(a) y` + y = 0 (Ans: y(t) = Ce-t)

!#"$%'&(*),+.-./02143#5.6078!&9!&7:<;=>;="$?@"ACB=;;D'E&(7
F ;GIHKJ=LMHONQP FSRUTWV$X H FZY G0NQ[9\=]^_G
F D`GaH J Lcb=HdNePgfhi>j@H F PG0NQk FSRUTWV$X H FZY G0NQk$\ ]Kl#^ G
bK!#"$%'&(h+.-./021=3#5,6m(nop?'%@q$&7?W&7>;=E"$EprW>p"$?s;hr'tu"Aq$&(?'&7;E"$EprW>p"$?@"Ao),+.-./ F ;=vp?wxG
;=?'%y;z:';!{7rWE|;}!"$Er>"?g"A~+z-./ F Ddp?':€&7{>"?`G"$0rW?WqzB=;!|;="$?‚"Aƒj'&h{7"$?W!2;=?;:W:ƒ&7;p?'q
p?aq$&7?W&7>;=E"$EprW>p"$?@"A})U+.-./hW3„t…:€"$&z3†‡E|; F ;GIHKJ=Lcb=HdNQˆdfhi>j@H F PG0NQk FSRUTWV$X H FZY G0NebhLc\=]Kl#^_G
F D`GaHKJ=Lcb=HdN‰b Y fhpj@H F PG}Nek FSRUTWV$X H FZY G0N YŠŒl‹ LŽl \=]Kl#^_G
F {GaH J Lcb=HdN‰b=\ ]„^ fhi>j@H F PG0NQk FSRUTWV$X H FZY G0N Š \ ]„^ LMˆ\ ]Kl#^ G
F %`GaHKJ=Lcb=H.L’‘$\=]„^NQPdfhi>j@H F PG0N“k F_RUTWVX H F”Y G0NQk\=]„^_G
F &GaHKJ=Lcb=HdNe\=]Kl#^fhpjsH F P$G}Nek FSRUTWV$X H FZY G0N F”Y LckG\=]Kl#^_G
F A>GIHKJ=Lcb=HdNQ!? Y fhp>j@H F PG0N“k F_RUTWVX H F”Y G0N Š •‹ {("$ Y L l• p? Y L ‹• – \=]Kl#^_G
F qGIH J LM—SHON‡? Y fhp>j@H F PGoN Š l‹ FSRUTWV$X H FZY G0N Š l‹ {7" Y L l‹ — Y \ ]˜™^ G
kUšK&7{7"?'%„"%'&(›)U+z-./0>1=3#5.60fhi>jy{7"$?W!2;=?{7"K&(œy{(&7?7-,&(&7ty?W&*{2j<;>;={(>&(p!>p{h&7žr<;="$?;?'%
„K:€&z"Ao!"$Er>"?@;{7{("$%'p?'qd>"y"K">(
F ;GIH J J LMHONQPdfhpj@H F PG}NekO;?'%sH J F PGmNQP FSRUTWV$X H F”Y G0N“k0{7"$ Y G
F D`GaHKJ JLŸH N¡Pafhpj¢H F P$G,N£ks;?'%¢HJ F P$G,N Š kWO¤¥!p>&gj'&O"$EprW>p"$?¢;zH FZY G,N£¦§!? FZ¨mY L“©}G
fhp>j@¦«ªŸPW}¤‡j';=;&.¦¬ ¨ ;?W% ©}­ FSRUTWVX H F”Y G0N“k0{7"$ YŠ k0? Y NQkK® b¢!? FZY L«¯# ° GG
F {GaHKJ J=Lcb=HJ4L’HONQPdfhi>j@H F PG0N“ky;=?'%±HJ F PG0NQP FSRUTWV$X H FZY G0NQk FZY L‡xG!\=]^_G
F %`GaHKJ J=L’kHJ4L²b=HdNQPdfhp>j@H F PGoNekO;?'%sHKJ F PGmN“P F_RUTWVX H F”Y G0NQ‘\=]^ Š k\=]Kl#^_G
F &GaHKJ J$LcHJ Š b=HN³POfhpj H F PG›NŽk;?W% HKJ F PG›NŽ´<,<"$hfhj<;=B=;Er'& F >Gv"A´a%'"K&7v>j'&¬"$EprW>p"$?
