜£ –ž› œ ™¨ ›¦•› ›¦˜ £˜Ÿ ˜–› ˜–“žœ–› œ£ —ž–›•œ–˜“
¤ œ ˜ § ˜š¨ £˜Ÿ ˜–
“
ɜ
‘ ’™£ž¥ ›¦˜ š˜£˜–—˜ ž¡ • £˜Ÿ ˜–› ˜–“žœ–› œ– ›¦˜
œž¡– •›¦£˜Ÿ ˜–
œ“
œ
Ü
Ü
›
¢
˜
£
˜
š˜Ÿ
ž–
Ó£˜Ÿ ˜–
–
Ÿ
š˜
Ö
Ë
Ë£œ“˜“ š˜Ÿœž– “ž˜£ –ž› œ ™¨ ›¦•› ›¦˜ §¢˜š¨ £˜Ÿ ˜–› œ–›˜š£˜—›£ ›¦˜ £˜Ÿ ˜–› Ó£˜Ÿ ˜–› œ–
ɜŸ¢š˜ Ü֑ ˜£œ›˜ ›¦˜£˜ “œ˜š˜–—˜£¥Ñ ¤˜ £¦ž¤ ›¦•› £ž™¢›œž–£ “˜”˜™ž˜“ ¡žš Ë£œ“˜“ §¢˜šœ˜£ ӝ•›¦Ë
¦œ “ ˚•–Ÿ˜ ›š˜˜£ Ïʙ™‘Ð¥ ÊÛ Ö¥ ©•£˜“ ž– šœžšœ›¨ £˜•š—¦ ›š˜˜£¥ —•– ©˜ £¢——˜££¡¢™™¨ •™œ˜“
›—•—ž ™œ–˜–ŸË©•–•£˜“ £˜Ÿ ˜–
›£ •£ ¤˜
2
1
3-sided query
related to the segment q
3
1
q
ɜŸ¢š˜ ÜÀ ’ £˜Ÿ ˜–› §¢˜š¨ ž– • £˜› ž¡ ™œ–˜Ë©•£˜“ £˜Ÿ ˜–›£ ”£ • Ë£œ“˜“ §¢˜š¨ ž– ›¦˜ ˜–“žœ–›
£˜› ž¡ ›¦˜ £• ˜ £˜Ÿ ˜–›£‘
’œ
œœ– žš “˜š ›ž ““˜–˜“ š™ œžšœœ›¨ £˜•š—¦
›˜“œ– Ïʛ Ð¥ ÊÛ©œÑ ¡žšž“œ–› “•›•©•£˜£¥
“
œ
œ
›š˜˜£œ £¡žšœ – ›¦• £˜™™˜ •šž•—
› ž¡ ™œ–˜¦Ë©š˜£˜–
›
› ¢’£˜ •– ™• Ÿžš ›¦© £œ ¡žš
•£˜
£˜Ÿ ˜–
£¥
•
–•š¨
˜—ž ž£
ž–
£
š£
“
©
“
™
“‘
œ
›š ˜” ›–Ÿ • › £˜Ÿ ˜–
›œ£ –›˜š£˜—“ ›˜ ›¨ ›¦˜ §¢˜š¨
› •š˜ ˜”˜¦œ ¦ž˜ › £™™• š˜£¢“œ››œ¥¤˜ ž ›¢•œ– “•
š˜©œ–•š¨
£˜Ÿ ˜–
™
œ
¢
ݢ
¦
¦›
•š¨ £ žš•Ÿ˜ž¡ ˜ Ÿ ÒÓ žŸ ÅÖ¥¤ — ˜˜ £• —ž– ž–£ š˜§ š˜
œ– ÏÊÐ¥ ʚ˜˜ÛÑ ¡žš£ š•— ™¨š˜œ–Ÿ– £˜—ž–
•–¨ •“”•–—˜“ ›˜—¦–œ§¢˜ ©˜›¤˜˜– •›¦Ë—•—¦œ–Ÿ •–“ ˚•–Ÿ˜ ›š˜˜‘
ˆ!ˆ !ŒŽ‰!ŽŒ ‘ ˜› ©˜ • £˜› ž¡ Á ™œ–˜Ë©•£˜“ £˜Ÿ ˜–›£‘ ˜ 𣛠£˜™˜—› • –¢ ©˜š à ž¡
- :22/4- +,:+ +,- ./-01 2-34-5+ ?-;7532 +7 +,- 2:4- ,:;*@;:5- ,-0- 2-34-5+ -5=@765+2 ?-;753A +,-062-<
57 2-34-5+ 65+-02-9+2 +,- ./-01A
›
¤œ›¦ ›¦˜ ›ž ž£› ˔•™¢˜ ˜–“žœ–›£ •–“ £›žš˜ ›¦˜ œ– ›¦˜ šžž› ž¡ ›¦˜ ›š˜˜ Ä
£˜Ÿ ˜–
£¡šž ¢–“˜š —ž–£›š¢—›œž–¥žšœ “˜š˜œ “ ¤œ›¦œÚ š˜£˜—™ ™œ› ›ž ›¦˜œš œ–œ›˜š£˜—›œž–£™ ¤œ›¦“ ›¦˜ ©•£˜ ™œ–˜¥ ›žŸ˜›¦˜š ¤œ›¦‘
›
›¦
›
›
›¦
›¦
•Ù¦£˜•š•› ›žš›
œ œ¥ ¤¦™™—¦ ›¦£ • ¦žš ž–››•œ –˜ ›£˜•š•
–Ÿ
˜
£˜
˜—
˜
£˜Ÿ ˜–
£
¡šž ˜
ž
“œ–›ž ›¤ž £¢©£˜›£ —ž–›•œ–œ–Ÿ •– ˜§¢•™ –¢˜š£ ©˜š
œ
œ
›
˜™ £˜ —ž–› ‘ •Ù–¦–Ÿ›• ž ˜š £˜Ÿ ˜–
£
£
•š
ž–˜
› œ–“ ˜•—¦ £‘¢©£˜œ › œ£ ›¦˜– —žœ˜“ œ–œ›ž ›¦“˜ šžžœ ›‘“Ù¦˜£˜“£˜Ÿ ˜–
›£ ‘•š˜’
ž¡“ ˜ ˜ ˜–
£
˜
ž
£˜Ÿ ˜–
“
™
©
©
œ
˜–ž›˜ š˜£˜—› ”˜ ¨ ¨ È •– È –˜ ¡žš • Ÿ˜–˜š — –ž ˜ £ ˜–ž›˜ ¨ £œ œ™•š –ž›•›œž– œ£ ¢£˜“ ¡žš È •–“ È Ó£˜˜ ɜŸ¢š˜ ֑
Ù “˜—ž ž£œ›œž– šž—˜££ œ£ š˜—¢š£œ”˜™¨ š˜˜•›˜“ ¡žš ˜•—¦ ž¡ ›¦˜ ›¤ž £¢©£˜›£‘ œ¿˜ ˜«›˜š–•™
“ ©œ–•š¨ ›š˜˜ ž¡ ¦©˜œŸ¦›
œš ™žšœ¦›¨˜ £˜•š—
¦¢ ›š˜˜œ œ– žœ–©™› “•¿›•©œ •£˜£¥› ›¦˜ ™š˜£›¢™›œ–Ÿ‘ ›Ùš˜˜¦ 眜£ • ©•™•–—˜
œ£ ›¦•› –ž £¢™ ›™œš˜˜
ÒÓÅÖ¢™ ž— œ£ – œ˜« ›¦˜š–•™ £ žš•Ÿ˜
˜ œ˜š˜–—˜¥œ ¦›ž¤˜”˜š¥
“˜–˜£ •¨š˜—–Ÿ›•–Ÿ
‘
“
©
œÒӖ ĞŸ“ÅÖ¥ž——
›
›œ—• –˜
•š
š˜Ÿ
ž–
–
˜

•–˜
žš˜ž”˜š¥
–
•
ž
–
•
•
•£˜¥
•
”˜š
©
“
™
“
©
‘
“
œ“£ ¢£˜© •£ £˜•š•
œ
œ
œ
œ
› › ž –›£ £›žš˜ – ˜¡“› œ •–™ š Ÿ¦›“ £œ¢ ›š˜˜£© ¼–£›œ˜• ¥ – ©œ• £˜Ÿ ˜–
›
•Éœ ›¢• •£˜¥ ‘›¦˜ ™œ–˜ ¤žš¦œ—˜¦ ¤˜˜–
£˜•š•›˜£ £˜Ÿ ˜–›£ £›žš˜ – ˜¡› •– š Ÿ¦› £¢ ›š˜˜£ £ ž¡›˜– •£˜“ Ó£˜˜
Ÿ š˜ Ö
r
11
7
r.left 4
2
6
10
7,11
r.low
r.right
2,4
6,10
12
1
3
8
1
5
9
3,5
8,9
12
ɜŸ¢š˜ À «›˜š–•™ Ù ¡žš ™œ–˜Ë©•£˜“ £˜Ÿ ˜–›£ ӕ֕–“ —žšš˜£ž–“œ–Ÿ ©œ–•š¨ ›š˜˜ Ó©Ö¥•££¢ œ–Ÿ
Ã Æ Ü‘ ž–œ ˦žš‘ œÚž–›•™ “•£¦˜“ ™œ–˜£› “ž –ž› ˜«“œ£› œ– ›¦˜ š˜•™ ™™“•›•™œ£›š¢—›¢š˜ •–“ •š˜¦ Ÿœ”˜–™ ž–™¨
¡žš›¦ —ž–”˜–
˜–—˜ žš˜ž”˜š £˜Ÿ ˜– £ È •– È¥•£ ¤˜ •£ –˜ ¥•š˜ £ ž¤– ž– ¨ ¡žš
˜ šžž› ‘
ˆŒ‰ ˆ‹Œ!‘ ˜› ©˜ • ¦žšœÚž–›•™ §¢˜š¨ £˜Ÿ ˜–› ‘ ˜ ¤•–› ›ž –“ •™™ £˜Ÿ ˜–›£
œ–‘›˜š£˜—
œ
›
‘ Ù¦˜ £˜•š—¦ •™Ÿžšœ›¦ œ£ ©•£˜“ ž– ›¦˜ —ž •šœ£ž– ž¡ ¤œ›¦ £›žš˜“ £˜Ÿ ˜–›£
–Ÿ
Ù ¦ œ£ ©•£˜“ ž– ›¤ž ¡¢–—›œž–£ Å •–“ ȑ É¢–—›œž– Å œ£ ›ž ™ž—•›˜ ›¦˜
“˜˜˜£¦˜›Ë™£˜•š—
“˜˜˜£›ËšœŸ¦› ž£›Ö £˜Ÿ ˜–› œ–›˜š£˜—›˜“ ©¨ ›¦˜ §¢˜š¨ ¥ ¤œ›¦ š˜£˜—› ›ž œ›£
›
›
˜¡
ž£
Ó
› ž£œ›œ™ž– œ– Ä ¥ •–œ “ ›¦˜ –ž“˜ œ– Ĝ ¤¦™™˜š˜ ›¦˜ £˜Ÿ ˜–
› œ£ œ™ž—•›˜“‘ ɓ¢©–—›œž– œ È ›¦˜–
œ
¢›¦£ £˜£žš•Ÿ˜
›¦
¢
›
¢
›
›
›
›
›
›
¥ £›•š› –Ÿ ¡šž ˜
š˜£
ž¡
¡
–—
ž–
Å
ž
š˜
š
˜”˜
•
£˜Ÿ ˜–
£
–
Ä
–
˜š£˜—
˜
¨
“
™
“
“
‘
Ù
™
œ
œ
œ
œ
›
›
›
›
¦›
›
›
›
›
›¦
¢
¦
˜
˜˜˜£
˜¡
ž£
•–
˜˜˜£
š
Ÿ
ž£
£˜Ÿ ˜–
£
–
˜š£˜—
–Ÿ
˜
§
˜š¨
˜
•
Ÿžš
Ë
Ë
“ œ– ’˜–“œ« ’‘ Ù¦˜¨ •š˜ £œ œ™•š ›ž ›¦˜ ž–˜£ š˜£˜–›˜“ œ›¦– £¡žš
›
£›¦¢—¦œ ¡›¢–—›œ™ž–£ •š˜ š˜£˜–
˜
ÏÑ ¡žš
©™
“
™™
œ
œ
œ
œ
œ
›
›
›
›¦
›
˜ – ˜š–• ˜ žš¨ – ˜š£˜— ž– šž ˜ ¥ •– £• £¡¨ ˜ ¡ž ž¤ –Ÿ šž˜š ˜£À
œ–›•œ–£™ œ– • §¢˜¢˜ “ ›¦˜ š˜¡˜š˜–—˜£
››ž ›¦˜ –ž“›˜£œ ›¦› •› £›¦œž¢™“›¦©˜ ¢•–•Ë
É¢–—›œž–
™¨Ú˜“ ›ž –“Å›¦˜ •“˜˜˜£
œ
›
›
›
›¦
›
¦›
Ó ˜ ˜˜˜£
–™ ˜š£˜—™ –Ÿ ›¦˜ § ˜š¨©
˚›Ÿ›¤ž ž£–ž“Ö˜££˜Ÿ ˜–
‘ ¼› —•– ©˜ £¦ž¤–Ë ˜¡›¦ ž£
›
›
›
¦
£˜Ÿ ˜–
•
š˜¡˜š£
•
ž£
ž–
˜•—
Ä ¥ ‘ ˜š˜ ¨
•££¢šœ–Ÿ ›¦•› ›¦˜ •–£¤˜š œ£ ¡ž¢–“ œ– ÒәžŸ ÅÖ £›˜£‘ Ù¦˜ £•—˜ ¢›œ™œÚ•›˜”˜œž– œž¡£ ÒÓÊÖ
“˜›˜š œ–˜£ ›¦˜ “˜˜˜£›Ë‘™˜¡Ù› ž£› •–“ ›¦˜ “˜˜˜£
œ
œ
›
¦›
›
›
É¢–—›œž–
È
š
Ÿ
ž£
£˜Ÿ ˜–
£
–Ë
Ë
©
“
›˜š£˜—›œ–Ÿ ›¦˜ §¢˜š¨¥“ ¢£œ–Ÿ¡œ¢–—œ ›œž– Å ¦˜–¥‘ œ› ”œ£œ›©£ ›¦˜ £¢ “›š˜˜ šžž›˜ •››¦© ˜ —ž ž–
›¢ ¦žšž¡¢©››¦˜ –ž ˜£› —ž–
›• –›–Ÿ™ £¢›—¦ £˜Ÿ ˜–›£ ›¼› —•–œ ›˜ šž”˜›œ ›¦ •››¦
