MHF 4U1
Trig Identities and Equations Practice
1 Express each as a single trigonometric function and then evaluate.
.
a) sin(64 )cos(4
)— cos(64 )sin(4 )
c) cos(45 )cos(l5 )_ sin(45 )sin(l5
t(35)+ t(lo)
e)
1—tan(35 )tan(lo)
b) sin(32 )cos(l T )+ cos(32 )sin(l 3)
d) cos(45°)cos(l5)+ sin(45jsin(l5)
)
2. Express as a single Sine or Cosine function.
a) S0sin(x)cos(x)
d) 8
b) l5sin(3x)cos(3x)
sin1:J cosJ
e) cos
2
g) 1_2sin2(x
c) 2cos2(3x+2)_1
—
(2x) 2
sin (2x)
f)
2cos2(lOx)_1
h) sin(7x)cos(7x)
3. Solveforx,Ox2,r
b) sin(x)cos(3)+ cos(x)sin(3) = I
a) cos(x)cos(2)— sin(x)sin(2) =0
—
—1 — cosxsinx
c) cos(2x)cos(x) sin(2x)sin(x) = 0
e) sinxcosx
=
d) sin(2x)cos(x)+ cos(2x)sin(x) = 1
tanx—=—1
g) sin(2x)—sinx=0
i) 3cos(2x)+2=0
k) sin(2x)—cos(2x)= 0
m) 3 sin x = 2 cos(2x)
h) sinx—cosx=0
j) sin(2x)—tanx=0
1) 2sin(2x)+ cosx = 0
—
n) 3sin(2x)cosx + 3sin
2x=0
4. If A is in the interval 10,
and B is in the inteal
%\ 2,)
evaluate each of the following:
a)
sin(A—B)
5. If A is in the interval
b) cos(A+B)
7r,-
2,)
evaluate each of the following:
a)
sin(A+B)
iS\
and B is in the interval
b) tan(A+B)
1 ,r,) and
,
sin A
=
5
c) tan(A—B)
2
,)
and tanA
and tan B
=
,
4
d) sin(2A)+ cos(2A)
=
3
and secB =
5
6. Evaluate using an addition, subtraction, or double angle identity.
a)
. (13
sini
‘\
(f
_
b) cosi
12
\
e) cos(—75j
0
1 iz
12
(5z
c) —tani——
12
d) sin(15°)
‘S\
.
(5t
g) sin(j
cos(D
h) cos(157.5)
7. Prove each ofthe following.
1—sin(2x)
cos(2x)
1—tanx
1+tanx
a) tanx = csc(2x)—cot(2x)
b)
c) cos x
d) sin(+x)+cos_x+tan+x)
—
tan y sin x
=
sec y cos(x + y)
sin(4x) sin(2x) cos(3x)
sin(2x)
cosx
g) sin(x+y)+sin(x—y)= 2sinxcosy
=
—cotx
—
e)
0
cosx + cos(2x)+ cos(3x)= (1 + 2cosx)cos(2x)
8 . Solve for x in the given interval.
.
a) 2sinxcosx=0, 0xir
2
co
c) x
—cosxs
=0, 0x2’r
cos2(2
x)+2co
s(2x)+1= 0, —r
e)
g) tan(4x)+tan(2x)=0, 0x
x
b) x
2
si
+sinx=
n
0, —irxir
d) 2
si
x
—2sinx+1=0
n, —2irx2ir
f) sec2(2x)_1=0, —2izx2ir
ir
h) cosx+Jsiix=0, —2irx0
it
Answers:
1.a)— b)
-/
e) cos(4x)
c)
4 a)
b) -—3,
6
h)
32z.
5i 7n
15
—
2
sin(6x) c) cos(6x + 4) d) 4 sin x
k)
2_3
6
r5r.
