a proof of the arithmetic mean-geometric mean-harmonic

 "
!
# $%&$ '
% %
& $ $ (%) $ $ $ )%*
(%) $ ! (%) " ' + & , * (- . /0
1 2
3
0
4 $ $ (%) - ! ( %
5 6 7 8 # 9
%2$
-%:
&$&; $ $ (%)%*
"
< <=
!"#$% &
!'()
*
+ & , -. / * 0,
! "# !$ % &
""
< <=
Ê 2 < >
<
"'
$ Æ Ê
? Ê $ <
"+
2
¼¼
¼
9
%2$
-%:
&$&; "+ $
$ $
$ "5
@ 9
%2$
-%:
&$&; $ $ $
"4
# (%)%* $ (%)%* $ '
'
('
)$
*
* (- ( A
A 884 575
" / 2 : B 2 A1 / A 3
1 ! B , /
9
BC:C?
C & 877
' .%9
D
! " *
E
/ 9
9
88' 9
+ . /0
1 "#$
E F
884
5 . /0
1 G 3 201 2%? H %& '
### .
A
(
( 887 " +'8I++7
4 . /0
1 2 3
0
.
A
(
( 886 566I567
6 G ( / , 2 ? 2 (
887 867 "6"'I"6'"
7 G ( ) 8 G *
' ' < G 2%? H ?&
B
' # . A
A
2 888 ! " # $% & $ ' ! ( )*++), ! " # - ./ 0 ! ./ (
121+++ ! " # . 1