¢ ™ ˜š ž¡ –ž‘ “˜£
•–—˜£
˜
–
œ
œ
œ
œ
ž¡ £ — £ š˜˜¥ —ž– • – –Ÿ • ˜•£ ž–˜ £˜Ÿ ˜– –ž–Ë – ˜š£˜— –Ÿ ¥ £ – ÒÓ žŸ ÅÕÈÖ
a)
b)
7+- +,:+ +,- 9752+0/9+675 3/:0:5+--2 +,:+ -:9, 57=- 62 975+:65-= 65 ->:9+;1 75- ?;79 A
7+- +,:+ +,62 62 =6-0-5+ *074 +,- :@@07:9, /2/:;;1 /2-= 65 *70 @765+ =:+:?:2-2A )5 +,:+ 9:2-< +,974@:06275 62 @-0*704-= :3:652+ 0-3675 ?7/5=:06-2A /9, :5 :@@07:9, 62 57+ @7226?;- *70 ;65-?:2-= 2-34-5+2<
2659- 57 0-9+:53/;:0 0-3675 62 0-;:+-= +7 :51 2/?+0-- 7* A
ˆ ¸° ¸ º »¸° ¬­¸ º»¸ »¸ ¸­°» ¸° ¸ º ¯¸¹ »¸ ¸­° ¸° Ä ¸ ° ¸
®¹¬²¹¬° »¸º¹ °¹¸¸ ²¹ ²²­»°¹¯ ±°¸ º» º ² ¸ ¸­
¯­ °¬²­ Å ¹¸°¯¹­» ° ¸ ¸¸®¸»°± ¸ ° ²»°™ ³° ¸ ´µ¶
¸¸®¸»°±¹¬ ° ²»°· »¸ ¸­° ¬­ ¬­°¸¹±
»¸ °¸ º­ ° ¸ ­² ¸ ¬° ¸ ²­ » °² ¬­ ÒÓ žŸ ÅÖ »
¸° º­ ¸ ° ¸ ² » ¬­ Ä ²­°º¬­¬­ ° ¸ ¸¸®¸»°± ¸ ° ²»° º­ ¸¸®¸»°±¹¬ ° ²»°
»¸ ¸­°» ¬­°¸¹»¸ °¸ ™¹¸»®¸ °¬ ¸ Ö ´µ¶ »Ä »¸ ¸­°» ¬­ ¬­°¸¹»¸ °¸ º­ ¸ ²¯­
¹² Ä º­ ¬­ ÒÓ žŸ ÅÕ Ô
Ù¦˜ ¡ž™™ž¤œ–Ÿ š˜£¢™› £¢ •šœÚ˜£ ›¦˜ —ž£›£ ž¡ ›¦˜ šžž£˜“ “•›• £›š¢—›¢š˜‘
ˆ Á #¬­¸±º»¸% »¸'¸­°» &º­ ¸»°²¹¸% ¬­º »¸&²­%º¹ »°²¹º ¸®¹¬²¹¬° »¸º¹& °¹¸¸ º$¬­
° ¸¸¹¸ ²##Ȳ¬»¬­° ¸&­¯²»°»' ¸¹³¬· »°°²¹º¸%¸¸°¸&²&»°°¸%¬»¬­°¸¹»¸
ÒÓÅÖ&³¬¬°¬ ·­»²¹¬²­°º# »¸'¸­° ¯¸¹ &²»° ¬» ÒәžŸ Å ÕÈÖ
²
²
˜£œ›˜ ›¦˜ “œ˜š˜–—˜ œ– ›¦˜ §¢˜š¨ š˜£¢™›£ ©˜›¤˜˜– • Ë£œ“˜“ §¢˜š¨ ž– • žœ–› “•›•©•£˜ •–“
› “§¢˜š¨ ž–© • £˜Ÿ ˜–
› “•“›•©œ•£˜ Ó£˜˜ ɜŸ¢š˜ œÜÖ¥ •–¨œ ž¡ ›¦˜ •›¦Ë™—•—¦Ùœ–Ÿœ žš ˚•–Ÿ˜
•›š˜˜£˜Ÿ ˜–
™œ
“
›™
˜› ¡žš›œš˜ ¢— –Ÿœ™™›¦¢˜ £˜•š—¦ ›› ˜ ¢™ £–ŸÙ•– ˜«›˜š–•
– •£˜Ÿ ˜–
““•›•© ˜•£˜›¦‘žœ£–—˜—•–œ– ›¦˜ •
™
™
™
¦
›¦
›
ž– ™¤˜ž¥¤¤˜ —¦£˜žž£˜•– ˜«• ™œ˜š–•
ž– ˜•—
Ë ˜”˜
™¢›œž–˜”˜©•£˜ž¡ “ ž–˜ š£Ëš•–Ÿ˜
›ž ™“˜”˜
•› ›• £›šÛ¢Ñ—›¢› š˜ ©¤˜› œ•š˜˜Ÿž–˜«œ–Ÿ›œ £˜—
–˜•š
˜ žš¨
£ž
™˜«œ›¨ œ– ›¦˜ “•›• £›š¢—›¢š˜£ ¡žš £›žšœ–Ÿ ™œ–˜Ë©•£˜“
š˜˜£
ÏÊ
¥
ž
ž
•
–
•–
ž
•
£•—˜
—ž 
‘
›
£˜Ÿ ˜– £
Ù¦˜ •“ž›•›œž– ž¡ ›¦˜ ˚•–Ÿ˜ ›š˜˜ ›˜—¦Ñ‘–œ§¢˜ ›ž • £˜Ÿ ˜–› “•›•©•£˜ š˜§¢œš˜£ ž–™¨ ž–˜ “˜Ë
”œ¢•›¢œž– ¡šž “›¦˜ ›˜—¦™ –œ§¢˜ ““¢˜£—šœ©˜““œ–“ ÏÊÛ ›¦¼› £¢¢©£¢›œ›¢›˜£œ ›¦› ˜ ”˜š›œ‘—•Ù™ ¦™œ–˜ £˜•š•›žš œ¤œ›¦ ›¦˜
§§¢˜˜š¨˜ žœ–•–› •Ÿ•£˜”˜š•
˜ ›¡žšžš œ– •˜ ž§ œ˜–›˜“ ••›•©–•£˜˜–•–—˜
˜–¥˜“•¤—ž •š
£ž–
ž¡¿ ž¡•
©
œ“œ“–£› • šž—˜
œ
œ
œ
›œ œ—•™ š˜£™œ–˜–˜˜
¢
›
›¢›
›¦
›¦
¦
”˜š
£˜•š•
£
£
£
˜
—
˜—
Ë “¢šœ–Ÿ ›¦˜ £˜•š—¦ œ– • £˜Ÿ ˜–› “•›•©•£˜‘ œ–—˜ ›¦˜ “˜›˜—›œž–
›
›
›
¢
•ž¡› ž£
¤ž
—•–
•
˜£
–
§
˜š¨
™˜”˜™ –ž“˜ •–“ ›¦˜ §¢˜¢˜ •œ–›˜–•–—˜ œ– • £˜Ÿ ˜–› “•›•©•£˜ ›•¿˜£ ¾ÓÊÖ ›œ ˜ Ó£˜˜
›¦
›
˜
–˜«
Ë
©ž”˜Ö ›¦œ£ £¢©£›œ›¢›œž– “ž˜£ –ž› œ–¢˜–—˜ •–¨ šž˜š›œ˜£ ž¡ ›¦˜ ˚•–Ÿ˜ ›š˜˜ ›˜—¦–œ§¢˜‘ Ù¦œ£
•šž”˜£
›¦˜ ¡ž™™ž¤œ–Ÿ ™˜ •‘
ˆ Á #¬­¸±º»¸% »¸'¸­°» &º­ ¸ »°²¹¸% ¬­ º »¸&²­%º¹ »°²¹º ¸ %º°º »°¹¯&°¯¹¸ º$¬­
° ¸ ²##²¬­ µ¶&²»°»
³¬·· »°²¹º¸ &²»° ¬» ÒÓÅÖ ³¬¬· ²¹¬²­°º# »¸
'¸­° ¯¸¹ &²»° ¬» ÒәžŸÔÅ Õ
ÓÃÖÕÈÖ ´
» ³¬¬¬ ¯®%º°¸ º'²¹°¬¸% &²»° ¬» ÒәžŸÔÅ Õ Ô Ö
€ €‚ ‚ €
™
œ™ –˜œ •™™ © ªÙ“ £˜Ÿ ˜–›™£ œ–›™ ˜š£˜—
œ
œ
›
›
›¥ ¤˜Üšžž£˜
›¤ž“ ™ £˜—Ë™
¼–ž–“žš•š¨“˜š£››žš•Ÿ˜
ž “˜›˜š –Ÿ
•
”˜š
—•
£˜Ÿ ˜–
“
“
“
©
‘
¢›
›
›
›
¢
ݢ
›
£ž
ž–£¥
•£˜
ž–
¤ž
˜”˜
•
•
£
š
—
š˜£
Ó
˜–ž
˜
¨
Ö
˜—ž–
˜”˜
Ë
“•›• £™™›š¢—›¢š˜£ •š˜ ©•£˜““ ž– ›¦˜žšŸ•–œÚ˕›œž–“¡žš“ ™œ–˜Ë©•£˜“ £˜Ÿ ˜–›£ š˜£˜–
“
œ
œ
ܑ
›
›
ž– ›˜¼–“
“ ž–˜˜ ¤œ™™– ©˜—˜ š˜£˜–
œ
›¦œ ˜¡ž œž¤œ–Ÿ¥
›
¢
›¦
›
›
›
¢
ݢ
›¦
¤˜
–
šž
—˜
˜
š£
šžž£˜
•
•
£
š
—
š˜
Ó
˜
£˜—ž–
– ˜—› ž– ֑
Œ !!" ˆ!ˆ !ŒŽ‰!ŽŒ‘ Ù¦˜ ©•£œ— œ“˜• ž¡ ›¦˜ 𣛠£ž™¢›œž– œ£ ›ž —ž–£œ“˜š • ©œ–•š¨ ›š˜˜ •£
š£›Ë™˜”˜™ £›š¢—›¢š˜ ‘ œ›¦ ˜•—¦ –ž“˜ ž¡ ›¦˜ ›š˜˜¥ ¤˜ •££ž—œ•›˜ • ™œ–˜ Ó Ö Ó£›•–“œ–Ÿ ¡žš º»¸
#¬­¸ž¡ Ö •–“ ›¦˜ £˜› ž¡ £˜Ÿ ˜–›£ œ–›˜š£˜—›˜“ ©¨ ›¦˜ ™œ–˜ ‘
žš˜¡žš •™™¨¥ ™˜› Á ©˜ • £˜› ž¡ ªÙ £˜Ÿ ˜–›£‘ ˜ žš“˜š ›¦˜ £˜› ž¡ ˜–“žœ–›£ —žšš˜£ž–“œ–Ÿ
›ž £¢—¦ £˜Ÿ ˜–›£ œ– •£—˜–“œ–Ÿ žš“˜š •——žš“œ–Ÿ ›ž ›¦˜œš ˔•™¢˜£‘ Ù¦˜–¥ ¤˜ “˜›˜š œ–˜ • ”˜š›œ—•™
# % ' ' &
&
& % $ %
%
&
'
'
# '
%
%
%
& # %%
% &
# &
%
'
# '
%
%
'
& & $ # ## '
& & %
' % ™œ–˜ •š›œ›œž–œ–Ÿ £¢—¦ žš“˜š˜“ £˜› œ– ›¤ž £¢©£˜›£ ž¡ ˜§¢•™ —•š“œ–•™œ›¨ •–“ ¤˜ •££ž—œ•›˜ £¢—¦
œ ™ ™œ–˜ ¤œ›¦ ›¦˜ ©•£˜™™ ™œ–˜ Ó Ö ž¡ ›¦˜ šžž›‘ ’™™ ™£˜Ÿ ˜–›£ œ–›˜š£˜—›œ–Ÿ““
Ó Ö •š˜ •££ž—œ•›˜“
”˜š
œ¤ ›¦› —•›¦˜ šžž
œ
œ
›
¦
›
¦
¦
›¦
›
¦›
¤
˜š˜•£
•
£˜Ÿ ˜–
£
¤
—
•š˜
ž–
˜
˜¡
Ӛ
Ÿ
Ö
ž¡
Ó Ö •– ž –ž› œ–›˜š£˜—› œ› ¥
›£ •££˜œ“œ ›ž
•š˜ •££˜¢“©››ž ›¦œ˜ ™˜¡›› ӚœŸ›¦›¦Ö ™£¢›¦©›š˜˜¢ž¡ ©›¦˜ šžž›‘ ž››˜ ›¦›•› ›¦“ ˜œ –›¦¢ ©˜š ž¡›‘ £˜Ÿ ˜–
Ù
“
¦
› ž–™
•–¨¢ ž¡œ £ ™ š˜˜£›œ £¢• ž£
•
¡
˜
–
˜š
ž¡
£˜Ÿ ˜–
£
£
žš˜
–
˜
šžž
˜
˜—ž ž£
™
“
“
™
Ϫ
œ
œ
œ
›£ •– œ ›£ •£ “• ¤¦ž ˜ œ – –›˜š–•“
š˜— š£ ”˜‘ ¨Ù¦—ž– – ›˜£¢ ¢›–œ › ˜•—©¦ ˜•¡™œ –ž ˜¢ —ž–››• –£›¦Ã ›£˜Ÿ ˜–
›¦
› ™ ›˜ ‘
˜ žš¨
˜
—ž–£
š
—
ž–
ž¡
•£˜
–˜£
Ÿ
•š•–
˜˜£
•
˜
£˜Ÿ ˜–
©¨ Ó Ö ©¢› •š˜ –ž› œ–›˜š£˜—›˜“ ©¨ ›¦˜ ©•£˜ ™œ–˜ ž¡ ›¦˜ •š˜–› ž¡ ‘›Ù£ ¦–˜ •–ž
›š˜˜ ¦˜˜œŸ•š˜
¦› œ£–ÒӘš£˜—
žŸ ÅÖ


‘
©
œ
œ
œ
!
