Differential Calculus 201-NYA-05
Vincent Carrier
Exercise Sheet 25
6.5 L’Hospital’s Rule
Evaluate the following limits.
sin 2x
x→0 5x
2. lim
ex − x − cos 3x
x→0
x2
5. lim
3x − 2x
x→0 ex − 1
8. lim
1. lim
arctan x − π/4
x→1
1 − 1/x3
ln x
− e3
3. lim
x→1 e3x
4. lim
7. lim
1 − cos 2x
x→0 x sin 3x
tan 4x
x→π tan 3x
6. lim
ln3 x − 1
x→e 1 − e/x
9. lim
arctan 3x
x→0 arcsin 2x
x ln2 x
x→1 ex − ex
xex − sin x
x→0
x tan x
1 + cos 4x
x→0
sec 2x
11. lim
12. lim
x4
x→∞ ex
ln x
14. lim √
x→∞
x
15. lim
ln(x)
x→∞ ln(1/x)
17. lim
10. lim
13. lim
4x2 + 3e2x
x→∞ 3x2 + 4e2x
2x + x
x→∞ 3x + x
√
x2 + 1
20. lim
x→∞
x
16. lim
sin x
x→∞ x
19. lim
ln(e3x + x2 )
x→∞
x
18. lim
21.
22. lim+ x2 ln x
23. lim x3 e−x
25. lim+ (sin x)(ln x)
26. lim x2 e1/x
x→0
1
1
29. lim+
−
x→0
x sin x
x→0
28.
24. lim x(arctan x − π/2)
x→∞
x→0
lim (tan x − sec x)
x→π/2−
x→∞
2
√
31. lim+ (sin x)x
32. lim+ x
34. lim+ xtan x
35. lim (ex + x)e
x→0
37. lim 1 + e−x
x→∞
4
40. lim+ x1/x
x→0
x
x→∞
30. lim [ln(x + 1) − ln x]
x→∞
2
36. lim (cos 3x)1/x
x→0
1/x
38. lim (arctan x)e
x→∞
41. lim+ (1 − sin 2x)1/x
x→0
x→∞
x→∞
−x
ex
27. lim x sin(3/x)
33. lim (1 − 3/x)2x
x→0
x→0
ex
lim √
x→−∞ 3 x
39. lim+ (ln x)ln x
x→1
42. lim+ (ln ln x)ln ln x
x→e
Answers:
2
5
2.
1
3e3
3.
1
6
4. 5
5.
4
3
6.
2
3
7. ln 3 − ln 2
8. 3
9.
3
2
10. 2
11. 1
12.
2
e
13. 0
14. 0
15.
3
4
16. −1
17. 0
18. 3
19. 0
20. 1
21. 0
22. 0
23. 0
24. −1
25. 0
26. ∞
27. 3
28. 0
29. 0
30. 0
31. 1
32. 1
33. e−6
34. 1
35. 1
36. e−9/2
37. e
38.
40. 0
41. e−2
1.
π
2
39. 1
42. 1