&7t…;p?aDƒ"$rW?'%'&7%; Y0µ ¶ ­ FSRUTWV$X ´dN Š ‘G
F A>G@·=H J J LM¸ƒH J L¹kH…NºPWh<"$*fhj<;=t…p?'t…;E€B;=Er'&9"Ao¸w%W"&(>jW&‚"ErW"$?a>&(?'%"IPy; Yµ ¶
fhp>jW"$rWh"$!{7EpE|;=?'q ­ F_RUTWVX ¸@Neb ® x·=G
F qGIHKJ J»LMb=HJ»LMb=HgNePWm-,&>&7!t…p?'&UD€"ja{7"$ty:'E&½¼a;=?'%a&7;EƒA”"$!t…›"A¾>j'&,q&7?'&(>;E~!"$Er>"? FSRUTWV$X
H FZY G0Ne[ ‹ \=¿ ] ‹_À ˜ÂÁÂ^ Lc[ l \=¿ ] ‹ ]˜ÂÁÃ^ NQ\ ]^ F [ ¯ {7"$ Y Lc[  p? Y GG
ˆWÄh&7%Wr'{("$?@"A&({7"$?'%K„"$!%'&7U+.-./143#5.6’"…K!>&(tu"ACÅ<!„"%'&(U+.-./02143#5.6078!&¬Æ‚N“HJ ŠÈÇ Hƒ
F ;GIHKJ J=Lcb=HJ4L’HONQPdfhi>j Ç NQP Ç N Š F D`GaHKJ J=Lcb=HJ Š kHON“PW'H F PG0N“kW<HKJ F P$GN Š 'fhp>j Ç N“PW Ç Nށ Ç N Š k
·KUšK&7{7"?'%„"%'&(.+.-./021=3#5,6mB;&(žr'&7?>;EÅ'!„"$!%'&7,+.-./m>1=3#5.60(.8!&dÆyNŽH J Š’Ç HIfhj'&7!& Ç p
;d!""h"=Aj'&z{2j<;>;={(>&(p!>p{.&7žr<;="$?É
F ;GIH J J Lcb=H J L’HON Y <H F PG}NekWWH J F PGmN“PW'fhpj Ç N Š F_RUTWVX H FZY G0N YoŠ bhL F ˆ Y Lc·$G!\ ]^ G
F D`GaH J J L@b=H J Š kHONQÊ\ ^ H F PG}NekWH J F PG0N«$$fhpj Ç NŽ$ Ç N Š k F_RUTWVX H F”Y GoNe\ ] ¯ ^ L@b F”Y L xG\ ^ G
F {G@Äv&(%'r'{7&vHJ J Š b=HJLsHONŸË FZY G>"¬;.!K!&7tÌ"A€„f›"9Å<!„"%'&(›+.-./07"$?W&v"=Aƒfhj'p{2j…pmHKJN‡HmL±Æ
