��������������������������������������������������������������������
����[�������������[{� � � � � � � � � ⩵ �� � + � + � ⩵ �}� {�� ��� �}� {�� ��� �}�
{�� ��� �}]� ����������������[{� + �� � + �� � + �}� {�� - ��� �}]� ���������������[
{{�� �� �}}� ������� -> ������� ��������� → ���������[�����]� ��������� → �����]]
����[�������������[{� == �� - � � � - � � - � � �� - � (� - �) + - � (� - �) + - (� - �) ⩵ �}�
{�� �� �}� {�� �� �}� {�� - ��� ��}]� ���������������[{{�� �� �}}�
������� -> ������� ��������� → ���������[�����]� ��������� → �����]�
����������������[{{� - � �� � - � �� �}}� {�� - �� �}� ������������� → ���������]]
2 ���
10_15_2015_DirectionalDerivative.nb
��������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������
�����������������(� - �)� + �� + �� ⩵ �� � {�� �� ���}� {�� �� ���}� {�� �� ���}�
���������������[{{�� �� �}}� ������� -> �������
��������� → ���������[�����]� ��������� → �����]
�����[�]
10_15_2015_DirectionalDerivative.nb
���3
������������������������(� - �)� + �� + �� ⩵ �� � {�� �� ���}�
{�� �� ���}� {�� �� ���}� ���� → ����� ������������ → �������[���]�
���������������[{{�� �� �}� {�� �� �}}� ������� -> �������
��������� → ���������[�����]� ��������� → �����]�
����������������[{� + ���[�] �� � + ���[�] �� �}� {�� �� �}]� {�� �� � ��}
�
�����������������������������������������������������������������������������������������
4 ���
10_15_2015_DirectionalDerivative.nb
�[�]
��������������������������������������������������������������������������������������
�[�� / �]
������������������������������������������������������������������������������������
��[���]
������������������������������������������������������������������������������������
10_15_2015_DirectionalDerivative.nb
���5
��[���]
������������������������������������������������������������������������������������
��[���]
����������������������������������������������������������������������������������������������
�[���]
�����������������������
6 ���
10_15_2015_DirectionalDerivative.nb
�������[�[�]� {�� �� � ��}]
�
10_15_2015_DirectionalDerivative.nb
��������
���7
�[�_] �= �����������
�����������������(� - �)� + �� + �� ⩵ �� � - ���[�] (� - �) + ���[�] (� - �) ⩵ �� {�� ��
���}� {�� �� ���}� {�� �� ���}� ���� → ����� ������������ → �������[���]�
���������������[{{�� �� �}� {�� �� �}}� ������� -> �������
��������� → ���������[�����]� ������������� → ��������[{�� �� �}� ���[� / �]]]�
����������������[{� + ���[�] �� � + ���[�] �� �}� {�� �� �}�
������������� → ��������[{�� �� �}� ���[����� ����� �]]]� ����������������
�
� + ���[�] �� � + ���[�] �� � - (� + ���[�] �)� - (� + ���[�] � - �)� � �
{�� - �� �}� ������������� → ��������[{�� �� �}� ���[� / �]]�
����������������� + ���[�] �� � + ���[�] ��
- ���[�]
�
+ ���[�] � + ��
{�� - �� �}� ������������� → ��������[{�� �� �}� ���[� / �]]�
����[��������[{{�� �}}� ������������� → ���]�
��������������[{� + ���[�] �� � + ���[�] �}� {�� �� �}�
������������� → ��������[{�� �}� ���[����� ����� �]]]]�
�
��������� - (� + ���[�] �)� - (� + ���[�] � - �)� � � {�� - �� �}�
������������� → ��������[{�� �}� ���[� / �]]� ����
-�
�
���[�] + ���[�] � + ��
{�� - �� �}� ������������� → ��������[{�� �}� ���[� / �]]� ��������[{{�� �}}]
� ��������� → ����
��[�_] �= �����������
�����������������(� - �)� + �� + �� ⩵ �� � {�� �� ���}�
{�� �� ���}� {�� �� ���}� ���� → ����� ������������ → �������[���]�
���������������[{{�� �� �}� {�� �� �}}� ������� -> �������
��������� → ���������[�����]� ������������� → ��������[{�� �� �}� ���[� / �]]]�
����������������[{� + ���[�] �� � + ���[�] �� �}� {�� �� �}�
������������� → ��������[{�� �� �}� ���[����� ����� �]]] �
����[��������[{{�� �}}� ������������� → ���]�
��������������[{� + ���[�] �� � + ���[�] �}� {�� �� �}�
������������� → ��������[{�� �}� ���[����� ����� �]]]]�
����[��������[{{�� �}}]]
� ��������� → ����
8 ���
10_15_2015_DirectionalDerivative.nb
��[�_] �= �����������
�����������������(� - �)� + �� + �� ⩵ �� � - ���[�] (� - �) + ���[�] (� - �) ⩵ �� {�� ��
���}� {�� �� ���}� {�� �� ���}� ���� → ����� ������������ → �������[���]�
