1
SECONDARY SCHOOL IMPROVEMENT
PROGRAMME (SSIP) 2015
GRADE 12
SUBJECT:
MATHEMATICS
LEARNER HOMEWORK SOLUTIONS
(PAGE 1 OF 18)
© Gauteng Department of Education
2
SESSION 5
TOPIC: TRIGONOMETRY
SOLUTIONS TO SECTION C
1(a)
1(b)
1(c)
sin 34 cos10  cos 34 sin10
sin12 cos12
sin(34  10)

sin12 cos12
sin 24

sin12 cos12
2sin12 cos12

2
sin12 cos12
sin( 285)
  sin 285
  sin(360  75)
 ( sin 75)
 sin 75
 sin(45  30)
 sin 45 cos 30  cos 45 sin 30
 2  3   2   1 
6 2
 









 

4
 2  2   2   2 
cos 2 15  sin15 cos 75
cos 2 15  sin15 cos15 tan15
cos 2 15  sin15 cos(90  15)

 sin15 
cos 2 15  sin15 cos15 

 cos15 
cos 2 15  sin15.sin15

cos 2 15  sin 2 15
cos 2 15  sin 2 15

1
 cos 2 15  sin 2 15
 cos 2(15)
 cos 30 
 sin 24
 2sin12 cos12
 2
(3)
  sin 285
 sin 75
 sin 45 cos30  cos 45 sin 30
 2  3   2   1 

 2 
 2    2   2 


 

6 2

4
(5)
 cos2 15  sin15.sin15
sin15

cos15
 cos2 15  sin 2 15
1
 cos30
3

2
(6)
3
2
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3
2(a)
sin(45  ).sin(45  )
 sin 45 cos   cos 45 sin sin 45 cos   cos 45 sin 
 2
 2

2
2

cos  
sin   
cos  
sin  
2
2
 2
 2

 2
 2


(cos   sin )  
(cos   sin ) 
 2
 2

2
 (cos   sin )(cos   sin )
4
1
 (cos 2   sin 2 )
2
1
 cos 2
2
2(b)
3.
sin 75.sin15
 sin(45  30).sin(45  30)
1
 cos 2(30)
2
1
11 1
 cos 60    
2
22 4
sin 4
 expansion of sin(45  )
 expansion of sin(45  )
 sin 45  cos 45 
2
2
 (cos2   sin 2 )
1
 cos 2
2
(5)
 45  30 ; 45  30
1
 cos 60
2
1

4
(3)




 sin 2(2)
 2sin 2.cos 2
 2  2sin .cos   1  2sin 2 
2sin 2.cos 2
2sin .cos 
1  2sin 2
4sin .cos   8sin 3.cos 
(4)
 4sin .cos   8sin .cos 
3
4(a)
(tan x  1)(sin 2 x  2 cos 2 x)
 sin x 

 1  2sin x.cos x  2 cos 2 x 
cos
x


 sin x  cos x 

 2 cos x(sin x  cos x)
cos x


 2(sin x  cos x) 2
 2(sin 2 x  2sin x.cos x  cos 2 x)
 2(1  2sin x.cos x)
sin x
cos x
 2sin x cos x
sin x  cos x

cos x
 2cos x(sin x  cos x)

 2(sin 2 x  2sin x.cos x  cos2 x)
 2(1  2sin x.cos x)
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(6)
4
4(b)
5(a)
 cos2 x  sin 2 x
cos 2 x
cos x  sin x
cos 2 x  sin 2 x

cos x  sin x
 cos x  sin x  cos x  sin x 

cos x  sin x
 cos x  sin x
sin(45  )
  cos x  sin x  cos x  sin x 
 cos x  sin x
(3)
 sin 45.cos   cos 45.sin 
2
2

