Graphs for Section 6.4 Homework
Problems 2:
> h:=Heaviside(t-Pi)-Heaviside(t-2*Pi);
h := Heaviside( t − π ) − Heaviside( t − 2 π )
> DE02:=diff(y(t),t$2)+2*diff(y(t),t)+2*y(t)=h;
⎛ ∂2
⎞
⎛∂
⎞
DE02 := ⎜⎜ 2 y( t ) ⎟⎟ + 2 ⎜⎜ y( t ) ⎟⎟ + 2 y( t ) = Heaviside( t − π ) − Heaviside( t − 2 π )
⎝ ∂t
⎠
⎝ ∂t
⎠
> Y:=dsolve({DE02,y(0)=0,D(y)(0)=0},y(t),method=laplace);
1 ( −t + π )
⎛ 1 1 ( −t + π )
⎞
Y := y( t ) = Heaviside( t − π ) ⎜⎜ + e
cos( t ) + e
sin( t ) ⎟⎟
2
⎝2 2
⎠
1 ( −t + 2 π )
⎛ 1 1 ( −t + 2 π )
⎞
+ ⎜⎜ − + e
cos( t ) + e
sin( t ) ⎟⎟ Heaviside( t − 2 π )
2
⎝ 2 2
⎠
> plot([rhs(Y),h],t=0..3*Pi,color=[black, green]);
Problem 4
> h:=sin(t)+Heaviside(t-Pi)*sin(t-2*Pi);
h := sin( t ) + Heaviside( t − π ) sin( t )
> DE04:=diff(y(t),t$2)+4*y(t)=h;
⎛ ∂2
⎞
DE04 := ⎜⎜ 2 y( t ) ⎟⎟ + 4 y( t ) = sin( t ) + Heaviside( t − π ) sin( t )
⎝ ∂t
⎠
> Y:=dsolve({DE04,y(0)=0,D(y)(0)=0},y(t),method=laplace);
1
1
1
⎛1
⎞
Y := y( t ) = ⎜⎜ sin( 2 t ) + sin( t ) ⎟⎟ Heaviside( t − π ) − sin( 2 t ) + sin( t )
3
6
3
⎝6
⎠
> plot([rhs(Y),h],t=0..4*Pi,color=[black, green]);
Problem 6
> h:=Heaviside(t-2);
h := Heaviside( t − 2 )
> DE06:=diff(y(t),t$2)+3*diff(y(t),t)+2*y(t)=h;
⎛ ∂2
⎞
⎛∂
⎞
DE06 := ⎜⎜ 2 y( t ) ⎟⎟ + 3 ⎜⎜ y( t ) ⎟⎟ + 2 y( t ) = Heaviside( t − 2 )
⎝ ∂t
⎠
⎝ ∂t
⎠
> Y:=dsolve({DE06,y(0)=0,D(y)(0)=1},y(t),method=laplace);
⎛ 1 1 ( −2 t + 4 ) ( − t + 2 ) ⎞
⎛1 ⎞
(− 3 / 2 t)
⎟⎟ + 2 e
Y := y( t ) = Heaviside( t − 2 ) ⎜⎜ + e
sinh⎜⎜ t ⎟⎟
−e
⎠
⎝2 2
⎝2 ⎠
> plot([rhs(Y),h],t=0..3*Pi,color=[black, green]);
Problem 9
> h:=(t/2)*(1-Heaviside(t-6))+3*Heaviside(t-6);
1
t ( 1 − Heaviside( t − 6 ) ) + 3 Heaviside( t − 6 )
2
> DE09:=diff(y(t),t$2)+y(t)=h;
h :=
⎛ ∂2
⎞
1
DE09 := ⎜⎜ 2 y( t ) ⎟⎟ + y( t ) = t ( 1 − Heaviside( t − 6 ) ) + 3 Heaviside( t − 6 )
2
⎝ ∂t
⎠
> Y:=dsolve({DE02,y(0)=0,D(y)(0)=1},y(t),method=laplace);
1 ( −t + π )
⎛ 1 1 ( −t + π )
⎞
Y := y( t ) = Heaviside( t − π ) ⎜⎜ + e
cos( t ) + e
sin( t ) ⎟⎟
2
⎝2 2
⎠
⎛ 1 1 ( −t + 2 π )
1 ( −t + 2 π )
⎞
( −t )
+ ⎜⎜ − + e
cos( t ) + e
sin( t ) ⎟⎟ Heaviside( t − 2 π ) + e sin( t )
⎝ 2 2
2
⎠
> plot([rhs(Y),h],t=0..13,color=[black, green]);
Problem 19
> h:=1+2*sum('((-1)^k)*Heaviside(t-k*Pi)', 'k'=0..15);
h := 1 + 2 Heaviside( t ) − 2 Heaviside( t − π ) + 2 Heaviside( t − 2 π ) − 2 Heaviside( t − 3 π )
+ 2 Heaviside( t − 4 π ) − 2 Heaviside( t − 5 π ) + 2 Heaviside( t − 6 π ) − 2 Heaviside( t − 7 π )
+ 2 Heaviside( t − 8 π ) − 2 Heaviside( t − 9 π ) + 2 Heaviside( t − 10 π ) − 2 Heaviside( t − 11 π )
+ 2 Heaviside( t − 12 π ) − 2 Heaviside( t − 13 π ) + 2 Heaviside( t − 14 π ) − 2 Heaviside( t − 15 π )