!
!
!
¢
›¦
›
¢
›
¦
›
‰ " ˆ ˆ ŒŽ‰ ŽŒ ͘—• £˜ ž¡ ˜ • ž”˜ —ž–£ š — ž–¥˜•— £˜Ÿ ˜– – •– –›˜š–•™
›£¦œ›‘ Ù¢¦œ ˜ £˜Ÿ ˜–
›£ ¤¢¦œ—©¦ ™œ˜ ž–› ›¦˜ ©•£˜©™ ™œ¿–˜ •š˜“ £›žš˜“ œ–
–ž“˜ ˜œ›¦˜š› ™œ˜£™ ž–œ › Ó ™Öžš› œ–›˜š£˜—
Ñ
™œ
œ
¦
Ó Ö¥•– ˜« ˜š–• – ˜š”• š˜˜ Ï ¤ — š˜§ š˜£ • –˜•š – ˜š ž¡ £ žš•Ÿ˜ ž— £ •– ˜š¡žš £
• §¢˜š¨ œ– ÒәžŸÔÅ ÕÈÖ ¼½¾£‘
£˜Ÿ ˜–› ¤¦œ—¦ œ£ œ–›˜š£˜—›˜“ ©¨ Ó Ö ¦•£ ™˜¡› •–“ šœŸ¦› •𛣑 ˜¡› •–“ šœŸ¦› •𛣠ž¡
™™• ›¦•—˜ ¦£˜Ÿ ˜–
›£ •š˜© —ž“™™˜—›˜“ œ–›ž ›¤ž“ £˜›£¥© —•Ì™™˜“œ ә Ö •–œ“ œÓ Ö¥“ š˜£˜—
›œ”˜“™¨‘ •—¦ ž¡ ›¦œ˜£˜
™œ
œ
œ
›£ •– —•– ˜ ˜ — ˜–› ¨ • –›• –˜ – £˜—ž– •š¨ £›žš•Ÿ˜ ¢£ –Ÿ
–˜Ë •£˜“ œ£˜Ÿ ˜–
˜—›œž– ܑ ٞ›•™™¨¥ ˜•—¦ £˜Ÿ ˜–› œ£ š˜š˜£˜–›˜“ •› ž£› ›¤œ—˜ œ–£œ“˜
›¦£˜›˜£ ›—ž–
¦›–™•œ§–£¢™˜“šžž£˜
˜—
–
›¦˜ ›¤ž‘Ë ˜”˜ •›• £›š¢—›¢š˜‘ Ù¦˜š˜¡žš˜¥ ›¦˜ ›š˜˜ £›žš˜£ Á £˜Ÿ ˜–›£ œ– ÒÓÅÖ ©™ž—¿£ œ– £˜—ž–“•š¨
£›žš•Ÿ˜
ɜŸ¢š˜ Ó©Ö œ™™¢£›š•›˜£ ›¦˜ žšŸ•–œÚ•›œž– •–“ —ž–›˜–› ž¡ ›¦˜ šžž£˜“ Ü¥ ¡žš ›¦˜ £˜› ž¡
£˜Ÿ ˜–›£ š˜£˜–›˜“ œ– ɜŸ¢š˜ ӕ֑
2
1
3
4
5
7
6
a)
bl(r)
PST for R(r)
2
PST for L(r)
Root r
5
2
base line
bl(r)
5
left son right son
C(r)
L(r)
R(r)
6
IT for C(r)
leaf node for
leaf node for
1
3
4
7
ɜŸ¢š˜ À Ó•Ö ’ £˜› ž¡ Ð ªÙ £˜Ÿ ˜–›£Â ©Ö Ù¦˜ —žšš˜£ž–“œ–Ÿ “•›• £›š¢—›¢š˜ ÓÃ Æ Ü¥ Ù
£›•–“£ ¡žš šœžšœ›¨ £˜•š—¦ ›š˜˜¥¼Ù £›•–“£ ¡žš œ–›˜š”•™ ›š˜˜Ö‘
ˆŒ‰ ˆ‹Œ!‘ œ”˜– • §¢˜š¨ £˜Ÿ ˜–› ž¡ ›¦˜ ¡žš Æ ¥ ›¦˜ £˜•š—¦ œ£
“ ž– ›¦˜ š£›Ë™˜”˜™ ›š˜˜ •£ ¡ž™™ž¤£‘ ˜ £—•– ›¦˜ ›š˜˜ •–“ ”œ£œ› ˜«•—›™¨ ž–˜ –ž“˜ ¡žš
˜š¡žš ˜
™
™‘
“
𣛠”˜šœ¡¨ œ¡ ˜§¢•™£ ›¦˜ ˗žžš“œ–•›˜ ž¡ ›¦˜ ”˜š›œ—•™ ™œ–˜
¦
¦
˜•—
˜”˜
¼–
˜•—
–ž
˜
¥
¤˜
‘ ¢¦
›£ œœ– ™ Ó Ö¥ Ó Ö •–“ Ó Ö “œœ–›˜š£˜—›˜“ ©¨ •š˜ œš˜œ ›šœ˜”˜™ “ •–“
•™™ œ£˜Ÿ ˜–
œ
›¦
Ә Ö£˜•š—¼– ¦£ £—›ž£• ‘—•£˜¥
›¦
¾ ˜š¤ £˜¥ ¡ £ ž¤˜š ›¦•– ›¦˜ ˗žžš –•›˜ ž¡ Ó Ö¥ ¤˜ ” £ › ž– ¨ Ó Ö
Ð
b)
•–““ ž”˜ ››ž ›¦›¦˜ ™œ˜¡¦›› £ž– ž¡‘ Ù¦‘ ¼¡ ¦œ£ Ÿš˜•™™›˜š ›¦•– ››¦˜ ˜—žžšœ““œ–•›˜ ž¡“
œÓ ›Ö¥ ¤˜ ›”œ“£œ›© ›¦Ó Ö
•–¢ ž”˜¢œž ˜ š™ Ÿ £ž– ˜ £˜•š— ¡žš›œ •‘ £˜Ÿ ˜–
£ ¦Ä œ –£¦› ˜ ›¦ž–˜ –ž› ˜™ – ™˜š£˜—
˜ › ¢¨›¢ ˜
“
œ
›¦
›
š˜§ š˜£ “ÒÓ žŸÔÅ
Õ › ÓÃÖÕ
–—˜ ›¦˜ ˜ Ÿ ž¡ ™ ˜ œ›š£ Ë ˜”˜›¦ › •› •™ £ š — ¦ š˜œ
ԛ֘“ ˜ž–™¨ ž–—˜¥
™
œ§£ ÒӘš¨
œ
¦
žŸ
ÅÖ
•–
˜•—
£˜Ÿ ˜–
£
š˜žš
˜
¼½¾
—ž 
˜«
¨
ž¡
˜
ž
•
£˜•š—
£
™
™
‘
ÒÓ žŸ ÅÓ žŸÔÅ Õ ÓÃÖÖÕÈÖ
ˆ! ‘ ¼¡ ¢“•›˜£ •š˜ •™™ž¤˜“¥ ›¦˜ ©œ–•š¨ ›š˜˜ £¦ž¢™“ ©˜ š˜™•—˜“ ©¨ • “¨–• œ— £˜•š—¦Ë›š˜˜¥
‘ ٞ •œ–›•œ– œ–£˜š›œž–£ •–“ “˜™˜›œž–£ ž¡
¡žš™œ ¤©¦œ—¦“ ˜Ì—œ˜–›› š˜œ©•™›¦•–—œ“–Ÿ› ˜››¦¢ž›¢“£ •š˜“ ¿–ž¤–
›¦™ ˜ ©œ“–•š¨ ›š˜˜ ¤œ›¦ ѕ
–˜Ë •£˜Ñ › £˜Ÿ ˜–
£ – ˜ • • £ š ܑ— š˜ ›˜£—šœ©© ˜™“ •©ž”˜¥™¢¤˜ œš˜œ ™•—˜
Ñ
›
ÃÃÏ
Ë š˜˜ Ï ¥ Ê ¥ Ê ÊÇ ˜ £ žš˜ • •–—˜ ”• ˜£ – – ˜š–• –ž ˜£ ž¡ ›¦˜ ÃÃÏ Ë
œ–Ÿ ÒӜ™žŸ ÅÖ £œ–Ÿ™˜ žš “ž¢©™“˜
›š˜˜ •–œ “ •“ œ–œ ›•œ– ›¦˜ ž“ ›œ •‘ ٙ ÒәžŸ“ÅÖ ¦˜œŸ¦› ž¡ ›¦œ ˜ ›š˜˜ ˜š¡žš ™
›
›
¢
¢
›
¦
¢
›
›
›
šž • ž–£ š –Ÿ •–  • ˜ ˜  • ˜ —ž£ —ž–£ £ £ ž¡ ÒÓ žŸ ÅÖ ž˜š•› ž–£ ¡žš ›¦˜ £˜•š—¦ •–
©•™•–—˜ •œ–›˜–•–—˜ œ– ›¦˜ š£›Ë™˜”˜™ ›š˜˜ •–“ ÒәžŸÔÅ Õ Ô Ö ž˜š•›œž–£ ¡žš ¢“•›œ–Ÿ ›¦˜
£˜—ž–™ “Ë™˜”˜™ “™™•›• £›™š¢—™›¢¢ š˜£‘ Ù¦˜š˜¡žš˜¥ ›¦›˜™ ›ž›•™ ¢“•›˜Ü—ž£Ô ›‘ œ£ ÒәžŸ Å Õ Ô
֑ Ù¦˜ —ž£› œ£
ÒÓ žŸ ÅÖ ¡žš • š˜• ”• ˜£ ž¡ Å Ó žš˜ ˜«•— ¨¥ ¡žš Å ÒÓ ÖÖ
Ù¦˜ š˜£¢™›£ £›•›˜“ ©¨ ›¦˜ –˜«› ›¦˜žš˜ ¡ž™™ž¤ ¡šž ›¦˜ š˜”œž¢£ “œ£—¢££œž–‘
Œ Á »¸'¸­°» &º­ ¸ »°²¹¸% ¬­ º »¸&²­%º¹ »°²¹º ¸ %º°º »°¹¯&°¯¹¸ º$¬­ ° ¸