—
—
Sit- 7ir 3ii- hit
it Sir 3ir
3ir 7ir
d)
e)
626 62
6
662
44
ii. ii.
c)
1)
,—,—
—,—
1.1505, 1.9915, 4.292, 5.133
5;i 9,c 13r
8 ‘8’8’8
1)
,r 3z
2’2’
6.030
r r 5z•
n) 0,,r,2ir,4.038,5.387
26 6
24
24
31
16
—16
b) —1 c)
d)
5 a)
b)
7
. 65
63
—---
—
b)
2Ji
2/
c)
—it
+1
-1
J-i
d)
e)
iq’1
2ñ
2
3ij-
/i+1
/i+/
g)+
h)
2
2
—3ir it
—ir ir
c) —,——,0,2ir d)
e)
2 2
2 2
2 ‘2
-3,i
;z
3ir
ir
irir2ir5
,r
0,—,—ir,
,—2ir,—,ir,
2ir g)
h)
2
b)
0
2. a) 25sin(2x) b)
—,—,—
6 a)
8a)
2
g)
j)
m)
2
e) 1
cos(20x) g) cos h) sin(14x)
3iz•
5iz
3. a) ——2,—--—2
2
2
0
d)
yr
,—
—
—,
,
6
-
2
r’
.
0
0
h-i
I
43
0
11
.
4’
L;
I
‘
,
0
b
“,.
‘4”
4’
;
\jcJ
.
:
o
‘%-
‘
H;
Li.
£‘
(
t.
1
-
,.&•o
‘p
.
U
:c;d.
‘-
et
‘
•0
A
ci
II
43
0
It
:L
t’%
;
(L
0
.
‘
.
.
.,
,—.
:
.
,
,
.
.
,
:
.
,
1
I
.:
.
I
i
*hi
d
\
I
?---
r:
IJ
i
I
I
—
.
I
?
—
.-
i__
.
LI
r
,
:
I
c%
—s
,
t
:
1
‘
i
1
%I
:
1
•;
H:.
—
1
%.—
1
I
I
1
i
.
“
-*
—
;.
L
I
I
,
_
.
I
_4
-
ç
b
:
I
hi
(%
I
I
;
I
c
3
I
1
,
I
‘)
“
,
?%
I
-:
I
ç%
I
,
1
1%’
r’b
$
,1
I
I
I
1
I
:
1
*-
J
I
I
I
4
‘
IL
H”
I
.-I
:
I
I
,
I
1
•!
I
r
%1
4%
1
1
I
“
V
‘f
1
H
:
:
I
I
.
I
?‘
.
I
I
JfrI
I
%4
(“
t
:
,
I
I
r’
“
v’,
1b..._:
1
I
I
I
I
I
H
I
.
I
I
I
w
.
b’
1
I
I
A
1,
•
;
:x
7
{‘
I
1
‘..-,.
%3
I
:
1
1
.
%JI
I’’I
I,
I
I
I
1
.
I
I,1•
-‘
I
1:
,
I
pcb
p
I
I
:r—’
)
f
(b%!
7
Li
1
r%’f
I
I
.
,
rrr%
1
3
I
I
I
I
I
I
I
!
*
1
•
V
:
.
.
:
:
I
..
•
.
,
-
.
.
..
-.
.
.
.
.
.
L3
I
,
0
%T:,
q
4
c
.
.
.
C
‘e
;..j.
J%
-
;
•:“
;
;
:
H-:•
.
*—
.
.
:
;!
t
:.
t
;
t:
!,I.b
LA
-
-
—
.
:
r
4_4
.
:
\
‘ç
•:
v’
r
.-
x
:
?c
:
‘%•
(S
1”
•%
-
:
-
,
..
:
•Hf
;
;
:
.
J
:
ic
“
..
:
.
;
0,
Ii
I
th
[••H-’
,
t
..
-•-i *
-.
!
‘h
:
1
g%
;;!%ø_+
,
_3
:
:
::
‘.
•:
:
.
:
.
,
r4
‘
,
‘I
%
o
I
‘%.
,
0
v
(%:
,
)c
,
1
I
.
w.
%_
.
;
..
;
-:
-H+•
J<
;0
.
1
x
;
I
:
;
i4I
,A
0
31
L
‘I
(.
•0
I’
I
,o
.1
—
)
r”
,‘—‘
1
-,
43’
4’
I
I
•
0
I
.
,
1
!
