MATHEMATICS 201-BNJ-05
Topics in Mathematics
Martin Huard
Winter 2014
XIII – Trig. Form and de Moivre
1. Find the absolute value and the principal argument for the given numbers
a) 1  i
c) 4  3i
b) 1  3i
d) 2  cos  34   i sin  34  
e) 2  cos  34   i sin  34  
2. Express the numbers in trigonometric form.
a) 4  4i
b) 5 3  5i
e) -4
d) 12  5i
3. Express z in standard form.
a) z  2 , Arg z  56
c) 3  4i
b) z  23 , Arg z  
4. Find the numbers in trigonometric forms.
2  2 3i
a)  2  2i  3  i
b)
1  i

d)  2  2i 

6
e)
g)  4  4i 
8

3
8
 81 i


3 i
 1 i 
h) 

 1 i 
7

f) 2  cos 34  i sin 34 
9
c)
z   , Arg z  4
c)
 2  2 3i   1  i  
f)
12
 2  2i 
20
i)


5
3 i

2  2i
5. Find the numbers in standard form.
a)

3 i

6
d)  2  cos 58  i sin 58  
b)
6
e)

1
2
 i
1
2
8
c)
 1  i 
5
1  i 
1
 3  cos
3
10
 i sin 310  
5
6. Prove the following using de Moivre’s Theorem.
a) cos 2  cos2   sin 2  and sin 2  2sin  cos
1
1
b) z n  n  2cos n and z n  n  2i sin n if z  cos  i sin 
z
z
7. Find expressions for cos 4 and sin 4 in terms of sin  and cos  .
8
4

6
3 i

XIII – Trig. Form and de Moivre
Math BNJ
8. Find all of the given complex numbers, and show them in the complex plane.
a)  64  cos 316  i sin 316   6
b)  9  2
d) 16i  4
e) 32 5
1
1
1

g) 4 3  4i
c)
1

1
3
 27i 
1
3
1
f) 16
h)  8  8i  6
1
i)
1  3i 
5
8
9. Find the number in standard form, if possible.
i
a)
d)
Winter 2014
6
64
b)
e)
4
i
3
4 3  4i
4
81
Martin Huard
c)
6
32 2  32 2i
2
XIII – Trig. Form and de Moivre
Math BNJ
ANSWERS
1. a) 2 , 4
d) 2, 34
b) 2,
e) 2,
2. a) 4 2  cos 4  i sin 4 
c) 5,   arctan 34
f) 2, 4

3
3
4
b) 10  cos 56  i sin 56 
c) 5  cos  arctan 43   i sin  arctan 43  
d) 13  cos   arctan 125   i sin   arctan 125  
e) 4  cos   i sin  
c)  cos 4  i sin 4
3. a)  3  i
b)
4. a) 4 2  cos 12  i sin 12 
b) 2 2  cos 125  i sin 125 
c) 8 2  cos 4  i sin 4 
d) 512i
e) 512i
f)
g) 64  cos 56  i sin 56 
h) 1
5. a) -64
b)
1
16
c)
2
3
1
2
 cos 34  i sin 34 
i) 4  cos 56  i sin 56 
 12 i
d) 32 2  32 2i
3 2
64
e)
1
243
i
6. a) Simplify  cos   i sin   in two ways, by expanding and using de Moivre.
2
7. cos  4   8cos4   8cos 2   1
8. a) 2  cos 3 9632 k  i sin 3 9632 k 
c) 3i,
Winter 2014
3 3
2
 23 i,  3 23  23 i
sin  4   8sin  cos3   4sin  cos 
k  0..5
b) 3i,  3i
d) 2  cos  84 k  i sin  84 k  k  0..3
Martin Huard
3
XIII – Trig. Form and de Moivre
Math BNJ
e) 2  cos 25 k  i sin 25 k  k  0..4
f) 1, 12 
12 k
12 k
 i sin  18
g) 2  cos  18
 k  0..2
h) 212  cos 3 248 k  i sin 3 248 k  k  0..5
3
2
i,  12 
3
2
i, 1,  12 
3
2
i, 12 
3
2
i
7
i) 28  cos 5 82 k  i sin 5 82 k  k  0..7
3
9. a)
2
2

2
2
i
d)  3  i
Winter 2014
b) cos 118  i sin 118
e)
2
3
c) 2  cos 38  i sin 38 
 cos 3136  i sin 3136 
Martin Huard
4