²##²¬­ &²»°» ³¬· »°²¹º ¸ &²»° ¬» ÒÓÅÖ ³¬¬· ¯¸¹ °¬'¸ ¬» ÒәžŸ ÅәžŸÔÅ Õ ÓÃÖÖÕÈÖ
³¬¬¬· ¯®%º°¸ °¬'¸ ¬» ÒәžŸ Å Õ Ô
Ö
 †
‚ƒ ‚„€†‚ €‚ „ €
œž¢£ £˜—›œž–¥ • £˜—ž–“•š¨ £›žš•Ÿ˜
›¦“ ˜ —ž ™ ™œ˜«œ›¨ š˜£©©œ¢™›£ ž©›•œœ–˜“Ñœ–œ ›¦˜ š˜”
žš“˜š™ ››ž œ šž”˜
“
“
š£›Ë™˜”˜™ “•›•£›š¢—›¢š˜¥ œ–£›˜•“
œ¼––›˜š”•
œ
›
¢
¢
š˜˜¥
˜£
Ÿ–˜
¡žš
£ž
”
–Ÿ
£
•
–Ÿ
§
˜š
˜£
Ï
¥
£
£˜
•£
“œ–Ÿ ›˜—¦–œ§¢˜
ž¡Ñ›¦œ˜ ©œ–•š¨ ››¦š˜˜‘ Ù¦›œ£ ž¢™ “œ›—•›œ™ž–¥ ›žŸ˜œ ›¦›¦˜š¤œ›¦ ›¦™ ˜ œ¢› £˜ ž¡ ¢›¦™›˜ ¡š•—›œž–•› ™“—•£—•
Ù
œ
¦˜žš˜ Ê¥ ©¢›
Ï¢£œ¥–Ÿ šž”˜£
˜
¤•£
˜¡
¡•—
žš
žŸ
Å
–
˜
—ž 
˜«
¨
š˜£
£
š˜£˜–
˜
–
™
‘
ÒÓÅ žŸÃÖ £•—˜
Ù¦Ñ ˜ ¬­°¸¹$º# °¹¸¸ œ£•£›•–“•𓓍–• œ— “•›•£›š¢—›¢š˜¡žš £›žšœ–Ÿ •£˜› ž¡ Ê˓œ ˜–£œž–•™ £˜Ÿ ˜–›£
“ ›ž £¢Ñ‘žš
œ–›˜š”•™ ›š˜˜
œ£ ©œ•£˜“ ž– • ¯ ¸¹“
› ›£›•©©œœ –Ÿ© ™§¢˜šœ“˜£‘ Ù¦›¦˜ ˜«›˜š–•™Ë› ˜ žš¨
Ï ¥ ››•œ™žš˜
Ù
“
©
œ
œ
¦
¢
¦
›
¦
¦
›
°¹¸¸¢œ˜— – § ˜©™ÏÊ ¿ ˜ š˜˜› £ •‘ •–—˜ ž”˜š
˜
£˜Ÿ ˜–
˜–
ž
–
£¥
•£
•
š•–—
–Ÿ¡•—
žšœ›¦¥•–›¦
“œ
“
“
œ
›
›
›
¢
ݢ
›
š˜§
š˜
ÒÓÅÖ
ž—
£
¡žš
£
žš•Ÿ˜
˜Ÿ ˜–
£
•š˜
£
žš˜
–
£˜—ž–
•š¨
£
š
—
š˜£
•££ž—
•
˜
¤ ™ ›š˜˜˜
œ–›“˜š–•™ –ž™ “˜£ ž¡ ›¦˜™ ›š˜˜‘ ’‘£Ù𣛠™˜”˜™ “•›• £›š¢—›¢™š˜¥¤˜™ ¢£˜ •– ˜«›˜š–•™ ™Ë ˜ žš¨ ™œ–›˜š”•
›ž ÃǛœ›œ ¦›¦˜ ¦˜“œŸ›¦›œž¡››¦˜ š£›Ë™ ˜”˜© £›š¢—›¢› š˜“ ©œ£ÒÓ žŸ›œ Å֙ ™œÆÒÓ žŸÔÅ֑ ّ ¦˜
•–𣛠¤˜™˜”˜£˜™ ž¡˜—››¦˜˜§›š˜˜¢• •š
ž–£ › ˜“ • •“ – ¦ž “ ÕÊ
£‘• £ ›¦£˜•š• ˜ ™ ¨ ”˜šœ —•¢ ™–˜£› !‘ ¢™›!œ ™ ©¼–
ɜŸ¢“š˜¥ “£¢—¦ ™œ–˜£ •š˜ š˜š˜£˜–
™œ
˜ £™•£•©£ •££¢—¦˜ •£¥¡žš
–˜£ ˜«• 
¼– ˜™˜¥˜«• 
˜¥ £ ˜§ • ž
£• £
œ
ё Ù¦˜š˜ •š˜ ÒÓ Ö ¢™›œ £™ •©£
›
¢
¢
•š˜
˜
–˜
•£
—ž–
Ÿ
ž
£
š•–Ÿ˜£ž¡
ÏÊ
À
“•£¦˜“
œ™œ– ˜•—¦ ‘œ–›˜š–•™ –ž“˜‘ ˜Ÿ ˜–›£ £›žš˜™œ“œ– ›¦˜ šžž› •š˜“ ›¦ž£˜ ¤¦œ—¦™ œ–›˜š£˜—
› ž–˜ žš žš˜
™
œ
›
›¦
›
›
›
›
›¦
›
›
–˜£
!" ˜Ÿ ˜– £ • – ˜š£˜— –ž –˜ •š˜ •££˜ ž ˜ –˜« ˜”˜ Ó£˜Ÿ ˜– £ ¥ •–“ Ð œ–
ɜŸ¢š˜ ֑ ’™™ £˜Ÿ ˜–›£ ©˜›¤˜˜– ™œ–˜£ !"# •–“ !" •š˜ •££˜“ ›ž ›¦˜ –ž“˜ —žšš˜£ž–“œ–Ÿ ›ž ›¦˜
˛¦ £™•©‘ Ù¦˜ “˜—ž ž£œ›œž– —ž–›œ–¢˜£ ¢–›œ™ ˜•—¦ ™˜•¡ š˜š˜£˜–›£ à £˜Ÿ ˜–›£‘
2
1
3
4
5
7
6
ɜŸ¢š˜ À •š›œ›œž– ž¡ ›¦˜ £˜Ÿ ˜–›£ ©¨ ™œ–˜£ !" ‘
s1
s2
s3
s4
s5
™ –ž“˜ ž¡ ›¦˜ š£›Ë™˜”˜™ ›š˜˜¥ ¤˜ £™œ› •™™ £˜Ÿ ˜–›£ ¤¦œ—¦ “ž –ž› ™œ˜ ž– “•£¦˜“
™œ¼––˜£˜•—!¦" œ–œ–››ž˜š–•
#²­ •–“ » ²¹°¡š•Ÿ ˜–›£‘ ’ ™ž–Ÿ ¡š•Ÿ ˜–› £•–£ ž–˜ žš žš˜ £™•©£ •–“ ¦•£ ©ž›¦ œ›£
“
™
™
©
“
™
“
œ
œ
›
›
¦
˜– ›¦ž –“›£ ž–¦ ““™œ•£¦˜‘“™œ–˜£‘ ’› £¦žš› ¡š•Ÿ ˜–
£•–£
–ž
—ž 
˜
˜
£
•
•–
•£
ž–
¨
ž–˜
˜–
ž
–›
™œ
™™
ɜ
֑ ¼¡ • £˜Ÿ ˜–› —ž ™˜›˜™¨ £•–£
›
¢
ž– ˜ •£ ˜ ™ ©–˜ ˜Ÿ ˜–
£
•š˜
£
•£
¡ž
ž¤£
Ó£˜˜
Ÿ
š˜
™œ› œ› œ–›ž ž–˜ ™ž–Ÿ ӗ˜–›š•™Ö¡š•Ÿ ˜–› •–“ •› ž£› ›¤ž £¦žš› ¡š•Ÿ ˜–›£‘
ž–˜
žš˜ £ • £¥¤˜
£
Ù¦˜ žš™ž–Ÿ¡š•Ÿ ˜–
©
“©¨ £™œ››œ–Ÿ ›¦˜ £˜Ÿ ˜–› ž– ›¦˜ ©ž¢–“•šœ˜£ ž¡ ›¦˜ ™•šŸ˜£› ¢™›œ£™•©
œ
œ
›
›
£ž
•
–˜
““œ œ ™
“‘
œ› £•–£‘ “’¡›˜š ›¦œ£ £™œ››œ™–Ÿ¥ •› ž£
›
™•©¥ œ› ›œ££ •š˜£œ Ÿ˜–˜š•
™¨ £™œ›˜› œ–›¼¡ž •›¤ž£˜Ÿ ˜–
œ– ›¦˜ –ž ‘˜ œ–›˜š£˜—™ ›£ ž– ¨ ž–˜ “•£¦›˜›“¤ž™œ–˜• •–›““ž–•£•–££¦žš–ž› ££˜Ÿ ˜–
¦
›
£
žš
›£ ¼– ›“ž›Ü• ¥ œ¡ £˜Ÿ ˜–›£ •š˜‘ •££ž—œ•›˜ ¤œ›¦ • –ž“˜¥ ›¦˜ £™œ››œ–Ÿ šž—˜££ Ÿ˜–˜š•›˜£ •›
¡š•Ÿ ˜–
™
›
ž£ ž–Ÿ •– £¦žš› ¡š•Ÿ ˜–›£
4
2
1
4
2
3
1
1
3
2
1
2
4
3
6
4
6
5
5
6
5
5
6
ɜ À Ù¦˜ £™œ››œ–Ÿ ž¡ £˜Ÿ ˜–›£‘ •Ö ˜Ÿ ˜–›£ •££ž—œ•›˜“ ¤œ›¦ • –ž“˜Â ©Ö £¦žš› ¡š•Ÿ ˜–›£Â—Ö
™ž–ŸŸ¢š˜¡š•Ÿ ˜–
›£ ‘
’
©
™
“
“
™œ
œ
›
¦
£
˜¡žš˜¥£˜Ÿ ˜–
£
¨
–Ÿ
ž–
•
•£
˜
–˜
!" •š˜ £›žš˜“œ– •– ˜«›˜š–•™ œ–›˜š”•™ ›š˜˜ " ‘ ¦žš›
•“ ™ž–Ÿ ¡š•Ÿ ˜–›£ •š˜ £›žš˜“ •£ ¡ž™™ž¤£‘
!