.cos  
.sin 
2
2
2

 cos   sin  
2
 sin 45.cos   cos 45.sin 
2
2

.cos  
.sin 
2
2
2

 cos   sin  
2
2  cos   sin  

2
5b)
(3)
 2sin .cos 
sin 2  2sin 2  45   
 2sin .cos   2 sin  45   
2
 2  cos   sin   
 2sin .cos   2 

2


 2  cos   sin  2 

 2sin .cos   2 


4


 2sin .cos    cos   sin  
2
 2  cos   sin   
 2

2


  cos   sin  
2
2
 cos2   2sin  cos   sin 2 
 cos2  sin 2
 1
2
 2sin .cos   cos 2   2sin  cos   sin 2 
 cos2  sin 2  1
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(6)
5
6(a)
cos  
 diagram
 Pythagoras
p
5
x p
r 5
p 2  y 2  ( 5) 2
 y  5 p
2

p
 5  p2
5
 y   5  p2
 5  p2
 tan  
p
2
(4)
 y   5  p2
 5  p2
 tan  
p
6(b)
cos 2  2cos2   1
 cos 2  2cos2   1
2
2
 p 
 2
 1
 5
2 p2

1
5
 p 
 2
 1
 5

2 p2
1
5
(3)
7.
sin 61 
a
1
x  ( a )  (1)
2
2
( 1 a ; a )
2
 x  1 a
1
 x  1 a
61
2
 diagram
 x  1 a
 cos58
 2cos2 29  1
 2sin 2 61  1
 2a  1
(6)
cos 73 cos15  sin 73 sin15
 cos(73  15)
 cos 58
 2 cos 2 29  1
 2sin 2 61  1
 2( a ) 2  1
 2a  1
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6
8(a)
8(b)
ˆ  94 s of a 
In KNI: N
sin 94 sin 48


15
KN
 KNsin94  15sin 48
15sin 48
 KN 
 11,17439264metres
sin 94
GN
And in GNK:
 tan 51
KN
 GN  KN tan 51  13,80 metres
Width is equal to the perpendicular distance between
KI and N.
width
 sin 38
KN
 width  KN sin 38
38
48

sin 94 sin 48

15
KN

KN  11,17439264 metres
GN

 tan 51
KN
 GN  13,80 metres (4)
 width  distance
width

 sin 38
KN
 width  5,8 metres
 width  5,8 metres
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(3)
7
SESSION 6
TOPIC: CALCULUS
SOLUTIONS TO SECTION C
f ( x  h)  f ( x )
h 0
h
1
 1 
1  ( x  h) 2   1  x 2 
4
 4 
 f ( x)  lim
h 0
h
1
1
1  ( x 2  2 xh  h 2 )  1  x 2
4
4
 f ( x)  lim
h 0
h
1
1
1
1
1  x 2  xh  h 2  1  x 2
4
2
4
4
 f ( x)  lim
h 0
h
1
1
 xh  h 2
4
 f ( x)  lim 2
h 0
h
1 
 1
h  x  h
2
4 
 f ( x)  lim 
h 0
h
1 
 1
 f ( x)  lim   x  h 
h 0  2
4 
1
 f ( x)   x
2
1(a)(2)
1
f (4)   (4)  2
2
1(a)(1)
1(a)(3)
f ( x)  lim
1
f ( x)  1  x 2
4
1
 f (2)  1  (2) 2
4
 f (2)  0
The answer represents the y-value corresponding to
x  2
1
4
 1  ( x  h) 2
1
4
 1  x 2
1
1
1
4
2
4
1
1
  xh  h2
2
4
1
1
   x  h 
4 
 2
1
 x
2
  x 2  xh  h2
(6)
 answer
(1)
 f (2)  0
 interpretation
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(2)
8
1(a)(4)
1(b)
1
f ( x)  1  x 2
4
f (2)  0
1
f (4)  1  (4) 2
4
 f (4)  3
(2 ; 0) and (4 ;  3)
3  0
3
1
Average gradient 