4%
1
uI
1
L
;
‘
H
I
(
‘
0
.
:t
:
‘
L
(%%
i
Q%
ç
g
i4
I
4
‘IL
1so
%9
4%’
t
‘4
L•
.
4
:
4%
L1
I
L
.
.‘
•
f.
tH
--;--
L
Hr.
‘
L
.
:
1II
‘4’
.
‘:1
,
i’
•1
L
,,....mIIl%:
:i
‘$
llI[
-;
-..
w
‘
C4dh
(
Z
I
—
----
•
‘
--:
-
-
‘
-_1
:
r
—I
—
2
‘
‘
.—
•
-.
• -
:-
-:
x___ø
1
L
$
-.
...
I
I
--
:
,
4r
“
h_•
:
cfr
%
:
L
4
b
fJ,.
“
-
•—-•h•i--
-1-
:
.
H
i-f
LH
.
A
-1.i ..r
g
‘-
‘
,_•%
•:
A
t
:
‘
d;
.
:
:
I
‘—
.
!
,
‘%J
V
L
d
L3S
.
i
.
b4,4
-.,-
,
-
t-
--
.
.
—
;
I
.
:
:
—————————
.
—————
•———
;
i-L-’
•—r—
———
-L H
•-r
:
—
i-j:
:
-iH-
I
—j*
—
,
I
•4-4-
I
Lf
I
‘—
•
i—
I
————.—
•-r---r
:-
I
%
,
-
r
--
r•—
——
j
:
;
:
—
---
.
:
,
—
,
‘
.
4$
d
aI
;
:_•_•
—:
c1
--
:
.
o.
tl)
:
—,
.
:
:
—.I%
—
.
-
.
.
•
.
-
•
,.
:
:
.
:
.
-
‘
0
i,”
.
.
:
.
:
—
;
——
I
44
0
1
+
jø
d
.
.
—
1I
i4h
:
0
-
.
‘
0
C-’
p
3.
0
I
:
.
*
..
—.
.
.
.
-
:
.-
-C-’.
j
-
.,
..
.
.
..
,
.
4.
i—i,
.-J.
—
I..
0
t
%
I
-1
£9
.
‘
I
.
4r4’
--
—,
.4:
C’
C
4
—i’.
I’
41
3 ‘3
0
4’,
0
tI
t,1
j
1
¼
0
L
.
.
*
——:
p%)
%
,
,J;
J4
:
0
——
c,
%A
:
....
J%3
-
0
.
,.
:
:
.
1
:
%..,
;i
;
£)-.
.,
_t
)s
‘,-
;
.
.
L
I
-,
.
“
—
;
-•:
1
;i
.H
—
:..../
-
z
?
-?
—
‘
L
t
fL
- —
:1:
‘I
_.4’
‘A
:z
... -:
: :
‘1
i:;:.
h
t—
i
-V
.
:
*
—0
:
;-,
2.
--
H’
.
I
*
—
_
I
.
--
—‘7
—
—!
-I
:
.“.
..
:
-J
‘i
!;J
•1
‘
...-..
.i.
I’1
cr1
:
*
V
:
i••
i.
-
.
-*-
:L:*
_-
1—
i
!iH
)
;
.ç.
..
:
.
.
1
.
i—.;’
JH
I
j
4
j
>‘
!
-
t—
.
7%)
L•
H
:‘c
l;
:
‘,
.
:
tJ
•
•
I
H
I’
6
I
cb
‘
4
‘I
C
C”
2’
I’
.0
(A
I
‘p
1
j:
,c
4%.
‘%
.
0
L
0:
-1’
i-”
rJ
0
,
.
L
(‘
‘-
C-’
4
0
.
0’
40
A’
•L
c_
r’
,
4’-
C-;
:
e%q
,
4
“%
‘
t,’
.
a
;
‘
cr
‘-
r
i;
•
:
:
..
.
q
:
.9
:
:
.
•L
j”.
v
Lj;r
•
‘4
t
•
11’
ii
...
—
:
.
.
/)
:
±
oj.
,d
-‘
(I
I
1
I
“
d
c
I)
L
t,’
ç
9%%%
c
3
—
r
‘a
gj
:4’
•
.
