C12 - 6.1 - Ratios
⎯⎯⎯⎯ = 1
Notes
sin
⎯⎯⎯⎯⎯ =
cos
⎯⎯⎯⎯⎯⎯=
⎯⎯⎯⎯⎯= 1
1
⎯⎯⎯⎯ × ⎯⎯⎯⎯
1
⎯⎯⎯⎯
=
sin
⎯⎯⎯⎯⎯ = sin
sin
⎯⎯⎯⎯⎯ =
sin
cos
⎯⎯⎯⎯⎯⎯= cos
cos
⎯⎯⎯⎯⎯⎯=
cos
sin
=(
)(
cos
=(
)(
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
× ⎯⎯⎯⎯
sin
= ⎯⎯⎯⎯⎯
1
= ⎯⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯ =
× ⎯⎯⎯⎯
=
⎯⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯
1
⎯⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯
1
⎯⎯⎯⎯ ÷ ⎯⎯⎯⎯
1
1
⎯⎯⎯⎯ × ⎯⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯ ÷ ⎯⎯⎯⎯
1
1
⎯⎯⎯⎯ × ⎯⎯⎯⎯
1
⎯⎯⎯⎯
=
÷ ⎯⎯⎯⎯
÷ ⎯⎯⎯⎯
× ⎯⎯⎯⎯
× ⎯⎯⎯⎯
cos
= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
cos
Trig ID Page 1
=
)≠
)≠
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
C12 - 6.1 - Ratios
=
1
⎯⎯⎯⎯ ×
=
Notes
1
= ⎯⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯ = 1
=
1
⎯⎯⎯⎯ ×
⎯⎯⎯⎯ =
=
⎯⎯⎯⎯ =
=
1
⎯⎯⎯⎯ × ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
cos
1
= ⎯⎯⎯⎯ ×
1
= ⎯⎯⎯⎯
= ⎯⎯⎯⎯ = 1
=
1
⎯⎯⎯⎯ ×
=
⎯⎯⎯⎯ =
⎯⎯⎯⎯ =
=
1
⎯⎯⎯⎯ × ⎯⎯⎯⎯ =
1
⎯⎯⎯⎯⎯=
Trig ID Page 2
C12 - 6.2 - Factoring Distribution Notes
sin
(
− cos
+
)(
−
Factoring/Distribution
sin − sin
(1 −
)
cos − cos
(1 −
)
(
(1 +
1−
)(1 −
)
+
− cos
1 − cos
sin
(
+ 1) = (1 +
2+
+
+ 1)
(
+ sin
+
+ 1)
)
= sin
=(
− cos
− 1)(
)
+ cos
(1 +
(1 +
1−
−
)
=
=
)(1 −
)
+
− sin
1 − sin
cos
−
+ 1 = 1 − cos
+
−2
+ 2)(
− 1)
− cos − 1 = 0
− (1 − sin ) − 1 = 0
− 1 + sin − 1 = 0
sin +
−2=0
(
+ sin
(1 +
=
2 cos
+ 2) = 0
(
+
(2
Trig ID Page 3
+ −2
+ 2)( − 1)
= 2 sin − 1
= 2 (1 − cos ) − 1
= 2 −2cos − 1
−1= 0
+ 1)(
− 1) = 0
)
C12 - 6.2 - Fractions Notes
1
1−
⎯⎯⎯⎯ − ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
:
1
⎯⎯⎯⎯ −
1
⎯⎯⎯⎯ −
:
× ⎯⎯⎯⎯
1
sin
⎯⎯⎯⎯ − ⎯⎯⎯⎯⎯
1 − sin
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
cos
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
cos
= 1 − sin
⎯⎯⎯⎯ −
1
⎯⎯⎯⎯ −
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1 − ⎯⎯⎯⎯
1
⎯⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯⎯− ⎯⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯
1
1
⎯⎯⎯⎯ −
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ × ⎯⎯⎯⎯
1 − ⎯⎯⎯⎯
1
1
⎯⎯⎯⎯ × ⎯⎯⎯⎯ − ⎯⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯ − cos
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
− ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯− ⎯⎯⎯⎯
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯− ⎯⎯⎯⎯ × ⎯⎯⎯⎯
1 − cos
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
−
1
sin
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯− ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
sin
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
−
1 − sin
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
cos
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯
+
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯
+1
Trig ID Page 4
=
C12 - 6.4 - Proofs Pythag Reciprocal Frac Notes