4  ( 2) 6
2
3
 3
 
xh  x
 f ( x)  lim
h0
h
3
3


 f ( x)  lim x  h x
h0
h

 f ( x)  lim
h 0
 f ( x)  lim
h 0
 f ( x)  lim
3 x 3( x  h )
x( xh)
h
3 x 3 x 3h
x( xh)
h
 f (2)  7
 f (4)  31
31  (7)

4  (2)
 4
(4)
3
 3
 
xh  x
3
3


xh x


3h
x( xh)
h
3

x ( x  h)
3
 2
x
(5)
3h
x( xh)
h 0
h
3h
1
 f ( x)  lim

h 0 x ( x  h ) h
3
 f ( x)  lim
h 0 x ( x  h )
3
 f ( x)  2
x
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9
2(a)
f ( x  h)  f ( x )
h0
h
2( x  h)  (2 x)
 lim
h0
h
2 x  2h  2 x
 lim
h0
h
2h
 lim
h0 h
 lim( 2)
f ( x)  lim
 2( x  h)  (2 x)
  x2  2 x
2h

h
 2
(4)
h0
 2
2(b)
2( x  h)3  (2 x3 )
h0
h
2( x  h)( x  h) 2  2 x 3
 g ( x)  lim
h0
h
g ( x)  lim
2( x  h)( x 2  2 xh  h 2 )  2 x 3
h0
h
3
2
2( x  2 x h  xh 2  x 2 h  2 xh 2  h3 )  2 x 3

 g ( x)  lim
h0
h
2( x3  3 x 2 h  3 xh 2  h3 )  2 x3
 g ( x)  lim
h0
h
3
2
2 x  6 x h  6 xh 2  2h3  2 x3

 g ( x)  lim
h0
h
2
2
6 x h  6 xh  2h3
 g ( x)  lim
h0
h
h( 6 x 2  6 xh  2h)
 g ( x)  lim
h0
h
2
 g ( x)  lim ( 6 x  6 xh  2h)

2( x  h)3  (2 x3 )
 6 x2h  6 xh2  2h3
 (6 x 2  6 xh  2h)
 6x 2
 g ( x)  lim
h0
 g ( x)  6 x 2
 g (2)  6(2) 2  24
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(5)
10
3(a)
f ( x)  (4 x  3) 2
 f ( x)  16 x 2  24 x  9
 16 x2  24 x  9
 32 x  24
(2)
 f ( x)  16  2 x 2 1  24  0
 f ( x)  32 x  24
3(b)
3(c)
1 

Dx  3 x 
x 

1 
 1
 Dx x3  x 2 


2
3
1 
1 
 x 3 x 2
3
2
1
1
 2  3
3x 3 2 x 2
D x ( x 2  x ) 2 
 x3  x
 D x  x 4  2 x 2 x  x 
1
 D x  x 4  2 x 2 x 2  x 


5
 D x  x 4  2 x 2  x 


 4 x3  5 x 2  1
1
1
2
1  32 1  32
x  x
3
2
1
1
 2 3
3x 3 2 x 2

(3)
5
 x 4  2 x 2  x
3
(5)
3
3(d)
 4 x3  5 x 2  1
2 x2  x  5
y
x
y 
2x
x
2
1
2
3
2
1
1
 x2
3
 2 x 2  1  5x
5
x
1
1
 y  2x  1  5x
1
dy
5 3
  3x 2  x 2
dx
2
1
dy
5
  3x 2  3
dx
2x 2
5
2
 3x 2  x
1
2
2
1
 3x 2 
1
2
3
2
5
3
2x 2
(4)
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11
4(a)
y  f ( x)  3x 2  2 x  2
xT  4
 f (4)  3(4) 2  2(4)  2
 f (4)  58
 yT  58
mT  f ( x)  6 x  2