> plot(h,t=0..60);
> DE19:=diff(y(t),t$2)+y(t)=h;
⎛ ∂2
⎞
DE19 := ⎜⎜ 2 y( t ) ⎟⎟ + y( t ) = 1 + 2 Heaviside( t ) − 2 Heaviside( t − π ) + 2 Heaviside( t − 2 π )
⎝ ∂t
⎠
− 2 Heaviside( t − 3 π ) + 2 Heaviside( t − 4 π ) − 2 Heaviside( t − 5 π ) + 2 Heaviside( t − 6 π )
− 2 Heaviside( t − 7 π ) + 2 Heaviside( t − 8 π ) − 2 Heaviside( t − 9 π ) + 2 Heaviside( t − 10 π )
− 2 Heaviside( t − 11 π ) + 2 Heaviside( t − 12 π ) − 2 Heaviside( t − 13 π ) + 2 Heaviside( t − 14 π )
− 2 Heaviside( t − 15 π )
> Y:=dsolve({DE19,y(0)=0,D(y)(0)=0},y(t),method=laplace);
Y := y( t ) = 3 + ( −4 Heaviside( t − 13 π ) − 4 Heaviside( t − π ) − 4 Heaviside( t − 15 π )
− 4 Heaviside( t − 3 π ) − 4 Heaviside( t − 5 π ) − 4 Heaviside( t − 7 π ) − 4 Heaviside( t − 9 π )
2
⎛1 ⎞
− 4 Heaviside( t − 11 π ) ) cos⎜⎜ t ⎟⎟ + ( 4 Heaviside( t − 4 π ) + 4 Heaviside( t − 6 π )
⎝2 ⎠
+ 4 Heaviside( t − 8 π ) + 4 Heaviside( t − 10 π ) + 4 Heaviside( t − 12 π ) + 4 Heaviside( t − 14 π )
2
⎛1 ⎞
+ 4 Heaviside( t − 2 π ) ) sin⎜⎜ t ⎟⎟ − 3 cos( t )
⎝2 ⎠
> plot(rhs(Y),t=0..60);
Problem 21
> h:=1+sum('((-1)^k)*Heaviside(t-k*Pi)', 'k'=0..15);
h := 1 + Heaviside( t ) − Heaviside( t − π ) + Heaviside( t − 2 π ) − Heaviside( t − 3 π )
+ Heaviside( t − 4 π ) − Heaviside( t − 5 π ) + Heaviside( t − 6 π ) − Heaviside( t − 7 π )
+ Heaviside( t − 8 π ) − Heaviside( t − 9 π ) + Heaviside( t − 10 π ) − Heaviside( t − 11 π )
+ Heaviside( t − 12 π ) − Heaviside( t − 13 π ) + Heaviside( t − 14 π ) − Heaviside( t − 15 π )
> plot(h,t=0..60);
> DE21:=diff(y(t),t$2)+y(t)=h;
⎛ ∂2
⎞
DE21 := ⎜⎜ 2 y( t ) ⎟⎟ + y( t ) = 1 + Heaviside( t ) − Heaviside( t − π ) + Heaviside( t − 2 π )
⎝ ∂t
⎠
− Heaviside( t − 3 π ) + Heaviside( t − 4 π ) − Heaviside( t − 5 π ) + Heaviside( t − 6 π )
− Heaviside( t − 7 π ) + Heaviside( t − 8 π ) − Heaviside( t − 9 π ) + Heaviside( t − 10 π )
− Heaviside( t − 11 π ) + Heaviside( t − 12 π ) − Heaviside( t − 13 π ) + Heaviside( t − 14 π )
− Heaviside( t − 15 π )
> Y:=dsolve({DE21,y(0)=0,D(y)(0)=0},y(t),method=laplace);
Y := y( t ) = 2 ( −Heaviside( t − 13 π ) − Heaviside( t − π ) − Heaviside( t − 15 π )
− Heaviside( t − 3 π ) − Heaviside( t − 5 π ) − Heaviside( t − 7 π ) − Heaviside( t − 9 π )
2
⎛1 ⎞
− Heaviside( t − 11 π ) ) cos⎜⎜ t ⎟⎟ + 2 ( Heaviside( t − 4 π ) + Heaviside( t − 6 π )
⎝2 ⎠
+ Heaviside( t − 8 π ) + Heaviside( t − 10 π ) + Heaviside( t − 12 π ) + Heaviside( t − 14 π )
2
⎛1 ⎞
+ Heaviside( t − 2 π ) ) sin⎜⎜ t ⎟⎟ − 2 cos( t ) + 2
⎝2 ⎠
> plot(rhs(Y),t=0..60);
>
>