120
Chapter 3 Differentiation
È
6 È15
or 6 3 15 t Ÿ 4 Ê body is moving left (down); v 0 when
3
È
6 È15
t 6 3 15 Ê body is moving right (up)
3
È
body changes direction at t œ 6 „ 3 15 sec
È
È
È
È
body speeds up on Š 6 3 15 ß #‹ Š 6 3 15 ß %“ and slows down on ’!ß 6 3 15 ‹ Š#ß 6 3 15 ‹
(b) v 0 when 0 Ÿ t (c)
(d)
(e) The body is moving fastest at 7 units/sec when t œ 0 and t œ 4; it is moving slowest and stationary at t œ
(f) When t œ
6 È15
3
6 „ È15
3
the position is s ¸ 10.303 units and the body is farthest from the origin.
3.5 DERIVATIVES OF TRIGONOMETRIC FUNCTIONS
1. y œ 10x 3 cos x Ê
2. y œ
3
x
5 sin x Ê
3. y œ x2 cos x Ê
dy
dx
œ
dy
dx
5
(cos x) œ 10 3 sin x
(sin x) œ
d
dx
œ Èx sec x tan x dy
dx
5. y œ csc x 4Èx 7 Ê
"
x#
3
x#
d
dx
3
x#
5 cos x
œ x2 asin xb 2x cos x œ x2 sin x 2x cos x
4. y œ Èx sec x 3 Ê
6. y œ x# cot x œ 10 3
dy
dx
Ê
dy
dx
dy
dx
œ csc x cot x œ x#
œ x# csc# x 2x cot x sec x
2È x
d
dx
0 œ Èx sec x tan x 4
#È x
(cot x) cot x †
d
dx
sec x
2È x
0 œ csc x cot x ax# b 2
x$
2
Èx
œ x# csc# x (cot x)(2x) 2
x$
2
x$
sin x
2
7. faxb œ sin x tan x Ê f w axb œ sin x sec2 x cos x tan x œ sin x sec2 x cos x cos
x œ sin xasec x 1b
8. gaxb œ csc xcot x Ê gw axb œ csc xacsc2 xb acsc xcot xbcot x œ csc3 x csc x cot2 x œ csc xacsc2 x cot2 xb
9. y œ (sec x tan x)(sec x tan x) Ê
#
dy
dx
œ (sec x tan x)
d
dx
(sec x tan x) (sec x tan x)
#
d
dx
(sec x tan x)
œ (sec x tan x) asec x tan x sec xb (sec x tan x) asec x tan x sec xb
œ asec# x tan x sec x tan# x sec$ x sec# x tan xb asec# x tan x sec x tan# x sec$ x tan x sec# xb œ 0.
ŠNote also that y œ sec# x tan# x œ atan# x 1b tan# x œ 1 Ê
10. y œ (sin x cos x) sec x Ê
œ (sin x cos x)
dy
dx
d
dx
sin# x cos x sin x cos# x cos x sin x
cos# x
œ
"
cos# x
d
dx (sin x cos x)
(sin x cos x) sin x
x sin x
cos cos
cos# x
x
œ sec# x
ŠNote also that y œ sin x sec x cos x sec x œ tan x 1 Ê
11. y œ
œ
Ê
dy
dx
œ
(1 cot x)
csc# x csc# x cot x csc# x cot x
(1 cot x)#
12. y œ
œ
cot x
1 cot x
cos x
1 sin x
Ê
dy
dx
œ
sin x sin# x cos# x
(1 sin x)#
(1 sin x)
œ
d
dx
œ
œ 0.‹
(sec x) sec x
œ (sin x cos x)(sec x tan x) (sec x)(cos x sin x) œ
œ
dy
dx
(cot x) (cot x)
(1 cot x)#
d
dx
(1 cot x)
œ
dy
dx
œ sec# x.‹
(1 cot x) acsc# xb (cot x) acsc# xb
(1 cot x)#
csc# x
(1 cot x)#
d
(cos x) (cos x) dx
(1 sin x)
b (cos x) acos xb
œ (1 sin x) a(1sin xsin
(1 sin x)#
x)#
(1 sin x)
sin x 1
"
(1 sin x)# œ (1 sin x)# œ 1 sin x