FSRUTWVX j'&z">jW&7+.-./cvÆ=JWNeÆLMË FZY GG
ÍÎÏvÐ'Ñ'ÒÓ>Ò7Ô!ՅÖpÐ'Ò7Ñ@×(ØÒم×(ÖÒ(ÐÓÚ
ÛÜÝaÞ Ò(Ó>Ò(ÔÕyÖÐ'Ò Ü ×7Ø$ÐWÚ!Ó Ü ÐÓgßuÚà'×2á¥Óá Ü Ó9â ۔ã!Ýzä ß ãå7æ Ú Ü Ó>ÖÚç<Ò7Ú9Ó>á'Òè Þ.é âKê êëeì4âKêWíŸîâ ä¡ï$å7æ Î
ÛSðUñWòó ß äŽôxÝ
۔õ`Ý@Þ Ò(Ó>Ò(ÔÕyÖÐ'Ò.×(Ø$Ð'ÚÓ Ü ÐÓ>Úö Ü Ð'Ñ÷Úà'×2ásÓ>á Ü Óvâ ۔ã!Ý}ä ö×7ØÚ`î ã ë’÷ƒÚ!ÖÐvî ã Ú Ü ÓÖÚ!ç'Ò7Ú*Ó>á'Ò¬è Þ.é
âKê ê=ëcì=âêíMîâ ä Ím×(Ø$Ú`î ã,ÛSðUñWò$ó ö äùúø û ÷ ä í…üú Ý
ý ÎUþcÿ ÿ 'ÔØ Ô Ü ÕyՅÖpÐ 'Î `àWÐ'×(ÓÖØ$Ð û Ü ÔÔ Ü Ú û × Ü ÖpÐgÚÒà'Ò7Ð'×(Ò û ×7ØKÒ(Ùy×7ÖpÒ7ÐÓhÖÚ!Ҭ؃Ò(Ô Ü ÓÖØ$Ð'Ú
ÛÜÝ Ô!ÖpÓ>Ò Ü Ó ›Ø ÖÐ'Ògþ²ÿ ÿ !”à'Ð'×Ó>ÖpØ$Ðç ÒgÖ"Õ Ò(ՅÒ(ÐÓ>Ö#Ð yÓá'$Ò ”à'Ð'×Ó>ÖpØ$Ð&% ۔ã!ÝhäŽãå('æ Î Ô!ÖpÓÒ Ü
ó -09/;134@25?B47A0C065D0851:EF=HGI947;<>K=J 47> (û L#M#NOP3QRTSUV Ý
Ú!Ó Ü Ó>Ò7ÕyÒ7ÐÓÓ>ØUØ õ Ó Ü Öp)Ð % Û ì Ý ÖÐzÓ>á'+Ò *›Ø$Õ…Õ Ü Ð'Ñ ÖÐWÑ',Ø zÎ ÛSðUñWò$.
۔õ`X
Ý W þcÿ ÿ ±ç Ò.ÖpÐ'× à'Ñ'Ò7Ú*Óá'YÒ ”Ø Z @Ø hÖpÐ gÚÓ Ü ÓÒ7ÕyÒ7ÐÓ>Ú
[]\^0_`badcfegh(ijlk(mn^[Ioph(of`^lh^[]`^lqrts
áÜ
Û × Ýˆ á Ü
ÛÑ
ÛÒ
Û
uu(u
m@v(wx\zy@cw{e(_e(\dabmj\|^I_|^lqr
e(_e(\da}_~qF\|s
ÓvÖÚnÓá'ҁ€0‚Yƒ²Ú!Ø „ Ò7ц… Û_ðUñWòó âKê
ÓvÖÚnÓá'ÒzÑ'ÖÕyÒ7Ð'Ú!ÖØ$ÐaØ(Óá'Ò Ü ÔÔ Ü,
ä .â ë’ö ã û â Û5‡$Ý0ä ì Ý
âIÔÒ(Úà Ó>ÖÐ#‰”ÔØ$Õ Ó á'Ò¬þ²ÿÿÚ!Ó Ü Ó>Ò(ՅÒ(ÐÓ
][ \^0_`badcfegh(ijlk(mn^Šo|‹Io u3Œ ‹^[IhslŽ Œ `n^[`^lqr†s