%%
.1
—
.qI
.
:
—
,
.
*
4
?
—--—-
*
*
“4
0’
4
•0
(
0
0
L
0
;
(h
b
(,;9
.
?
,4)(
“‘
‘%b
“
C”,
L::
i”
.“
•
.
‘
:
I
:‘
Q
,.
L
.J
.
<.
Z:ç
CJb1(\PF%
.
i
:
i
3j
:
!
e
“
(a
V
L
-
—
i..
3
f
—
-
!
f’
i
.
:
;
-
t4
-rL
_SIi
,
-
_:
-
I
:
.
!‘
.i
H
.
k
oi.
I
%D
1
—
.
mb.it44
I
%I:
.
*:7
-
—
.
:
.
.
:
t.
:
:
zzz
-
.
:---
----
--.
-.___--
z
-
.
-----
-.-
:
.
:
I
j’t:/
-
.
---
-
--
----.-
---.
...
__—_-II-4
-
*::::.
.
%)
-
- --—----“-
-----
_•):
.—
-
.
-
(4 :ick
,:
--.-.
.
r-i
;
:
;
:
-
--
-*
I-
q c:A1
--
-
LAs,E
c’tvA 4
a’>
.+:
( ()
:
11
ic
‘%
3L
c
ic
‘
‘
j
-
I
-
sV1L
I’
.4
‘3
I
‘t
.‘
.‘.
a
ía
aa
,b4,
4
/
t
&
‘
a
1’
I
0
(%J
(t ‘‘
Lr1
civ,’
t
It
+
‘4
ç
1
t
4
:P%Ø
1
4
ki
‘4
+
+
1
:1*
1
(
%J
1k
1’
“
—%
%
,
,-Th
t-
I
jiI
.
-
T
)
I’
f
I
-4L
c%
T
h
%9
‘
I
\%?
I
[‘s
.
,
_
**
.J
‘.
,
&sr
-
.
“-:
.
.,..
.
.
:
,
•
:
..
•
•
O
0
jS
1
)
’
-
(QQ:
-
-
:
-
)
4J
01
-
“
::
.
.
—
—
—
..
-
-
——y
-
hI&I_
I
1
—
I
.
c
.
—
_
-
“
—
.
(:)
.
“
t
-—
._
:
->-(#)—-ç)%
+ I
-
-
---
:
(i)<;ç’
_) + 1
!$‘
T
“--“-
-
-
.
: :
r’
,
L
z
_
-
--
--
C)
—
.
EzL
H
I
.
,
0
0
14
HkL
I(
*4
1’
$
3
t
‘r:
?
‘-
•
4
i—
4
g%4•
_i
s3
cJ
w
ii
‘
4’
_I%
•8
(4
4
lb
..
_
.
;
‘
I
:
c••—6.
g
I
i
.
l%
(1
1_
.
‘A
r
L
H(
.
;“.
Ie
I
:
.
!%%H
.
r; : c’:
•
‘
;
‘
I
t
(%
•
.
H
;
.
1”
I
h-’
h
.
—
/h
:
h
—
I
i.
‘a
‘
“
_c
--
•H
-
:L
I—
.
—————.—
v’
-
.
-
-
—!—• •
4b
-
A
w..
I:L
.
————
!:L:_
ii
.;
I
—
.
L
-
:
:
%
Zi
-$i’
1t%
.
S
—
————
%
a
L.
‘
.
,-‘L
;‘
.
..
,
t’%
i:;;
.‘
.
•L—’
.
;,
..
.
•
.
!
4
4I
cb,’1
,
I
:
.,
*
r
.
:
4
r
;
.
.,
“
%4%
:‘‘V
.
,‘
c
“
.
LIt4:
.
4
*
,
‘*(
ø%1
L
:
i
k
L,l
::i
I’
L
I
If
2
cit
b
‘
S..
‘d
(%4
11
I
L
L
f)
1’
•
(1
,
i/I
(4
V
A.
iF
1
‘I’
0
‘4
‘I
‘4
4
1,1
‘
I
*
c
‘4’
J
1’
I
%1
I
LI’
0
“1
;
.
z
C’sjc
-
,
-t
s
-
rE
--
SA
rL
‘
j
(
CØ(X
..