⎯⎯⎯⎯
=
⎯⎯⎯⎯
1
⎯⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1
⎯⎯⎯⎯
1
⎯⎯⎯⎯
1 + tan
=
⎯⎯⎯⎯ × ⎯⎯⎯⎯
1
=
cos
sec
1
⎯⎯⎯⎯ × cos
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
cos
sin
1 + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
cos
+
cos
⎯⎯⎯⎯⎯⎯+
cos
sin
⎯⎯⎯⎯⎯⎯+ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
cos
cos
=
1
⎯⎯⎯⎯
+
× ⎯⎯⎯⎯
cos + sin
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
cos
cos
sin
⎯⎯⎯⎯⎯⎯+ ⎯⎯⎯⎯⎯
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
cos
cos + sin
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1
⎯⎯⎯⎯
+
1+
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1+
=
⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯
1+
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1
1 + ⎯⎯⎯⎯
cos + sin
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
(1 +
)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
+1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1
⎯⎯⎯⎯
(1 +
) × ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
+1
(1 +
)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
+1
1
⎯⎯⎯⎯
Trig ID Page 5
=
C12 - 6.4 - Proofs Conjugate Notes
Conjugate:
+
−
−
+
Conjugate:
Conjugate:
1−
1+
1+
1−
1+
1−
1−
1+
1−
⬚
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ × ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1−
1+
1−
⬚
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ × ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1−
1+
1+
⬚
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ × ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1+
1−
⬚
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1−
1+
× ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1+
Prove that the two sides are equal.
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1+
The conjugate
1−
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯× ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1+
1−
=
1−
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1) Multiply the top and
bottom by the conjugate
of the denominator
2) FOIL the bottom
3) Pythagorean Identity
4) Simplify
(1 −
)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
(1 −
)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
(1 +
)(1 −
)
FOIL (FL)
Now we have the
Pythagorean identity
(1 −
)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1−
+
− cos
(1 +
1−
)(1 −
)
+
− cos
1 − cos
sin
− cos
sin
(1 −
)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1 − cos
(1 −
)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
sin
(1 −
)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Trig ID Page 6
=1
= 1 − cos
1−
× ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1−
( + )( − )
−
+
+
−
C12 - 6.4 - Proofs Foil Conjugate Fact Frac Notes
(
− 1)(
sec
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
cot
+ 1) =
!