d
dx
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Section 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions
13. y œ
4
cos x
"
tan x
14. y œ
cos x
x
x
cos x
œ 4 sec x cot x Ê
Ê
œ
dy
dx
œ 4 sec x tan x csc# x
dy
dx
x(sin x) (cos x)(1)
x#
15. y œ x# sin x 2x cos x 2 sin x Ê
121
(cos x)(1) x(sin x)
cos# x
œ
x sin x cos x
x#
cos x x sin x
cos# x
dy
dx
œ ax# cos x (sin x)(2x)b a(2x)(sin x) (cos x)(2)b 2 cos x
dy
dx
œ ax# (sin x) (cos x)(2x)b a2x cos x (sin x)(2)b 2(sin x)
œ x# cos x 2x sin x 2x sin x 2 cos x 2 cos x œ x# cos x
16. y œ x# cos x 2x sin x 2 cos x Ê
œ x# sin x 2x cos x 2x cos x 2 sin x 2 sin x œ x# sin x
17. faxb œ x3 sin x cos x Ê f w axb œ x3 sin xasin xb x3 cos xacos xb 3x2 sin x cos x œ x3 sin2 x x3 cos2 x 3x2 sin x cos x
18. gaxb œ a2 xbtan2 x Ê gw axb œ a2 xba2 tan x sec2 xb a1btan2 x œ 2a2 xbtan x sec2 x tan2 x
œ 2a2 xbtan xa sec2 x tan xb
19. s œ tan t t Ê
1 csc t
1 csc t
21. s œ
œ
Ê
œ sec# t 1
ds
dt
ds
dt
20. s œ t# sec t 1 Ê
sin t
1 cos t
Ê
ds
dt
œ 2t sec t tan t
(1 csc t)(csc t cot t) (" csc t)(csc t cot t)
(1 csc t)#
œ
csc t cot t csc# t cot t csc t cot t csc# t cot t
(1 csc t)#
22. s œ
ds
dt
(1 cos t)(cos t) (sin t)(sin t)
(1 cos t)#
œ
23. r œ 4 )# sin ) Ê
2 csc t cot t
(1 csc t)#
œ
dr
d)
œ ˆ) #
24. r œ ) sin ) cos ) Ê
dr
d)
d
d)
œ
cos t cos# t sin# t
(1 cos t)#
œ
cos t "
(1 cos t)#
œ 1 "cos t œ
"
cos t 1
(sin )) (sin ))(2))‰ œ a)# cos ) 2) sin )b œ )() cos ) # sin ))
œ () cos ) (sin ))(1)) sin ) œ ) cos )
dr
25. r œ sec ) csc ) Ê d)
œ (sec ))(csc ) cot )) (csc ))(sec ) tan ))
"
"
cos
)
sin ) ‰
"
"
#
#
œ ˆ cos ) ‰ ˆ sin ) ‰ ˆ sin ) ‰ ˆ sin" ) ‰ ˆ cos" ) ‰ ˆ cos
) œ sin# ) cos# ) œ sec ) csc )
26. r œ (1 sec )) sin ) Ê
27. p œ & "
cot q
œ
sin q cos q
cos q
Ê
dp
dq
œ
dp
dq
dp
dq
tan q
1 tan q
31. p œ
q sin q
q2 1
Ê
Ê
dp
dq
œ sec# q
œ (1 csc q)(sin q) (cos q)(csc q cot q) œ (sin q 1) cot# q œ sin q csc# q
(cos q)(cos q sin q) (sin q cos q)(sin q)
cos# q
cos# q cos q sin q sin# q cos q sin q
cos# q
30. p œ
œ
œ (" sec )) cos ) (sin ))(sec ) tan )) œ (cos ) ") tan# ) œ cos ) sec# )
œ 5 tan q Ê
28. p œ (1 csc q) cos q Ê
29. p œ
dr
d)
œ
"
cos# q
œ sec# q
(1 tan q) asec# qb (tan q) asec# qb
(1 tan q)#
dp
dq
œ
œ
ˆq2 1‰aq cos q sin qa1bb aq sin qba2qb
aq 2 1 b 2
œ
sec# q tan q sec# q tan q sec# q
(1 tan q)#
œ
œ
sec# q
(1 tan q)#
q3 cos q q2 sin q q cos q sin q 2q2 sin q
aq 2 1 b 2
