Exponential and Logarithmic Bootcamp
1. Use the law of logarithms to expand the expressions:
√
a) ln x3
b) ln
x
yz
c) ln(2xy)
√
3 5
d) ln
2
√
e) ln
x3 · y 5
√
3
z
f) ln(x3
g) ln
x+2
x−2
r
h) ln
3
p
x4 + 9)
2
x
(x − 1)(x + 5)6
Math 111 F16 - Prof. Louie
2. Use the law of logarithms to write the expressions as a single logarithm:
a) ln 3 + ln 5 − ln 10
b) ln 16 − ln 4 − 3 ln 2
c) 2 ln x − 3 ln y + 4 ln z
d) ln(x2 + 2x + 1) − ln(x + 1)
e)
1
ln 27 − 2 ln(x + 3)
3
f) 2 ln x + ln(x + 1) − ln(x − 1)
g)
1
3 ln(x + 2) − 4 ln x − 2 ln(x2 − 4)
2
h) 4 ln 3 −
1
ln(x2 + 1)
2
3
1
2
i)
ln(x + 1) − 2 ln(x + 1) − ln(x − 1)
2
3
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3. Simplify the following expressions:
a) 92 · 91.5
b) 161/3 · 161/6
c)
255.3
254.8
d) 5x · 3x
e)
f)
x5/3
x1/3
x1/8
4
√
3
−2
g) √
3
54
h)
√
16a4 b3
√
5
96a6
√
5
3a
i)
j)
√
z
√
k) x
l)
p
5
2
√2/2
√
·y
x6 y 6
5
p
x3 y 4
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√
4
32x8
√
4
2
m)
n)
√ 1/2 √ 1/2
·
4
9
o)
3
√
3
4
p) 2x · 4x + 8x
q)
x8 + x8
x2
r)
(x2 + x)2
x
p
y3
s) x y + √
y
3 3
x
t)
a3 + a2
a2
u)
1 + 6 x + 4x + 2 x
2x
v)
x6
x3
+ x9
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4. Simplify the following expressions:
a) ln e6
√
b) ln e
c) 3 ln eπ
d) ln
√
5
2
e
√
e) ln e
e
f) ln(3e2 )
g) ln
1
e
h) e3 ln 5
i) eln
√
j) eln x
x
5
k) e3 ln x+sin x
l) 2 ln ex
3 +1
m) e− ln 3
n) e−(ln 2)/5
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5. For each equation, solve for x.
a) e2 ln x = 5
b) 3ex = 20
c) 5eln(−2x) = 5
d) ln e5x = 9
e) ln(3x + 1) = 2
f) ln x3 = 7
g) ln
√
3
x+2=1
h) 2 ln 3x = 1
i)
1
ln(x + 1)3 = 12
2
j) 2ex+2 = 5
k) 4 ln e3x = 15
l) ln
√
x+2=0
m) ln x + ln(x − 1) = ln 2
n) 2e−0.5x − 4 = 8
o)
40
= 10
1 + 2e0.4x
p)
800
= 50
100 − ex/2
q) e2x − 5ex + 6 = 0
r) ex = 3 + 4e−x
s) e2x − 6ex = −5
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Answers
1.
a)
3
ln x
2
b) ln x − ln y − ln z
c) ln 2 + ln x + ln y
d) ln 3 +
e)
1
ln 5 − ln 2
2
3
1
ln x + 5 ln y − ln z
2
3
f) 3 ln x +
1
ln(x4 + 9)
2
g) 2 ln(x + 2) − 2 ln(x − 2)
h)
or
2 [ln(x + 2) − ln(x − 2)]
1
1
ln x − ln(x − 1) − 2 ln(x + 5)
3
3
2.
a) ln
3
2
b) ln
1
2
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c) ln
x2 · z 4
y3
d) ln(x + 1)
3
(x + 3)2
f) ln
x2 (x + 1)
x−1
g) ln
(x + 2)3/2
x2 (x2 − 4)
e) ln
81
x2 + 1
√
!
x+2
2
x (x − 2)
= ln
h) ln
√
i) ln
(x2 + 1)3/2
(x + 1)3 (x − 1)1/2
!
3.
a) 97/2 = (91/2 )7 = 37
b) 4
c) 5
d) 15x
e) x4/3
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f) x1/2 or
g) −
√
x
1
3
h) 4a2 b3/2
i) 2a
j) z
√
k) (xy)
5
l) x9/2 · y 5
m) 2x2
n)
√
6
o) 9
p) 2 · 8x
q) 2x6
r) x3 + 2x2 + x
or
x(x + 1)2
s) x3 y 3 + xy
t) a + 1
u) 2−x + 3x + 2x + 1
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v)
1
x3 + x6
4.
a) 6
b)
1
2
c) 3π 2
d)
e)
1
5
√
e
f) ln 3 + 2
g) −1
h) 125
i)
√
x
j) x5
k) x3 · esin x
l) 2 · (x3 + 1)
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m)
1
3
1
n) √
5
2
5.
a)
√
b) ln
c) −
√
(− 5 is not an answer since we cannot plug a negative value into ln)
5
20
3
1
2
d)
9
5
e)
e2 − 1
3
f)
√
3
e7 or e7/3
g) e3 − 2
√
h)
e
3
i) e8 − 1
5
j) ln
−2
2
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k)
5
4
l) -1
m) 2
(reject -1 because we cannot plug it into the original equation)
n) −2 ln 6
5
o) ln
2
3
2
p) 2 ln 84
q) ln 2, ln 3
r) ln 4
s) ln 5, 0
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