›£•š˜
!› ‘¦’™™› £¦žš› ¡š•Ÿ ˜–
–•›¢š•“™™¨ œ—™›¢£›˜š˜™œ“ •——žš“œ–Ÿ™œ ›ž ©›¦˜ ““•£¦˜“™œ–˜› ›¦˜¨“
œ
›ž¢Œ—©¦‘ Œˆ‹žœ›˜
›¦
›
¦
ž–˜ ¦˜–›š˜˜ž •£– “ž–˜£—šœ©–˜˜“!"œ–•š˜˜—›–˜œž–Ë •£˜
£˜Ÿ ˜– £ •–
¦žš› ™œ–˜Ë©•£˜“
ܑ
—•– ˜ •› –›¦•œœ–˜¦• “£œ–žš™•– ¡š•Ÿ ˜–
˜«› ›“˜š–•™›¦£šœ™žš•”œ››–Ÿ¨ £˜•š—
¡š•Ÿ ˜–
£
¤
—
•š˜
ž—•
˜
ž–
˜
˜¡
ž¡
!" •š˜ £›žš˜“ œ– •– ˜«›˜š–•™ Ù " ‘ ¨ ˜›šœ—•™™¨¥
œ
œ“
›
›¦
¦›
£–ž¦žš“˜› ž¡¡š•Ÿ ˜–
£
ž–
˜
š
Ÿ
£
˜
ž¡
!" •š˜ £›žš˜“ œ– •– ˜«›˜š–•™ Ù " ‘ ٞ›•™™¨¥ •– œ–›˜š–•™
›¦˜ š£›Ë™˜”˜™ £›š¢—›¢š˜ —ž–›•œ–£ Ü ˜«›˜š–•™ Ù£ ¡žš £¦žš› ¡š•Ÿ ˜–›£‘
›£ œ– •– •““œ›œž–•‘ ™ £œ›š¢—›¢© š˜™ ¤“¦©œœ—¦ œ£ ˜££˜–›œ•œ™™¨
‹ Œˆ‹› ›! ‘ Ñ ˜© £›žš˜“ •™™ “™ž–Ÿ¦ “£˜Ÿ ˜–
™œ
• £˜Ÿ ˜–
•£ ˜‘ Ù¦¢–˜££¥ œ!–" ¥›ž›Æ•™ ʜ› ¦•£ ÒÓÃÖ
£ • • •–—˜ –•š¨ ›š˜˜ ¤ ›¦
Ü œ–›˜š–•š˜˜™ –žÏÊ¥“˜£ •–“•£˜ ž–Ê ™˜•”˜£
–ž“˜£‘
•—¦ ™˜•¡ ž¡ ›¦˜ £˜Ÿ ˜–› ›š˜˜ —žšš˜£ž–“£ ›ž • £œ–Ÿ™˜ £™•© •–“ ˜•—¦ œ–›˜š–•™ –ž“˜ œ£
œ•›˜©“ ¤œ›¦ ›¦‘˜ Ù ¢™›œ£™•© Ó Öœ ¡žš ˜“œ ©¨“›¦˜œ ¢–œž– ž¡ ™›¦œ ˜™ £©™•©£ •££ž—
œœ•›˜“ ¤™œ›¦ ›¦˜ ™˜•”˜£
•££ž—
ё
ž¡ ›¦¦œ˜ ¦£¢ ›š˜˜ ž¡ ™¦˜©šžž›¦› ž¡ £ •££ž— •›%˜ ¤ ›¦ ›¦˜›¦ ¢ › “£ • ÏÊ À ¢ ”˜–
• ›ž–Ÿ ¡š•Ÿ ˜–›
¦
›¦
•–¨ £ • £¥ ˜ º##²&º°¬²­ ­² ¸»ž¡ •š˜ ˜ –ž ˜£ " ž¡ £ — • £•–£ Ó "Ö
©
¢›¤ –ž— › £•–£
Ó Ó " ÖÖ¥¤¦˜š˜ Ó Ö œ £ ›¦˜ •š˜–› ž¡ œ– ‘ Ù¦˜š˜ •š˜ •› ž£› ›¤ž •™™ž—•›œž– –ž “˜£
Û
s1
s2
s3
a)
s1
s2
s3
b)
s1
s2
s3
c)
ž¡™™ •››œ •–¨ ™˜”˜“ ™ ž¡Ñ‘¥ £ž ›¦•›¥ £œ–—˜ ›¦˜ ¦˜œŸ¦› ž¡ ›¦˜ £˜Ÿ ˜–› ›š˜˜ œ£ ™žŸÃ¥ ¦•£ ÒәžŸÃÖ
• ž—• ž– –ž ˜£ Ï
•—¦ œ–›˜š–•™ –ž“˜ ž¡ œ£ •££ž—œ•›˜“ ¤œ›¦ • ¢™›œ£™•© Ï À Ñ •–“ œ£ •££ž—œ•›˜“ ¤œ›¦ ›¦˜
“
œ–Ÿ •£ •™™ž—•›œž– –ž“˜¥ —¢› ž–
›
¦
žš›¦ ˜š˜© “¢ ™œ“£› œÓ—•™™˜“ '¯‘#°¬»’ #º #›¬»° Ï œ À ÑÖ œž¡› ™ž–Ÿ
¡š•Ÿ ˜–
£
•”
˜ ž – •š ˜£ ž¡ Ó Ö ÍÎË š˜˜ £ • – •œ–˜“ ž– ›¦˜ ™œ£› ¡žš ¡•£› š˜›šœ˜”•™ •–“ ¢“•›˜‘
œ–—˜ ›¦˜ £˜Ÿ ˜–› ›š˜˜ —ž–›•œ–£ ÒÓÃÖ –ž“˜£¥ ˜•—¦ —ž–›•œ–œ–Ÿ • žœ–›˜š ›ž • Í⚘˜ œ–
““œ
©™ž—¿£‘ ¼– ›ž›•™ ¥ ˜•—¦ £˜Ÿ ˜–›
• ›œ©ž– ››ž £›“•–œ“•š“› –ž“˜› œ›¦–¡žš •››œž–¥ œ™› —•– ©˜ £›žš˜› ¢“›¢œ– ÒÓÊÖ
› £•–£
›¦œ ˜
•¨¢™›œ ™˜ ©£ žš˜ Ñ –›¦• ž£ › š˜˜
˜« ˜š–•
˜ žš¨
£›¢š — š˜£‘ Ù¦•“› œœ›£¥¦œ¡ • £˜Ÿ ˜–
Ë
“
“
™
™™
œ
œ
›
›
›
¢
›
“ £ • ϑ Àœ ¥ ˜ £˜Ÿ ˜– £œ £› žš˜ ™ – “• • £›¦š — š˜£
¥
•– •£ ÒÓ¢žŸ¦ÃÖ • ›ž—•› ž–
–ž™™ ˜£ ž¡ ›–—˜ ›Æ¢ÃǛ¢ ¥•– – ˜š–•› ¢ –ž›¢ ˜ ž¡ ˜ ›š£¢›Ë™›¢˜”˜"™ £›š¢—›¢“š˜ ¦•£˜–ž
Ÿ šžž ž £ žš˜
•› › š˜¡˜š˜–—˜£
ž
£ š — š˜£ " ¥ £ š — š˜£ " ¥ £ š — š˜£ " •– ž–˜ £›š¢—›¢š˜ ‘ Ù¦¢£¥ œ–
ž •™ ¥ ›¦˜ £•—˜ ¢›œ™œÚ•›œž– œ£ ÒÓÅ ™žŸÃ֑
ˆŒ‰ ˆ‹Œ!‘ œ”˜– • §¢˜š¨ £˜Ÿ ˜–› Æ ¥ • ™žž¿¢ œ£ ˜š¡žš ˜“ ž– ›¦˜
š£›Ë™˜”˜™ ›š˜˜ ¡šž ›¦˜ šžž› ¥ £˜•š—¦œ–Ÿ ¡žš • ™˜•¡ —ž–›•œ–œ–Ÿ ‘ ɞš ˜•—¦ –ž“˜¥ œ¡ ˜§¢•™£ ›¦˜
˗žžš“œ–•›˜ ž¡ •–¨ !" ¥ ›¦˜ œ–›˜š”•™ ›š˜˜ " œ£ £˜•š—¦˜“ ›žŸ˜›¦˜š ¤œ›¦ ›¦˜ £˜—ž–“Ë™˜”˜™ £›š¢—›¢š˜£
" •–“ ‘ " ›ž š˜›šœ˜”˜ ›¦˜ £˜Ÿ ˜–›£ ™™¨œ©–Ÿ ž– !" •–“ £¦žš› ¡š•Ÿ ˜–›£ œ–›˜š£˜—›˜“¿©¨ ›¦˜ “§™¢˜š¨™
› ›¦ œ œ ¦œ› ›¦
›¦ › œ
›¦ ¦
£˜Ÿ ˜–
›£ 𢗛¢š˜£ ¾ " •–˜š¤“ £˜¥"Ρ‘ £ ˜ £ • ¥ • £ !" !"Î ¥ ˜– ¤˜ — ˜— £˜—ž– Ë ˜”˜
¦™ •”˜ ›ž —¦“˜—¿ •œ™£ž ›¦™™˜ £˜—ž–™ “Ë™˜”˜™ £›š¢—›¢œš˜£ ¤¦“œ—¦© —ž–›•œ– ¢‘™›œ£™•©£
¼–œ©ž›¦›¦—•£˜£¥
¤˜
¢˜š¨ ”• ¢˜ •– š˜›š ˜”˜ •™ ›¦˜ ž–Ÿœ ¡š•Ÿ ˜–
›£ ™–›˜š£˜—‘ ›˜ ¨ ›¦œ˜ œ§¢“˜š¨ “ ¦˜–
£•––
œ” £œ›œ–Ÿ–Ÿ¥¤˜˜ §£—•–
œ
›¦
›
›
›
›¦
¡šž ˜
šžž
ž¡
ž • ˜•¡ —ž– • – –Ÿ ˜ ”• ¢˜ ¼– ˜•—¦ ” £ ›˜ –ž ˜¥¤˜
“
“
™œ
“
“
‘
ɜ
™™
œ
œ
œ
¦
›¦
›
›
›¦
›¦
£˜•š—
˜
žš
˜š˜
£
•££ž—
•
˜
¤
˜
–ž
˜
–•
¨¥
¡
“ž˜£ –ž› —žœ–—œ“˜ ¤œ›¦ •–¨ !" œ–
›¦˜‘ –ž“˜¥ ›¦˜ £˜•š—¦ —ž–›œ–¢˜£ ž– ›¦˜ –˜«› ™˜”˜™ ¥ œ– ›¦˜ –ž“˜ •££ž—œ•›˜“ ¤œ›¦ ›¦˜ £™•© —ž–›•œ–œ–Ÿ
’™›¦ž¢Ÿ¦ •–¨ £˜Ÿ ˜–“ ©› •¨ ©˜ £›žš˜“ œ– ›¦š˜˜“ “œ™˜š˜–› ˜«‘ ›˜š–•™ £›š¢—›¢š˜£¥ œ› œ£ —™˜•š™ ›¦“•›
› œ–›˜š£˜—›˜œ œ ¨ ›¦˜ §™ ¢˜š¨ œ£ š˜›šœ˜”˜ ž– ¨ ž–—˜ žš˜ž”˜š¥¡žš˜•—
¦ œ–›˜š–• –ž™ ˜¥
˜•—
“¢š¦œ–Ÿ£˜Ÿ ˜–
“
›¦
¦
›
›
›
›
¢
ݢ
¦
›
›
›
¢
ݢ
˜
£˜•š—
¤˜
”
£
˜«•—
¨
¤ž
£
š
—
š˜£
¡žš
£
žš
¡š•Ÿ ˜–
£
•–
£
š
—
š˜ ¡žš ž–Ÿ
ž–˜£‘ Ù¦œ£ šž”˜£ ›¦˜ ¡ž™™ž¤œ–Ÿ ™˜ •‘
ˆ Á »¸'¸­°» &º­ ¸ »°²¹¸% ¬­ º »¸&²­%º¹ »°²¹º ¸ %º°º »°¹¯&°¯¹¸ º$¬­ ° ¸
²##²¬­ &²»°» ³¬· »°²¹º ¸ &²»° ¬» ÒÓÅ ™žŸ ÃÖ ³¬¬· ¯¸¹ °¬'¸ ¬» ÒәžŸÔÅәžŸÔřžŸ à Õ
ÓÃÖÖÕÈÖ Ùž ¡¢š›¦˜šÑ š˜“¢—˜ ›¦˜ £˜•š—¦ ›œ ˜¥ ¤˜ ˜«›˜–“ ›¦œ£ •šž•—¦ ¤œ›¦ ›¦˜ ›˜—¦–œ§¢˜ ž¡ ¡š•—›œž–•™