q3 cos q q2 sin q q cos q sin q
aq 2 1 b 2
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122
Chapter 3 Differentiation
aq sec qbˆ3 sec2 q‰ a3q tan qbaq sec q tan q sec qa1bb
aq sec qb2
3
2
ˆ
3q sec q q sec q 3q sec q tan q 3q sec q q sec q tan2 q sec q tan q‰
q sec3 q 3q2 sec q tan q q sec q tan2 q sec q tan q
32. p œ
œ
3q tan q
q sec q
Ê
dp
dq
œ
œ
aq sec qb2
aq sec qb2
33. (a) y œ csc x Ê yw œ csc x cot x Ê yww œ a(csc x) acsc# xb (cot x)(csc x cot x)b œ csc$ x csc x cot# x
œ (csc x) acsc# x cot# xb œ (csc x) acsc# x csc# x 1b œ 2 csc$ x csc x
(b) y œ sec x Ê yw œ sec x tan x Ê yww œ (sec x) asec# xb (tan x)(sec x tan x) œ sec$ x sec x tan# x
œ (sec x) asec# x tan# xb œ (sec x) asec# x sec# x 1b œ 2 sec$ x sec x
34. (a) y œ 2 sin x Ê yw œ 2 cos x Ê yww œ 2(sin x) œ 2 sin x Ê ywww œ 2 cos x Ê yÐ%Ñ œ 2 sin x
(b) y œ 9 cos x Ê yw œ 9 sin x Ê yww œ 9 cos x Ê ywww œ 9(sin x) œ 9 sin x Ê yÐ%Ñ œ 9 cos x
35. y œ sin x Ê yw œ cos x Ê slope of tangent at
x œ 1 is yw (1) œ cos (1) œ "; slope of
tangent at x œ 0 is yw (0) œ cos (0) œ 1; and
slope of tangent at x œ 3#1 is yw ˆ 3#1 ‰ œ cos 3#1
œ 0. The tangent at (1ß !) is y 0 œ 1(x 1),
or y œ x 1; the tangent at (0ß 0) is
y 0 œ 1(x 0), or y œ x; and the tangent at
ˆ 31
‰
# ß 1 is y œ 1.
36. y œ tan x Ê yw œ sec# x Ê slope of tangent at x œ 13
is sec# ˆ 13 ‰ œ 4; slope of tangent at x œ 0 is sec# (0) œ 1;
and slope of tangent at x œ
1
3
is sec# ˆ 13 ‰ œ 4. The tangent
at ˆ 13 ß tanˆ 13 ‰‰ œ Š 13 ß È3‹ is y È3 œ 4ˆx 13 ‰ ;
the tangent at (0ß 0) is y œ x; and the tangent at ˆ 13 ß tan ˆ 13 ‰‰
œ Š 13 ß È3‹ is y È3 œ 4 ˆx 13 ‰ .
37. y œ sec x Ê yw œ sec x tan x Ê slope of tangent at
x œ 13 is sec ˆ 13 ‰ tan ˆ 13 ‰ œ 2È3 ; slope of tangent
is sec ˆ 14 ‰ tan ˆ 14 ‰ œ È2 . The tangent at the point
ˆ 1 ß sec ˆ 1 ‰‰ œ ˆ 1 ß #‰ is y 2 œ #È3 ˆx 1 ‰ ;
at x œ
1
4
3
3
3
the tangent at the point
3
ˆ 14 ß sec ˆ 14 ‰‰
œ
Š 14 ß È2‹
is y È2
œ È2 ˆx 14 ‰ .
38. y œ 1 cos x Ê yw œ sin x Ê slope of tangent at
È
x œ 13 is sin ˆ 13 ‰ œ #3 ; slope of tangent at x œ
‰ œ 1. The tangent at the point
is sin ˆ 31
#
31
#
ˆ 13 ß " cos ˆ 13 ‰‰ œ ˆ 13 ß 3# ‰
È
is y 3# œ #3 ˆx 13 ‰ ; the tangent at the point
ˆ 3#1 ß " cos ˆ 3#1 ‰‰ œ ˆ 3#1 ß 1‰ is y 1 œ x 3#1
39. Yes, y œ x sin x Ê yw œ " cos x; horizontal tangent occurs where 1 cos x œ 0 Ê cos x œ 1 Ê x œ 1
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