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
cot
−1
tan
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1+
tan
=
1−
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯× ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1+
1−
1−
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
(1 −
)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
(1 −
)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1 − cos
1+
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
sin
1+
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1−
=
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1−
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1−
(1 −
)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
sin
(1 −
)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1+
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
(1 −
)(1 +
)
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1−
Add and Subtract Fractions
1
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯+ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1+
1−
=
1
1−
1
1+
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯× ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯+ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯× ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1+
1−
1−
1+
(1 −
) + (1 +
)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
(1 −
)(1 +
)
1−
+1+
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1 − cos
2
⎯⎯⎯⎯⎯
sin
Trig ID Page 7
2 csc
1
2 × ⎯⎯⎯⎯⎯
sin
2
⎯⎯⎯⎯⎯
sin
C12 - 6.5 - Sum Difference Notes
= ⎯⎯⎯⎯
sin( + ) =
+
cos( + ) =
−
sin( − ) =
−
cos( − ) =
+
sin( + ) =
=
=−
cos
+
× −1 + 0 ×
π
+ ⎯⎯ =
4
45
π
⎯⎯ − sin
4
1
× ⎯⎯⎯−
⎯⎯
√2
=
1
× ⎯⎯⎯
⎯⎯
√2
30 +
45
285 = 225 + 60
30 = cos(45 + 30 )
=
75
⎯⎯
4
= ⎯⎯⎯⎯
⎯⎯ − ⎯⎯⎯⎯
⎯⎯
√2
√2
−
= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎯⎯
√2
π
sin ⎯⎯⎯ =
12
15 =
sin(45 − 30 ) =
45 30 −
30
⎯⎯
1 √3 1 1
= ⎯⎯⎯×
× ⎯⎯⎯
⎯⎯ ⎯⎯⎯− ⎯⎯
⎯⎯
2 √2
√2 2
⎯⎯
1
√3
= ⎯⎯⎯⎯
⎯⎯− ⎯⎯⎯⎯
⎯⎯
2√2 2√2
⎯⎯
√3 − 1
= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎯⎯
2√2
75 =
cos(45 + 30 ) =
45 30 +
45
⎯⎯
1 √3
1 1
= ⎯⎯⎯×
⎯⎯⎯×
⎯⎯ ⎯⎯⎯−
⎯⎯ ⎯⎯
√2 2
√2 2
⎯⎯
1
√3
= ⎯⎯⎯⎯−
⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯
⎯⎯
2√2 2√2
⎯⎯
√3 − 1
= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎯⎯
2√2
cos(−75) = cos(−45 − 30)
Or
π π π π
⎯⎯, ⎯⎯, ⎯⎯, ⎯⎯, , 2
6 4 3 2
2π 3π 4 6π 12π 24π
⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯
12 12 12 12 12 12
45
15 = 45 − 30
15 =
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯=
15
30
−
4
3π π π
⎯⎯⎯= ⎯⎯⎯− ⎯⎯⎯= ⎯⎯− ⎯⎯
12 12 12 4 3
−
1
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
cos(45 − 30 ) ( 45 30 +
45 30)
1
= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎯⎯
1 √3
1 1
⎯⎯⎯×
⎯⎯⎯×
⎯⎯ ⎯⎯⎯+
⎯⎯ ⎯⎯
2
√2
√2 2
1
= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎯⎯
1
√3
⎯⎯⎯⎯+
⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯
⎯⎯
2√2 2√2
1
= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎯⎯
√3 + 1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎯⎯
2√2
⎯⎯
2√2
= 1 × ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎯⎯
√3 + 1
⎯⎯
2√2
= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎯⎯
√3 + 1
Trig ID Page 8
C12 - 6.6 - Double Angle Notes
2 =2
4 sin 6 = 8 sin 3 cos 3
Double the number in front. Half the angle.
1
1
2 sin = 4 sin ⎯⎯ cos ⎯⎯
2
2
1
⎯⎯sin 4 = 1 sin 2 cos 2
2
π
π
2
= 4 sin ⎯⎯ cos ⎯⎯ = 0
2
2
2
=
2
8 sin 3 cos 3 = 4 sin 6
Half the number in front. Double the angle.
1
1
4 sin ⎯⎯ cos ⎯⎯ = 2 sin
2
2
⎯⎯
π
π
π
2√3
⎯⎯
4 sin ⎯⎯ cos ⎯⎯ = 2 sin ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯= √3
6
6
3
2
2 = cos − sin
= 2 cos − 1
= 1 − 2 sin
cos 2 − sin 2 =
4
2 cos 3 − 2sin 3 =
2 (cos 3 − sin 3 ) = 2
2 cos 2 − 1 =
4 cos − 2 =
2(2cos
− 1) = 2
1 − 2 sin
1 − 2 sin
=
Double the angle
6
4
GCF, Double the angle
Double the angle
2
GCF, Double the angle
2 =1
⎯⎯ = cos ⎯⎯ = 0
4
2
Trig ID Page 9
: −1