—•£—•“œ–Ÿ Ï ©˜›¤˜˜– ™œ£›£ £›žš˜“ ž– –˜œŸ¦©žš ™˜”˜™£ ž¡ £›š¢—›¢š˜£ ‘
ɚ•—›œž–•™ —•£—•“œ–Ÿ ÏÑ œ£ • ›˜—¦–œ§¢˜ £¢žš›œ–Ÿ ›¦˜ ˜«˜—¢›œž– ž¡ • £˜§¢˜–—˜ ž¡ £˜•š—¦˜£ •› •
“©£˜—ž–“ש•š¨ £›žš•Ÿ˜Ö ˜š £˜•š—
š£›
›‘ •–Ù¦› —ž£› œÓœ–œ“©ž›¦œ œ–››˜š–•™ › ˜ žš¨
¦
›
›¦
—ž–£
•–
¥
˜«—˜
¡žš
˜
™œ£›£‘ ¾–—˜ •– ˜™˜ ˜–› œ£
ž–˜¢ “ œ ˜ •™œ–› ›¦˜• ™£ ž›œ—ž–£ 𢛦—› •™ –¢ ›˜šœ ž¡›¦ šœ“™œ Ÿ˜£Ø
• ž–Ÿ
¿™
œ
œ
œœ –Ÿ™
›
¢
¡ž›¦˜–©šœ“–Ÿ˜£ž–˜š•›¦£ ˜š¥ ›¦˜•–ž—••ž–™¨œ–Ÿž¡ ›¦˜˜ Ÿ˜–˜š•
˜ ˜ ˜–™ £˜•š—
– ž ¦‘˜šÉš•—£ ›£œž–•£ §™ —•£—•
— ¨ “œ“˜–Ÿ›˜š ¦•£œ–˜©“˜˜–©¨˜«›š•”˜š£
›
¢£˜“™œ œ– œ–››˜š–•™™Ë ˜ žš¨ •™™Ÿžšœœ›¦›¦ £ ÏÜё¥ ¥ ¢Êё ˜—˜–›¦™¨¥ ›¦˜©›˜—¢¦–œ§¢˜ œÚ¦•£“ ©˜˜– ™™•™£ž ‘•˜–£™œ˜“”˜›¨ž
ž Ë –˜ ˜« ˜š–• Ë ˜ žš¨ • Ÿžš
£ Ï ¾ š •šž•— —•– ˜ £ •š ˜ •£ ¡ž ž¤£
ˆ!ˆ !ŒŽ‰!ŽŒ ŽŒ!‹ Œˆ‰!ˆ ‰ˆ ‰ˆ‹ ‘ Ù¦˜ œ“˜• œ£ ›ž —š˜•›˜ ©šœ“Ÿ˜£ ©˜›¤˜˜–
–ž“˜£ ž– –˜œŸ¦©žš ™˜”˜™£ ž¡ ›¦˜ £›š¢—›¢š˜¥ £›žš˜“ œ– ž–˜ –ž“˜ ž¡ ›¦˜ š£›Ë™˜”˜™ “•›• £›š¢—›¢š˜‘
Ê
¼– •š›œ—›¢“™•𥩠›¡žš •– ›¦œ–›˜š–•“™ –ž““˜ œž¡› › •££ž—œ•›˜“ ¤œ œ›¦› “• œ›¦¢™›œ£™¢•™©›œ ϙ ©À Ñ¥ ›¤ž"Î £˜Ñ ›£ ž¡“ ©"ʜ“Ÿ˜£Ñ
•š˜ —š˜•
˜ И‘¤˜˜–
˜ –ž ˜ ›•–œ ›¦£ ¤ž¢™£ž–£
•££ž—
• ˜ Ѥ¿ › £ • £ Ï À › •–›¦ Ï À ›
ɜ
™
©
™œ
œ
¢
¦
›
›
Ó£˜˜ Ÿ š˜ Ö •— ¡š•Ÿ ˜– – ˜ › ™ £›• “£ œ Ϧ›À ˜˜£
‘ ¤ž š˜¡˜š˜–—˜£ ž ˜ –˜•š˜£
¡š•Ÿ ˜–›£ œ– ›¦˜ ™œ£›¥ ¤¦Ñ œ—¦ •š˜ ©š" œ“Ÿ˜£
ž
˜¡
•–
š
Ÿ
£ž–£
ɞš ¢™›œ£™•©£ Ï À •–“ Ï À Πѥ ›¦˜ ©šœ“Ÿ˜£ •š˜ —š˜•›˜“ œ– £¢—¦ • ¤•¨ ›¦•› ›¦" ˜ ¡ž™™ž¤œ–Ÿ
œ£ £•›œ£˜“ À ° ¸ ­¯'¸¹ ! ² ¹º'¸­°» ¬­ ²° '¯#°¬»#º» Ï À Ñ º­% Ï À Î Ñ ¸°¸¸­
±°®¹² ²»¸®¸¹°¯¸­°¬º
# ¹¬% ¸» ¬» º#º» »¯& ° º° ! Ü ¸¹¸ ¬» º &²­»°º­° Ü Ù¦˜ ©šœ“Ÿ˜£ ©˜›¤˜˜– ›¤ž ¢™›œ£™•© ™œ£›£ Ï À Ñ •–“ Ï À "Î Ñ •š˜ Ÿ˜–˜š•›˜“ •£ ¡ž™™ž¤£‘ ɜš£›
œ
›
›¦
¤˜œ›¦ ˜šŸ˜› ¢ ›¦¦ ˜ ›¤žœ ›™œ£›£ œ›–›¦ž–˜™œ‘ ’™™ ¡š•Ÿ ˜–
£
–
˜
žœ–˜“ ™œ£› “ž –ž› œ–›˜š£˜—› ˜•—¦ ž›¦˜š •–“
›
˜œ ˜š žœ — žšœ – ™œ˜š£˜— ˜ “–˜ !™ ‘ ˜ £—•– ›¦˜ žœ–˜“ ™œ£› Ÿœ”˜– ©¨™œ ›¦˜ žš“©˜šœ“ž¡ £˜Ÿ ˜–
–›˜š£˜—› ž–£ ¤ ›¦ –˜ Ñ! ™œ¿
•– £˜ ˜—› ˜•—¦ ɜ Õ Ê˛¦ ¡š•Ÿ ˜–› ¡šž ™œ›¦˜ £› •£ • š Ÿ˜‘ ¼¡ ›¦˜
¡š•Ÿ ˜–› œ£ ¡šž "Ï À Ó ˜ ¡š•Ÿ ˜–› Ð ž– Ÿ¢š˜ ÐÖ¥ ¤˜ —¢› œ› ž– –˜ ! •–“ —ž¨ œ› œ– ›¦˜
œ– ɜŸ¢š˜ Ð
›¦˜ ©šœ“Ÿ˜ œ£ —•™™˜“ º¯'¸­°¸% ¹¬%¸ ¹º'
ž¡
¸­°Â
›¦¢™›œ£™•© ™œ£› ϛ À Πё ¢¿—¦“ • œ—ž¨
"
˜£˜¡š•Ÿ ˜– £•š˜ •š ˜ ¤ ›¦ ר ‘ ¾›¦˜š¤œ£˜¥ œ¡ ›¦˜ ¡š•Ÿ ˜–› œ£¡šž Ï À Î Ñ Ó™œ¿˜ ¡š•Ÿ ˜–›
ž– ɜŸ¢š˜ ÐÖ¥ ¤˜ —ž¨ œ› œ– ›¦˜ ¢™›œ £™ •© ™œ £› Ï À ё Ù¦˜ ž£œ›œž– ž¡ ›¦˜ •¢Ÿ ˜–›˜“ ©šœ“Ÿ˜
¡š•Ÿ ˜–› œ– Ï À Ñ œ£ “˜›˜š œ–˜“ ©¨ œ›£ "œ–›˜š£˜—›œž– ¤œ›¦ ™œ–˜ ! ‘ ’–•™žŸž¢£™¨¥ ›¦˜ ©šœ“Ÿ˜£ •š˜
¢™›œ£™•©£ Ï À Ñ •–“ Ï Î À ё" ͚œ“Ÿ˜ ¡š•Ÿ ˜–›£ ¡šž • ¢™›œ£™•© ™œ£› Ï À Ñ •š˜
—š˜•œ›˜““ ©˜››¤˜˜–
œ–ŸÖ œ– ›¦˜ ¢™›œ£™•© ™œ£› Ï Î À Ñ ¤¦œ™˜ ©šœ“Ÿ˜ ¡š•Ÿ ˜–›£¡šž ›¦˜ ¢™›œ£™•©
›¦
¢››
—ž
˜
ӕ¡
˜š
˜
—
"
™œ£› Ï Î À Ñ •š˜ —žœ˜“ ›ž Ï À ё
’¡›˜š ©šœ“ÑŸ˜£ ¡šž ›¦˜ ¢™›œ£™•© ™œ£› Ï À Ñ ›ž ©ž›¦ ™œ£›£ Ï À "Î Ñ •–“ Ï"Î À Ñ •š˜ Ÿ˜–˜š•›˜“¥
›¦˜ ™œ£› Ï “À © œ“—ž–›•œ–£ žšœŸœ–•™ ¡š•Ÿ ˜–
›£™œÓ£ž ˜ ž¡" ›¦Ñ ˜ “•š˜" ©šœ“Ÿ˜£
›žÉœ™˜¡› žšÐšœŸ¦› ™œ£ž–Ö •–“Ñ
ё
“
œ
¢• Ÿ ˜–
›
›
›
¢
›¦
›
Î
Î
˜
š
Ÿ˜
¡š•Ÿ ˜–
£
—ž
˜
¡šž £
£
Ï
À
•–
Ï
À
¼–
Ÿ
š˜
¥
˜
£
Ï À›
“©
™
“Û‘
’™™
œ
œ“
œ
›
›¦
¢
›
›
›
›
›¦
—ž–
•
–£
š˜˜
•
Ÿ ˜–
˜
š
Ÿ˜¡š•Ÿ ˜–
£¥š˜£˜—
”˜
¨¡š•Ÿ ˜–
£
¥
¥•–
˜¡š•Ÿ ˜–
£
œ– Ï À Ñ •š˜ žš“˜š˜“ ©¨ ›¦˜ žœ–›£ ›¦˜¨ œ–›˜š£˜—› žš ›ž¢—¦ ›¦˜ ™œ–˜ ! ‘
1
2
4
[i : j]
3
1, 2, 3*, 4*, 6, 7, 9*
5
6
8
9
7
11
s i
[i: (i+j)/2]
[(i+j)/2 : j]
4, 5, 7*, 8, 11
3, 9, 10
10
s (i+j)/2
s
ɜŸ¢š˜ ÐÀ ×͚œ“Ÿ˜£Ø œ– ‘ •Ö ž–Ÿ ¡š•Ÿ ˜–›£ £›žš˜“œ–" ›¦Ñ˜ –ž“˜ "•££ž—œ•Ñ‘›˜“ ¤œ›¦ ¢™›œ£™•© Ï À Ñ
“
©
“
™
™
©
œ£›£ ž¡ ¡š•Ÿ ˜–›£
œ
œ
œ
›
›¦
¢
›
Î
Î
•–•££ž—“ œœ–•›œ˜›“£ ¤›¤žœ›¦ £ž–£¥
•££ž—
•
˜
¤
£
•
£
Ï
À
•–
Ï
À
Ö
“©˜£ ™œž¡ ›¦˜ “ ©£›š¢—›¢š˜™ ‘ Ù¦˜ ™œ£›£ •š˜ ¿˜«“›˜–“˜“ ¤œ‘›¦ ©šœ“Ÿ˜ £˜Ÿ ˜–›£ Ó ÆÜ֑
–ž
œ“
¦
͚ Ÿ˜£ •š˜ £ ž¤– ¨ –˜£ •– šœ“Ÿ˜ ˜ ˜ ˜–›£ •š˜ •š ˜ ¤œ›¦ œ”˜– •– œ–›˜š–•™ –ž“˜ ž¡ ¥ •££ž—œ•›˜“ ¤œ›¦ ¢™›œ£™•© Ï À Ñ ¥ • Í⚘˜ œ£ ©¢œ™› ¡šž ›¦˜
™
©ž›¦ £ž–£ •š˜ Ÿ˜–˜š•›˜“ •–“ —žœ˜“ œ– ›¦˜ ™œ£›‘ ¼– ›¦˜ ¡¢™™
›
¢ ›œ£™•© ™œ£› Ï ›¦À ћ¥ •¡›˜š› ©œšœ“™Ÿ˜£
ž
¢“œ–Ÿ •¢Ÿ ˜–›œ–Ÿ ™œ£›£ œ– •™™ –ž“˜£ ž¡ ¥ ›¦˜ £•—˜ —ž ™˜«œ›¨ œ£
•˜š
•
¥
•¡
˜š
–—
‘
›£ œ™™ ÒÓŤ˜ ™šž”˜
žŸÃÖ
ˆŒ‰ ˆ‹Œ !‘ ˜› ©˜ ›¦˜ ”˜š›œ—•™ £˜Ÿ ˜–› ž¡ ›¦˜ ¡žš Æ ‘ Ù¦˜ §¢˜š¨ œ£ ˜š¡žš ˜“ •£ ¡ž™™ž¤£‘ ˜ £˜•š—¦ ›¦˜ š£›Ë™˜”˜™ “•›• £›š¢—›¢š˜ ¡šž ›¦˜ šžž› “ž¤– ›ž