f (4)  58
f ( x)  6 x  2
f (5)  26
y  58  26( x  (4))
y  26 x  46
(5)
 f (4)  6( 4)  2
 f (5)  26
y  yT  mt ( x  xT )
4(b)
 y  58  26( x  (4))
 y  58  26 x  104
 y  26 x  46
y  a ( x  0)( x  4)
Substitute the point (3 ; 6)
 6  a (3  0)(3  4)
 6  3a
 a  2
 y  2( x  0)( x  4)
 y  2 x( x  4)






 y  2 x 2  8 x
f ( x)  2 x 2  8 x
 f ( x)  4 x  8
 f (3)  4(3)  8  4
y  yT  mt ( x  xT )
 y  6  4( x  3)
 y  6  4 x  12
 y  4 x  18
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y  a( x  0)( x  4)
a  2
f ( x)  2 x2  8x
f ( x)  4 x  8
f (3)  4(3)  8  4
y  4 x  18
(6)
12
5.
x-intercepts:
0  x3  3 x 2  4
y-intercept:
 ( x  1)( x 2  4 x  4)  0
 ( x  1)( x  2)( x  2)  0
 x  1 or x  2
f ( x)  3x 2  6 x
4
 0  x3  3 x 2  4
 ( x  1)( x2  4 x  4)  0
 x  1 or x  2
 f ( x)  3x 2  6 x
 0  3x 2  6 x
 0  x2  2 x
 0  x( x  2)
 x  0 or x  2
f (0)  (0)3  3(0)2  4  4
For x  0
Max turning point at (0 ; 4)
f (2)  (2)3  3(2)2  4  0
For x  2
Min turning point at (2 ; 0)
f ( x)  3 x 2  6 x
 f ( x)  6 x  6
0  6x  6
 6 x  6
x 1
 0  3x 2  6 x
 x  0 or x  2
 (0 ; 4)
 (2 ; 0)
 f ( x)  6 x  6
 x 1
 (1;2)
f (1)  (1)3  3(1) 2  4
f (1)  2
The point of inflection is (1;2)
(0;4)
(1;2)
(1;0)
(2;0)
 intercepts with the
axes
 turning points
 shape
 point of inflection
(15)
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13
6(a)
h( x)  3x 2  2ax  b
h(1)  3(1) 2  2a(1)  b
0  3  2a  b
2a  b  3
(i)
h(2)  3(2) 2  2a(2)  b
0  12  4a  b
4a  b  12
(ii)
6a  9
(i)  (ii)
3
2
3
 2    b  3
2
b6
Average gradient
10  ( 3,5)

2  (1)
13,5

3
9

2
3
h( x )   x 3  x 2  6 x
2
 h( x)  3x 2  3x  6
h(2)  3(2)2  3(2)  6
h(2)  12
Point of contact (2 ; 2)
y  2  12( x  2)
y  12 x  22
 h( x)  3x 2  2ax  b
 h(1)  3(1)2  2a(1)  b
 2a  b  3
 h(2)  3(2)2  2a(2)  b
 4a  b  12
3
2
 b6
 a
(7)
a 
6(b)
6(c)
6(d)
h( x)  3 x 2  3 x  6
h( x)  6 x  3
6 x  3  0
1
x
2
10  (3,5)
2  (1)
9

2

(2)
3
2
2
h( x)  3x  3x  6
h(2)  12
y  12 x  22
h(2)  12
 h( x )   x 3  x 2  6 x




(5)
 h( x)  6 x  3
 6x  3  0
 x
1
2
(3)
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14
SESSION 7
TOPIC: ANALYTICAL GEOMETRY
SOLUTIONS TO SECTION C
1(a)
1(b)
 2  5 4  (1) 
E
;

2 
 2
7 3
 E ; 
2 2
(2)
 7 3   x  x y  yC 
E ;    A C ; A

2
2 2  2

 7 3   1  xC 3  yC 
E  ;   
;
2 
2 2  2
7 1  xC
3 3  yC
 
or

2
2
2
2
 7  1  xC
or 3  3  yC
 xC  6
1(c)
7 3
 E  ; 
2 2
or
7 1  xC

2
2
3 3  yC
 
2
2
 xC  6

 yC  0
 C(6 ; 0)
(5)
yC  0
 C(6 ; 0)
43 1
mAB 
 1
2 1 1
0  ( 1) 1
mCD 
 1
65
1
 mAB  mCD
 AB||CD
3  (1) 4
mAD 