���������������[{{�� �� �}� {�� �� �}}� ������� -> �������
��������� → ���������[�����]� ������������� → ��������[{�� �� �}� ���[� / �]]]�
����������������[{� + ���[�] �� � + ���[�] �� �}� {�� �� �}�
������������� → ��������[{�� �� �}� ���[����� ����� �]]] �
����[��������[{{�� �}}� ������������� → ���]�
��������������[{� + ���[�] �� � + ���[�] �}� {�� �� �}�
������������� → ��������[{�� �}� ���[����� ����� �]]]]�
����[��������[{{�� �}}]]
� ��������� → ����
��[�_] �= �����������
�����������������(� - �)� + �� + �� ⩵ �� � - ���[�] (� - �) + ���[�] (� - �) ⩵ ��
{�� �� ���}� {�� �� ���}� {�� �� ���}� ���� → �����
������������ → �������[���]� ���������������[{{�� �� �}� {�� �� �}}�
������� -> ������� ��������� → ���������[�����]�
������������� → ��������[{�� �� �}� ���[� / �]]]� ����������������
�
� + ���[�] �� � + ���[�] �� � - (� + ���[�] �)� - (� + ���[�] � - �)� � �
{�� - �� �}� ������������� → ��������[{�� �� �}� ���[� / �]]�
����������������[{� + ���[�] �� � + ���[�] �� �}� {�� �� �}�
������������� → ��������[{�� �� �}� ���[����� ����� �]]] �
����[��������[{{�� �}}� ������������� → ���]�
��������������[{� + ���[�] �� � + ���[�] �}� {�� �� �}�
������������� → ��������[{�� �}� ���[����� ����� �]]]]�
�
��������� - (� + ���[�] �)� - (� + ���[�] � - �)� � � {�� - �� �}�
������������� → ��������[{�� �}� ���[� / �]]� ��������[{{�� �}}]
� ��������� → ����
10_15_2015_DirectionalDerivative.nb
���9
������������������
�����������������(� - �)� + �� + �� ⩵ �� � - ���[�] (� - �) + ���[�] (� - �) ⩵ �� {�� ��
���}� {�� �� ���}� {�� �� ���}� ���� → ����� ������������ → �������[���]�
���������������[{{�� �� �}� {�� �� �}}� ������� -> �������
��������� → ���������[�����]� ������������� → ��������[{�� �� �}� ���[� / �]]]�
����������������[{� + ���[�] �� � + ���[�] �� �}� {�� �� �}�
������������� → ��������[{�� �� �}� ���[����� ����� �]]]� ����������������
�
� + ���[�] �� � + ���[�] �� � - (� + ���[�] �)� - (� + ���[�] � - �)� � �
{�� - �� �}� ������������� → ��������[{�� �� �}� ���[� / �]]�
����������������� + ���[�] �� � + ���[�] ��
- ���[�]
�
+ ���[�] � + ��
{�� - �� �}� ������������� → ��������[{�� �� �}� ���[� / �]]�
����[��������[{{�� �}}� ������������� → ���]�
��������������[{� + ���[�] �� � + ���[�] �}� {�� �� �}�
������������� → ��������[{�� �}� ���[����� ����� �]]]]�
�
��������� - (� + ���[�] �)� - (� + ���[�] � - �)� � � {�� - �� �}�
������������� → ��������[{�� �}� ���[� / �]]� ����
-�
�
���[�] + ���[�] � + ��
{�� - �� �}� ������������� → ��������[{�� �}� ���[� / �]]� ��������[{{�� �}}]
� ��������� → ����� {�� �� � ��}
10 ���
10_15_2015_DirectionalDerivative.nb
�
���������������������������������������������������(�������)�=����������(�����������
� = -�
�=�
-�
�
10_15_2015_DirectionalDerivative.nb
�����������[{
����[����������������[{� + � ���[�] ���[�]� � + � ���[�] ���[�]� � + � ���[�] }�
{�� �� �}� ������������� → ��������[{�� �}� ���[����� ����� �]]]�
���������������[{{�� �� �}}� ��������� → ���������[�����]]]�
����[����[(� + � ���[�] ���[�]) * (� + � ���[�] ���[�]) * (� + � ���[�])�
{�� - ��� ��}� ������������� → ��������[{�� �}� ���[� / �]]]�
����[(�� (���[�] ���[�]) + � (���[�] ���[�]) + � (���[�])) � + ��� {�� - ��� ��}�
������������� → ��������[{�� �}� ���[� / �]]]� ��������[{{�� ��}}]]
}� ��������� →
����]
��������
�[�_� �_] �= �����������[{
����[����������������[{� + � ���[�] ���[�]� � + � ���[�] ���[�]� � + � ���[�] }�
{�� �� �}� ������������� → ��������[{�� �}� ���[����� ����� �]]]�
���������������[{{�� �� �}}� ��������� → ���������[�����]]]�
����[����[(� + � ���[�] ���[�]) * (� + � ���[�] ���[�]) * (� + � ���[�])�
{�� - ��� ��}� ������������� → ��������[{�� �}� ���[� / �]]]�
����[(�� (���[�] ���[�]) + � (���[�] ���[�]) + � (���[�])) � + ��� {�� - ��� ��}�
������������� → ��������[{�� �}� ���[� / �]]]� ��������[{{�� ��}}]]
}� ��������� → ����]
�������[�[�� � ���[�]]� {�� �� ��}]
�
���11
12 ���
10_15_2015_DirectionalDerivative.nb
������
��
�� + ��
� {�� - �� �}� {�� - �� �}
10_15_2015_DirectionalDerivative.nb
���13
© Copyright 2026 Paperzz