j
a)
b)
7+- +,:+ :/34-5+-= ?06=3- *0:34-5+2 :0- 75;1 /2-= +7 2@--= /@ +,- 2-:09,< +,-1 :0- 5-8-0 0-@70+-= 65 +,./-01 0-@;1A
ÊÊ
•œ ™¦˜•¡œ› ©—ž–›•‘œ–’œ–Ÿ© ‘ ¼– ˜•—¦ –ž“¦˜› ž¡ ›¦˜ 𣓛™Ë™˜”˜™ ™ ›£›š¢¢—›¢›¢š˜¥ ¤˜ 𣓠› “˜›˜—› ›¦¦˜ £›™•© ¤¦œ—›¦
œ–£ ›˜š£˜—¨›˜“©¨ ›¦£ ˜ ˜¡žš˜¥
¢§ ˜š¨‘¤˜ £˜•š— ¤ž £˜—ž– Ë ˜”˜ £ š — š˜£ " •– "Î ¡žš £ žš ¡š•Ÿ ˜– £
ٞš˜›šœ˜”˜ ™ž–Ÿ¡š•Ÿ ˜–›£ œ–›˜š£˜—›˜“ ©¨ ›¦˜ §¢˜š¨ œ– ›¦˜ –ž“˜ ž¡ ›¦˜ š£›Ë™˜”˜™ £›š¢—›¢š˜¥¤˜
¦ œ–› ›¦“ ©˜ ÍΠ˛š˜˜“ •££ž—œœ•››˜““ ¤œ›¦œ›¦›¦›¦˜ šžž›› ‘ž¡Ù¦œ •–›“¿“˜›˜—›™ ›¦˜ ™˜¡› ž£
›‘
£˜•š—¦ œ›– ‘ ɜ𣛛 ¤˜ œ£˜•š—
›
›
£˜Ÿ ˜–
•– •££ž—
£ “˜£©
Ù¦˜–¥ ›¦¡š•Ÿ ˜–
™˜•”˜£ ž¡ ›¦–˜ ÍȚ£˜—Ë›š˜˜˜ •š˜¨ ›š•”˜š£˜
“ •–•“ ˜•™™¤¡š•Ÿ ˜–˜ ›šžž£ œ– ›¦˜ šžž£ ›• ž¡˜£ÒӜ–žŸÔÅÖ
›
›
˜
˜š£˜—
˜ ¨
Ә«—˜› ›¦˜ •¢Ÿ ˜–›˜“ ©šœ“Ÿ˜ ¡š•Ÿ ˜–›£Ö •š˜ š˜›šœ˜”˜“‘
’£ • £˜—ž–“ £›˜¥ œ¡ œ£ ™ž¤˜š ›¦•– ! ¥ ›¦˜ ©šœ“Ÿ˜ ›ž ›¦˜ ™˜¡› £ž–¥ –˜•š˜£› ›ž ¥ œ£
“˜›˜š œ–˜“¥ ž›¦˜š¤œ£˜ ›¦˜ ©šœ“Ÿ˜ ›ž ›¦˜ šœŸ¦›
£ž–¥ –˜•š˜£› ›ž ¥ œ£ “˜›˜š œ–˜“‘ ɞ™™ž¤œ–Ÿ ›¦˜
œ•›˜ ©šœ“Ÿ˜¥• ™˜•¡ –ž“©˜ œ– ›¦˜ ÍÎ˙›š˜˜ •££ž—œ•›˜“ ¤œ›¦ •£˜—ž–“™˜”˜™ –ž“˜ž¡“œ œ£š˜•—¦˜“‘“
•šžš
¢
› £˜Ÿ ˜–› ¡š•Ÿ ˜–
› ¥—ž–™›•œ–˜ – ›¦˜ š˜•—¦˜
£˜“ ž¡ ›¦“˜ œ ˛šž˜š››¨“ ž¡© šœ“Ÿ˜£¥ ›¦© ˜ ˜¡¢› ž£
™Í˜—•
“
‘
Ù
œ
¦˜–¥ ›¦“˜ ©˜•”˜£
˜ •–“ •––“˜š£˜—
˜ ¨ ›£¥ œ—•–
˜ ›¡ž˜“–©¨ – Ә«—˜
ÒÓÊÖ ¼½¾
£
ž¡ ›¦˜ ÍΛ£Ö˛•š˜
š˜˜
™™ ¡š•Ÿ ˜–
œ“
›
›
›¦
¢
›
•š˜˜•¡› œ›–žš•”˜š£˜
•
–
˜š£˜—
˜
•
Ÿ ˜–
˜
š
Ÿ˜
¡š•Ÿ ˜–
“¢š˜ ž¡ ©šœ“Ÿ˜ –•”œŸ•›œž– •–“ ¡š•Ÿ ˜–› š˜›šœ˜”•™ œ£ š˜˜•›˜“ ž– ™˜”˜™£
š˜ š ˜”˜™žŸ“‘ ٞ¡¦˜ £• ˜
šž—˜
‘
œ›¦ ›¦˜ ¢£˜ ž¡ ©šœ“Ÿ˜£¥ £˜•š—¦œ–Ÿ ¡žš ›¦˜ ™˜¡› ž£› ¡š•Ÿ ˜–› œ–›˜š£˜—›œ–Ÿ ž– •™™ ™˜”˜™£ ž¡ ™žŸÃÖ £›˜£‘ ٞŸ˜›¦˜š ¤œ›¦ £˜•š—¦œ–Ÿ œ– " •–“ "Î ¡žš £¦žš› ¡š•Ÿ ˜–›£¥ ›¦˜
›•¿˜£ ÒӜ ™žŸÔÅÕ
¦ › ˜œ ¡žš ž–˜ œ–©›˜š–•™ –ž“˜ ž¡ œ›¦˜ 𣓠›Ë™˜”˜œ ™ £›š¢—›¢“š˜©œ£ ÒәžŸÔÅՑ ™žŸœ ÃÕ ÓÃÖÕ Ô œÖ¥
£˜•š—
›£ ™– –ž™ ˜ –›˜š£˜—›˜ œ ¨ ›¦œ ˜ §¢™ ˜š¨ –—˜“•–¨ £˜Ÿ ˜–› £
¤£›¦žš˜˜š˜“ Ĝ– ž–£ ›¦™¨˜ž–˜–¢ –ž˜š“˜ž¡ž¡£˜Ÿ ˜–
›¦
›
›
¦
¦
¦›
¦
›
˜
š£
˜”˜
š˜˜
Ó¤
ž£˜
˜
Ÿ
£
ÒÓ
žŸÔÅÖÖ
•–
˜•—
£˜Ÿ ˜–
Ë
œ–›¿˜š£˜—›˜™ “ ©¨ ›¦™ ˜ §¢˜š¨™ œ£ š˜žš›˜“ ž–™¨ ž–—˜¥‘ š˜žš›œ–Ÿ •™™ £˜Ÿ ˜–›£ œ–›˜š£˜—›˜“ ©¨ ›¦˜ §¢˜š¨
›• ˜£ ÒÓ žŸÔÅÓ žŸÔÅÕ žŸÃ Õ ÓÃÖÖÕÈÖ
œ
Ü šžž£˜“œ •“©ž”˜ ¦œ •£ ©˜˜–œ “©˜£œŸ–˜“ “ ¡žšœ›¦˜ £›•›œ— —•£˜‘ ٜ¦˜ ˜«“›˜–£
›¦˜ šžž£˜
Œ! ‘“Ù£—¦¦˜˜ •
ž– ž¡“
©
™
›
›¦
›¦
¢
¦›
ž
˜
£˜ ¨–• —
—•£˜
£
•£˜
ž–À
Ó
Ö
˜
£˜
ž¡
•
¤˜
Ÿ
˜
•
•–—˜
Ë
™ “•›• £›š¢—™ ›¢Ë š˜Â ӜœÖ ›¦˜ ¢£˜ ž¡ • ÃÃÏ
͛¦Ë˜›š˜˜£˜—ž–Ïѓ•£™˜”˜š£™ ›£Ë›™˜”˜
Ñ˛š˜˜ Ï¥ ÊÑ ¥ Ê ÊÇÜ •£
¢
ݢ
š
—
š˜
¡žš ž–Ÿ ¡š•Ÿ ˜–›£Â Ӝœ Ö ›¦˜ “˜–œ›œž– ž¡ £ž ˜ •““œ›œž–•™ ž˜š•›œž–£
Ë
“œ Ñ
›˜˜¢›œ–Ÿ ›¦œ ˜ ÒÓÊÖ
›œÚ˜“
ž–—ž  ™¢˜«™›œœ£›™¨•©ž¡™œ©£›š£œ“Ó£Ÿ˜œ –•”œ™•šœŸ•›ž›œž–›¦ž£˜
¼½¾
• žš
‘ ¢š˜£˜–
™
œ
œ
¦— ˜«››˜˜–£œ–ž–£Ïʕ™™Ö¥ž¤Ÿ¢›•š•–
›
ž ˜«˜— ˜ –£˜š ž–£ – ÒÓ žŸÔÅ Õ
™žŸÃ Õ Ô
Ö • žš›œÚ˜“ ›œ ˜‘
Œ Á »¸'¸­°» &º­ ¸ »°²¹¸% ¬­ º »¸&²­%º¹ »°²¹º ¸ %º°º »°¹¯&°¯¹¸ º$¬­ ° ¸
²##²¬­ &²»°» ³¬· »°²¹º ¸ &²»° ¬» ÒÓÅ ™žŸ ÃÖ ³¬¬· ¯¸¹ °¬'¸ ¬» ÒәžŸÔÅәžŸÔÅÕ ™žŸ à Õ
ÓÃÖÖÕÈÖ ³¬¬¬· ¬­»¸¹°¬²­ º'²¹°¬¸% °¬'¸ ¬» ÒәžŸÔÅÕ ™žŸ Ã Õ Ô
Ö ‚…„ƒ† 
 “ ›¤ž ›“˜—¦–©œ§¢˜£‘ ›Ùž £ž™”˜ • ”˜šÌ›œ—•™ Ӟ𠦕”œ–Ÿ •–¨ ž›¦˜š™ «˜“
¼–“œš˜—›¦›œœ£ž–֝•˜š£˜Ÿ ˜–
¤˜ ›¦•”˜
šžž£˜
œ
œ
¢
›
›
¦
›
›
¦
§
˜š¨
ž–
£˜Ÿ ˜–
•
•
•£˜£
˜
žš˜
˜
—
˜–
˜—
–
§¢˜ ¦•£ ÒÓÅ¿ œ žŸ™¢“ÃÖ
™
“
™
™
™
‘
É
œ
œ
œ
›
›
›
›
¢›¢
˜ —ž 
Å Õ È֛£ ¦•”œ–Ÿ •šš˜©œ¤žš
“ ›˜—¦˜«–œ§¢¨˜”˜š¨
™ ¤œ›¦ž §ÒÓ¢˜š¨žŸÔ£˜Ÿ ˜–
›¦£•—˜
›ž “˜•— ž£˜
›š•š¨ –—•–Ÿ¢™˜£•š
˜Ì˜«œ›—ž 
˜–£› œž–‘ ˜«ž¡¨›¦•–˜ šžž£˜
—ž˜ — ˜– £
-63,+-=?:;:59-= +0-- 62 : +0-- ,-0- +,- -63,+ 7* : 57=- 6A-A< +,- 5/4?-0 7* -;-4-5+2 2+70-= 65 +,2/?+0-- 077+-= :+ +,- 57=- 62 : */59+675 7* +,- ;-8-; +7 ,69, +,- 57=- ?-;7532A )+ 3/:0:5+--2 -96-5+ 0-?:;:59653
7@-0:+6752 65 ->+-05:;4-4701A
ÊÜ
 …
ÏÊÑ ‘ ’šŸ˜‘ Ù¦˜ Í¢´˜š ٚ˜˜À ’ ˜¤ ٘—¦–œ§¢˜ ɞš%¾ ›œ •™ ¼½¾ ’™Ÿžšœ›¦ £‘ ¼– ¹²& ² ° ¸ ° ­° ²¹ » ²® ²­ #²¹¬° '» º­ º°º °¹¯&°¯¹¸»¥ •Ÿ˜£ Ë ¥ ÊÛۑ
™Ë˜ žš¨ ’™Ÿžšœ›¦ £ ¡žš šž—˜££œ–Ÿ œ–˜
ÏÜÑ ‘ ’šŸ˜¥› œ ‘‘ ˜–Ÿšž¦œ¥ •–“ ‘ ‘›œ œ››˜š‘ ›«›˜š–•
˜Ÿ ˜– £ – ˜žŸš• Üۗ¼–¡žš •
ž–‘ ¨£ ˜ £‘ ¼– ¹²& ² ° ¸ ¹% ­­¯º# ¯¹²®¸º­ '® ÛÛ
²­ #²¹¬° '»¥ •Ÿ˜£ Ë Ê¥ Ê
‘ ¼–