 1
1 5
4
40 4
mBC 

 1
2  6 4
 mAD  mBC
 mAB
 mCD
 AB||CD
 mAD
 mBC
 AD||BC
 ABCD is a parallelogram
 mAB  mAD  1
 Â  90
 ABCD is a rectangle
(10)
 AD||BC
 ABCD is a parallelogram
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15
 ABCD is a parallelogram
Now mAB  mAD  (1)  (1)  1
 AB  AD
 Â  90
 ABCD is a rectangle
(since one interior angle of parallelogram ABCD is 90)
(d)
AB2  (2  1) 2  (4  3) 2
 AB2  (2  1)2  (4  3)2
 AB2  1  1
 AB  2
 AB2  2
 AD2  (5  1)2  (1  3)2
 AD  32
 Area ABCD  (4 2)( 2)
 AB  2
AD 2  (5  1) 2  (1  3) 2
 Area ABCD  8 units2
 AD  16  16
2
(6)
 AD  32  16  2  4 2
Area ABCD  AD  AB
 Area ABCD  (4 2)( 2)  8 units 2
B(2;4)
A(1;3)



C(6;0)

D(5;  1)
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16
(e)
tan   mBD
4  (1)
25
5
 tan   
3
  180  59
  121
 tan  
tan   mDC
0  (1) 1
 1
65
1
 tan   1
  45
ˆ    45
 OCD
 tan  
  
121    45
  76
2(a)
2(b)
3 y   px  6
p
y  x2
3
p
 tan135  
3
p
1  
3
p3
mAB  mBC
25 k  42

36
2k  3
k2
1 
2k  3
 2k  3  k  2
k  5

 tan   
   121
5
3
 tan   1
   45
   18, 43
ˆ    45
 OCD
 121    45
   76
(8)
p
x2
3
p
 tan135  
3
p
 1  
3
 p3
 y
(4)
 mAB  mBC
 working out gradients
 k 5
(3)
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17
3(a)
x 2  6 x   3  y 2  2 y  1  p   3  1
2
2
  x  3   y  1  p  10
2
2
3(b)
4(a)
4(b)
3 2 
2


centre   3; 1
2
2
 32
12
 x  32   y  12  p  10

 centre
 p  10

18  p  10
p 8
3 x  4 y  7
 4 y  3 x  7
3
7
y   x
4
4
3
 mCB  
4
4
 mtangent 
3
4
y  (1)  ( x  (1))
3
4
 y  1  ( x  1)
3
4
4
 y 1  x 
3
3
4
1
y  x
3
3
C(x ; 2)
Substitute y  2 into 3 x  4 y  7
3 x  4(2)  7
 3 x  15
 x  5
 C(  5; 2)
3 2 
(4)
2
 p  10
 p 8
(2)
3
7
 y  x
4
4
3
 mCB  
4
4
 mtangent 
3
4
 y  (1)  ( x  (1))
3
4
1
 y  x
3
3
(5)
 3x  4(2)  7
 x  5
 ( x  5)2  ( y  2)2  r 2
 ( x  5)2  ( y  2)2  25
 ( x  5) 2  ( y  2) 2  r 2
Now r  5
 ( x  5) 2  ( y  2) 2  25
© Gauteng Department of Education
(4)
18
4(c)
y  yB 
x x
C(  5; 2)   D B ; D

2
2


 x  (1) yD  (1) 
 C(  5; 2)   D
;

2
2


x 1
y 1
5  D
and 2  D
2
2
10  xD  1 and 4  yD  1
 xD  9
xD  1
2
yD  1
 2
2
 D(  9;5)
 5 
and yD  5
 D(  9;5)
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(4)