ÛSðUñWòó‘Kô“’ ì Ý
݈ á Ü ÓvÖÚnÓá'ÒzÑ'ÖÕyÒ7Ð'Ú!ÖØ$ÐaØ(Óá'Ò Ü ÔÔ Ü, âIÔÒ(Úà Ó>ÖÐ#‰”ÔØ$Õ Óá'Ò¬þ²ÿÿÚ!Ó Ü Ó>Ò(ՅÒ(ÐÓ
[]\^0_`badcfegh(ijlk(mn^Šo|‹[Io”f`n^[0hslŽ Œ `^[5`n^lqzr†s
ÛSðUñWòó–•!’ ì û • ÑWÒ(Ó>Ò(ÔÕyÖÐ'Ò(Ñ õ ( Ý
ÝXW þ²ÿÿ Ü Ô!Ô Ü â±á Ü Ú.Ñ'ÖpՅÒ(Ð'ÚÖpØ$Ð ô,‡ ô‰’ îWÎ á Ü Ó.ÖÚ Ü ×7Ø$ÕyÕ Ü Ð'єØ$ԗ ØÓ!Ó>ÖÐ#Ó>á'Ò¬Ó>á'ÖpÔÑ
×7Ø à'ՅÐ@Øâ „ Ò7Ô!Úà'ÚvÓ>á'Ò.ç<Ô!Ú!ÓvØ$Ð'҅ ÛSðUñWòó˜ Of™TPUš–P#›SœVnSŠš–P#›SlVV Ý
݈W þcÿÿ' ÔØ Ô Ü Õ ÖpÐ'× à'Ñ'Ò(ÚnÓ>á'ÒzÚ!Ó Ü Ó>Ò(ՅÒ(ÐÓ>ڟž¡ £¢ ¤Sl–¥Š¦‘SU§¤¥U¨¤SU©ªT¥¬« £¢ ¦‘¥U¨¤¥U­ªT¥ Î
µ¶
á Ü ÓyÖڂÓá'Ò@ÔÒ(Úà ÓOØÓá'Ò@×7Ø$ÕyÕ Ü Ð'Ñ'Ú®ž
…ž
… ÛSðUñWòó¡±²:ü0³ ´
Óá'ÒaÚÒ(×7Ø$Ð'Ñ
P#›SFœV|¯3°@«
P#›SœV°@«
û
' ø³
×7Ø$ÕyÕ Ü Ð'Ñ·'ÔØKÑ'à'×(Ò7Ú Ü ÐsÒ7ÔÔ!Ø$Ô*ÕyÒ7ÚÚ Ü $Ò Ý
õ Ò(ÔÚ û é à Ò7Ô¼ Ú½”Ø$Ô!Õgà Ü
ÛÜ݈¾ Ô Ü Ð'ÚU”ØÔÕuÓ>á'Òzç<Ô!Ú!ÓU¿#Ø$ÔÑWÒ7Ôv×7Ø$Õ" ÒKºÀ€0‚Yƒ¹â ê ë{ÁSâ äºåF æ û â Û]‡Ýä ìëÃÁ û ÖpÐÓ>Ø Ü ç<Ô!Ú!ÓU¿#Ø$ÔÑWÒ7ÔvÔÒ Ü(
€0‚Yƒ²ÖpÐ „ Ø „ ÖpÐ Ü Ú Ú!ÓÒ7ÕuØ CӛØy×7Øà Ò(ѱè Þ.é Ú Û áWÖÐÓ ómÜ Ú!Úà'ÕyÒzâ ä â ø ë{Á_â ü hÖpÓásâ ø Ü Ð'Ñsâ ü
ÔÒ Ü(¾Ü Ð'ÑsÖÑ'Ò(ÐÓÖ ÔÒ (Ü Ü Ð'ÑsÖÕ Ü $ÖpÐ Ü Ô Ü Ô!Ó>Ú Ý Î ÛSðUñWò$óÅÄÇÆÆlÈÈËÉzÊ:Ê Æl' ËÆ Ì+É ÌÔ͏ÎÏÏ Õ×Öæ æ ÆÆlËÉ0ÐÒÐÒъъÓÓ ÊÊ üø Ý