ÏÑ ‘ ’šŸ˜ •–“ ´‘ ‘œ››˜š‘ ¾›œ •%™ ¨–• œ— ¼–›˜š”•™ •–•Ÿ˜ ˜–› œ–«›˜š–•Û ™ Ûۘ žš¨
‘
¹²& ² ° ¸ ­° '® ²­ ²¯­ º°¬²­» ² ²'®¯°¸¹ &¬¸­&¸¥•Ÿ˜£ Ë ¥ Ê
ÏÑ Í‘ª¹¬°¦•Ú'˜™™¬˜&º¥•–ÊӓÜÖÀʑ‘ ʢܜ©¥ •£Êۑɑš•—›œž–•™ —•£—•“œ–Ÿ À ¼‘ ’ •›• ›š¢—›¢šœ–Ÿ ٘—¦–œ§¢˜‘
#²
Ë
‘ ‘ª¦˜–Ÿ •–“ ‘ •–•š“•– ‘ ̗œ˜–› “¨–• œ— •™Ÿžšœ›¦ £¡žš £ž ˜ Ÿ˜ž ˜›šœ— œ–›˜š£˜—›œž–
ÏÑ šž
©™˜ £‘ ´­ ²¹'º°¬²­ ¹²&¸»»¬­ ¸°°¸¹»¥ ÓÖÀÜÊËÜ¥ ÊÛۑ
œ•‘ ¨–• œ— ’™Ÿžšœ›¦ £ œ– ªž ¢›•›œž–•™ ˜ž ˜›š¨‘ ¹²&
ÏÑ ´ ‘Ë‘ ª¦œ•–Ÿ
•–Ü“ ‘Ù• •££
Û
ÛÛܑ
¥ Ó ÖÀÊ Ê ËÊ ¥ Ê
ÏÐÑ ‘ ªž ˜š‘ Ù¦˜ ¢©œ§¢œ›ž¢£ Ͳš˜˜‘ ²'®¯°¬­ ¯¹$¸»¥ ÊÊÓÜÖ¥•Ÿ˜£ ÊÜÊËÊ¥ ÊÛÐۑ
˜—›•–Ÿ¢™•š ¼–›˜š£˜—›œž– ‘ •š› ¼ ‘ ´­°¸¹­ ²'® ¦
›
ÏÑ ‘ “˜™£©š¢––˜š‘Ü’Û ܘ¤Û ’۝šž•—
ž
º° ¸'º°¬&»¥ Ê À Ë Ê ¥ Ê ‘
‘ šœžšœ›¨ ˜•š—¦ ٚ˜˜£ œ– ˜—ž–“•š¨ ˜ žš¨
‘
ÏÛÑ ª‘¼— ¿œ–Ÿ¥¹ &‘ °™˜¸œ–¥´­°•– “Ù‘¹¾»›› •––
¼–
² ²
² ²® ²­ ¹º® ± ¸²¹¸°¬& ²­&¸®°» ¬­ ²'®¯°¸¹ &¬¸­&¸¥•Ÿ˜£
ËÛ¥ Êۑ
ÏÊÑ Ûۑ ‘˜¦™¦žš– •–“ ‘ •¦˜š‘ ¨–• œ— ɚ•—›œž–•™ ª•£—•“œ–Ÿ‘ #²¹¬° '¬&º¥ ¥•Ÿ˜£ ÜÊËÜÊ¥
Ê
“ ‘ ˜”˜£Ú‘ ªž–£›š•œ–› §¢˜š¨ ™•–Ÿ¢•Ÿ˜£‘ ²'® »°¸'
ÏÊÊÑ &‘ ¬¸­•–˜&¸»¥™™•¿œÊÓÊÖÀ
£¥ ܑ ¢Ü˜š¥
•–
‘
ÛÛ
¥Ê
™™•¿œ£¥ ‘ • •£¤• ¨¥ ‘‘ ˜–Ÿšž ¥ •–“ ‘‘ œ››˜š ‘ ¼–“˜«œ–Ÿ ¡žš •›• ž“˜™£
ÏÊÜÑ ¤‘ª‘
œ›¦ ª•–˜
ž–£›š•œ–›£ •–“ ª™•££˜£‘ ²'® »°¸' &¬¸­&¸»¥ ÜÓÖÀÛËÊÜ¥ ÊÛۑ
ÏÊÑ ‘ ž¢©•š•¿œ£‘ ە›Ü•©•£˜ О“˜™£ÛÛ¡žš‘ ¼––œ›˜ •–“ ¼–“˜–œ›˜ ٘ žš•™ ¼–¡žš •›œž–‘ ´­ ²¹±
'º°¬²­ »°¸'»¥ Ê Ó ÖÀÊ ÊË Ê ¥ Ê
ÏÊÑ ‘—ªš˜œŸ¦›‘ šœžšœ›¨ ˜•š—¦ ٚ˜˜£‘ ´ ²¯¹­º# ² ²'®¯°¬­‘ ÊÓÜÖÀ ÜÐËÜÐ¥ Êۑ
™› •–“ ‘ ‘ ˜œ–Ÿž™“‘ ͜–•š¨ ˜•š—¦ ٚ˜˜ ž¡ ͞¢–“˜“ ͕™•–—˜‘ ´ ²'±
ÏÊÑ ‘ œ˜”˜šŸ˜
®¯°¬­¥ ÜÓÊÖÀË¥ ÊÛБ
‘ •›œ•™ •›•©•£˜£¥ ›¦˜ ɜ–•™ ɚž–›œ˜š‘ ¼– ¹²& ² ° ¸ ° ´­°
ÏÊÑ ‘ •š˜“•˜–£
²­ ²­ º°ºº»¸ ¸²¹¥ •Ÿ˜£ ÊÊ¥ ÊÛۑ
‘ • •£¤• ¨
“
‘ ¢©š• •–œ•– ‘ •›¦Ëª•—¦œ–ŸÀ ’ ٘—¦–œ§¢˜ ¡žš ¾›œ •™ «›˜š–•™
ÏÊÐÑ ˜•š—
•–
¦œ–Ÿ‘ ¼– ¹²& ² ° ¸ '® ²­ ¹¬­&¬® #¸» ² º°ºº»¸ »°¸'»¥ •Ÿ˜£ ÜË¥
‘
ÛÛ
Ê
Ê
‘ ̗œ˜–› ¼–“˜«œ–Ÿ ¡žš ªž–£›š•œ–›£•–“ ٘ žš•™ •›•©•£˜£‘ ¼– ÏÊÑ ‘ • •£¤• ¨
¹²& ² ° ¸ ° ´­° ²­ ²­ º°ºº»¸ ¸²¹¥ •Ÿ˜£ ÊÛËÊ¥ ÊÛÛБ
“ ‘ • •£¤• ¨‘Ù¦˜ ˕–Ÿ˜ ٚ˜˜À ’ ˜¤ •›• ›š¢—›¢š˜ ¡žš •–Ÿ˜
œ
ÏÊÛÑ ‘ ¢©¦š• •–
•–
•–
˜ žš¨ ‘ ¼– ¹²& ² ° ¸ ±´ '® ²­ ¬»&¹¸°¸ # ²¹¬° '»¥
˜•š— œ–ŸÐ œ– И—ž–Ûۓ•š¨
‘
•Ÿ˜£ Ë ¥ Ê
Ê
‚
€ ‚†€
! "#
$
!
' "# *! & ( $%& "# '+ ,( )* " ) & )"#
((%!
#
,( ( "# *!
-.
.
1%))'/345 !
'
(
'/0 12
"#
6 '/)
5 "# 8/09:;
.
78/09:;/
2
8/09:;/
(
4
5<
=>
=>
.
78/
3 (;/2#)4 8/3& $%;/%5< ( %)) !) "# 8/3=>;
.
?
@
( 93JG HI
A3F ?G,(
9
BCDE
HI
BCDE
..K
"#*
N 8 #8 ?
(* '.
OLM
#** (
*#N 3"#*
8"!BCDEBCDE
9!
93J
BCDE
3J !
"BCDE
9
9
3J
"
3F
?O*'/%)(
!!
!
(,
"
"*
5P"#8/0Q**E.
N(
8
* 3 * * ' ! ( $%% # %*("!
(
*
R
"
.S.
KT O '/5 U 8/09:;/5 ! '/5 U 8/3=>;/5 . ? # %*("! VW"% XYZ[ .\O
-T O '/&##
'/08/09:; .
;+8 (!!!
( !8 !!!
? VW"%( XY!Z [Z @?
("( 5 1 8/09:;/
5 ! '/'/05 18/3=>(;/
=>
!
8/
(
(
*
*
5
3
"
.\O
]T O '/5 1? 8/09:;/
3=>;/5* *! '/0 VW"%5+XY'/Z*5[ZU8/&##
!,
#8/09:;
& .\O! 8/3=>; . ( 8 !!! ( !
\T O '/
; ! '/0 , 8/09:; ! 8/3=>; . , #)& $%% ? ! ( (
'/5 1XY8/![3=>.\O
5 1 8/09:;+
VW"%
Z
.\O
?BCDE
#)93J& ! BCDE93F
.
.\
ɜŸ¢š˜ À É¢–—›œž– ‘
^ ! "#
"#"#
$%&'! 3 !
*! & '
-.
.
12
1
'
(
'/0
'/
'/
"#` Ca 3 ! '345 6 5
_))D& !
%*
.
c0
b
b
O.S.c0b 6 H . (
" Db *! & %* ` Ca+ )*R&
' !"#!(* &*N*"#
[ ( !
_))&(R"&##
"(*#R"#%
*`*!Ca &V`'Cad
3 !,('+ *!
!
(
.
!
c0
!
N
(
(
DeB (e, *##
"# * *c0b*! c0e "Db 3 *! & %* ` Cad + )*R&
.
0f
.hNgb%)!g ge ( )( # c0b 0fB ! # c0e 0fB+ )*R&
b
O
*R(!
X[ 886"#c0gb\V*8i[8 *6j !0fB&!' ( )!* 8 g *(! 8 .
OV*
b k 6 8 .S. V* i[ k l 8m "( *(! .\O b
O)V*# X[ ).
!
ER\ ( % ! k
O*R(R!"#!
*&'"# *" ' .
,(**(
E O !E/0QE )n'/*!(
5 E!
R E m *(! .\O
.\O
.\O
.\O
(
.hNg Rg())( #)!
0fB ( ge+ ,(
! o"(p *("!
( op
O%)*R(!
8"#g \ 8 *! & '
.\O
.\O
.\
ɜŸ¢š˜ ÛÀ É¢–—›œž– qŒ!‘
Ê
‚
ƒƒ†€†‚ „
ɜŸ¢š˜ Ê œ™™¢£›š•›˜£ £ž ˜ “œ˜š˜–› —•£˜£¥ —ž–£œ“˜š˜“ œ– ¡¢–—›œž– ¬­% Ó£˜˜ ’˜–“œ« ’Ö‘ ɜŸ¢š˜
ÊÊ £¦ž¤£ •™™ –ž“˜£ ”œ£œ›˜“ ©¨ ›¦˜ ¸®²¹° •™Ÿžšœ›¦ ‘
r
r.row
r.left
r.row
q.y
q.l
r
r.left
r.right
a)
r
r.row
q.y
r.left q.l
q.l
r
r.row
q.y
r.left
q.y
r.right
r.right
ɜŸ¢š˜ ÊÀ œ˜š˜–› —•£˜£ œ– ¡¢–—›œž– ¬­%‘
b)
c)
lca
nodes visited by Report
bl_r
r.right
q.l
bl_r
q
ɜŸ¢š˜ ÊÊÀ ˜•š—¦ £•—˜ ”œ£œ›˜“ ©¨ ›¦˜ ¸®²¹° •™Ÿžšœ›¦ ‘
Ê
d)