-
.-
—
Cc
—
:—
“
&‘$5
—“-
—
-:
:
.
-
-
-
-
-
-
-
:
ççJi9
(4
)
j-
--“ “-
:
-
:
,.-- ..““
-
--.-
-
j)
-
-“
“-
.
.
I
—
-
&
( )
—-
(— — : . ) : —
TpW
-
•
,
-
+
.
:
i
:
:
+
—
!
&(—
:
I
1/
:‘—
1(
..,
11
1,
I
7%)
1
—
—-
,.,
1’
-
1
r
,x.
..
i
,
•“N
..
;“%•
r’
.
J
ill
1
,
‘
%
H
.,
çJ
L
+
-,
.,
.
,.
-4
J
$
,
9
Th
•1
0
7
I
1,
71
%
L
‘
r’
.x
1
•0
4J
,‘-
.c.
-
c’
“1
•%
1’
¶‘
4%
.?
-‘
“
.
:
+
I
(
%
-
x
L
a.
t%
e
*e
1
‘
4
CE
.,
U-:::
0
2
-
-
C,
J
‘
(_
;;
‘c
1
‘
‘
%
-x
\__
j\%%
w
-
-1
.__%
c-I-
I
c
s:
-(p
--
-4
‘
t
-.
—
-1’-
,1,
‘-
-
—
-
Cb
1*
-
—
--Cb
*-‘-Hç
+
£‘%4
-
1
I
ft
A
t
I
;)c
‘
±
:
“,
-
--
cL
LI’
1’.
-
—
--
.
.
---
-
-
,-%cJ
---
-I
-‘
“
--U
--i.
:
,--i;C%L
I’i-
4
--I
4
0
‘1,
1
r
0
.
:0
.
,,,
t
‘C
t
.,.
.
.v)
%
)* .4
0
0
,
b
*
,
7
%%•I
q
fI%%
..
.
1
‘t
.
•
,.
J
?
:
r
0
0
,,
.
4”.
•0
,‘
n
1
,
r
v,,
4,,
(3,
.
,;,
‘F’
‘-5
Ls:
I
f’
;,
:
‘I,
+
c_$.
,,
7%
2
‘-,
,
(
,
óL$
.
9%)
‘1
.
)c.
v
*z
lb.
s-—
.
JQ
—
.
.
.
i)iS dX
:
:
:
(
d4S
0
‘,
JO
-c9
1.
.
z
f
z:*
:s D
: : :c2;
,Q
.“
---
-,
—
:
zzz :
.
:
c
‘
,
.
3
‘
7
0
+
%%%
‘3
‘
,
,
‘
c,
*
%‘
—
c
—‘
%,
r
—%
A
cç
¶
V
N
1
‘1
c’
I!
%
I
0
t’
÷
‘1
--—.
.
•LH
Ht
;— J •i
:
H;
.
—
.
L
(Tb%_ø—
4
:
!
0
‘
.,
.—,————
_%
(4
%!J. .
C.’
-
4
1%
%
c
.
.
:
.
0’
-‘%
.
—
I
.
--
-
Nsç
•
•_:
o
;
‘
•
—I—
.
I
.-
-
•
:
•
-
.—
0
‘
,
:
-—:
%
(
-
r
-
.
‘
:
.——.
7
/‘
;
*
i-
1_•_
-ig —
I
1
0
_j
“
--‘
:
Ftt
-.
I;Ot
:cl
sb—:
ø’%.
,
m%
:
—-—.
rj
;.
_4
:
,
:: .cs : :‘
L
r
;
:
__%
:
,.
!
,
:
:
-.
I
L
*
.;.“
H
—
o.
‘4
I’
i ;:
L
1
i
; i
d
•
‘f
‘
.
.
1
L
-
.
1j%O
-
———
;
—
-
—
‘
—
,
——
————I——
—
‘:
.
——
.
—
j
:
••
.
:
.
.
.
•
••:•-
-
—
—