۔õ`Ý·Ø Ò(Ñ'à'×7ÒzÓ>áWÒ9KÒ º'ÔÒ(ÚÚÖpØ$Ðâ ۔ã!Ý0ä ø Ì ø  å Ð ø Ì Â Ó æ ë ø ' ø  å Ð ø ' Â Ó æ Ó>Ø Ü ÔÒ Ü ”à'Ð'×Ó>ÖØÐ~Î
ÛSðUñWòó â ۔ã!Ý0äQå7æ!Û ×7ØÚ ã ëMÚÖÐ ã!Ý!Ý
Û × Ý ÏÚÒ é à Ò7FÔ ¼ ÔÚ ”Ø$Ô!Õgà Ü Ó>ØdÑ'ÒÓ>Ò(ÔÕyÖÐ'Ò Ü Ða»Ò º'ÔÒ(ÚÚ!ÖØ$ÐsØ CÚÖpÐhî ã ÖpÐÓ>Ò(ÔÕyÚ*Ø C×7Ø$Ú ãÜ ÐWÑsÚ!ÖÐ ã,ÛSðUñWò$ó
ÚÖÐvî ã}ä î0ÚÖpÐ ã ×(Ø$Ú ü ã í ÚÖpÐ Ù ã!Ý Î
Ú Î ¾ áWÒ7Ø$Ô ÛÜX
Ý Û ÒÓUâ ø Ü Ð'ѱâ ü õ ÒzÓ ›Ø…ÚØ àWÓ>ÖpØ$Ð'Ú*Ø âKê ê$ë’ö ۔ã!Ý âê=ë²÷ ۔ã!Ý â Ü
ä ‡ ÔÎ Ýá',Ø ‰Ó>á Ü Óvâ ä ß â ë²ß â ÖpÚ
Ü Ú!Ø Ü Ú!Ø àWÓÖØ$ÐaØ(oâ ê ê ëcö ÛZã!Ý â ê ëc÷ ۔ã!Ý â 䡇 ”Ø$Ô Ü Ð ×2á'ØÖ×7ÒzØo×7Ø$ÐWÚ!Ó Ü ÐÓÚvß ø Ü ÐWÑø ß ø ü Î ü ü
۔õ`·
Ý Û ÒÓ*â Þ#ßà#á õ Ò Ü ÚØ àWÓ>ÖpØ$ÐØ ¾âê ê7ë¥ö ۔ã!Ý âKê7ë¥÷ ÛZã!Ý â ¡
ä ‡‚Ü Ð'Ña(â â7ã0äå õ Ò Ü ÚØ àWÓ>ÖpØ$Ð(Ø ¾âKê ê7ë¥ö ÛZã!Ý âê»ë
Û÷ Zã!Ý â ä % ÛZã!Ý ‘Î ÝáW@Ø “Ó>á Ü Ó*â ä (â Þßà#áUëÈ(â â7ã0äå0ÖpÚ Ü ÚØ Ü ÚØ àWÓÖØ$ÐI(Ø â ê ê ëMö ÛZã!Ý â ê ë ÷ ۔ã!Ý â ä % ۔ã!Ý Î
Û× ·
Ý Û ÒÓUâ ø õ Ò Ü ÚØ àWÓÖØ$Ð@Ø 0âê ê=ë²ö ÛZã!Ý âê=ë²÷ ۔ã!Ý â Ü
ä ‡ û â 5Û ‡Ýmä ö û âê 5Û ‡Ýä ÷ û Ü ÐWÑâ ü õ Ò Ü ÚØ àWÓ>ÖpØ$Ð
”
Û
!
ã
Ý
Z
Û
!
ã
Ý
ä
”
Û
!
ã
Ý
]
Û
‡
U
Ý
ä
]
Û
‡
,
Ý
؛âê êë“ö âKêëŸ÷ â % û â
âê 俇 Î"Ýá'Ø,ŒÓá Ü Ó9â ä â ø ë‡â ü ÖÚ Ü ÚØ àWÓ>ÖpØ$ЧØ
âKê ê=ë’ö ۔ã!Ý âê=ëc÷ ÛZã!Ý â ä % ÛZã!Ý û â 5Û ‡Ýoä ö û âKê 5Û ‡Ý0ä ÷xÎ
¸Î:*›ØÕ¹ »Ò ºIÐKàWÕ