1
üÿù þü
ü-ùùÿ
9.1 (i) y=
y
1
, y=x, y=4
x2
4
 11


y2
E= ∫  y- 1  dy= -2 y  =
1
y
2

1 2
4
4
1
(ii)
y
1

1 x3 
9
E= ∫ (6-x ) - x +4  dx=  2x- 2 -  =

-2 
x 3  -2 2

y=x 2 +4
(
1
)
2
y=6-x
-2
1
(iii)
E=E1 +E 2 +E3
E1 = ∫
0
5
(sinx-cosx)dx= -cosx-sinx ] =2 2
2
2
E3 = ∫ (cosx-sinx)dx= sinx+cosx ]5 =1+ 2
5
E2 =∫
5
4
5
E=4 2
(iv)
E= E1 +E 2
y=- 5 x+7
7
E2
E1
y=3-x y=3-x
y=x+1
-5
1
2 3
E=14 +9 =24
5 5
5
(cosx-sinx)dx= sinx+cosx ]0 = 2-1
1  x
1  4x



E1 = ∫  - +7  - (3-x ) dx= ∫  +4  dx
-5
-5
 5

 5 

1

2x 2
2
=
+4x  =14
5
5
 −5
5  x
5  6x



E 2 = ∫  - +7  - ( x+1) dx= ∫  - +6  dx
1
1
 5

 5 

5

3x 2
3
=+6x  =9
5
5
1
2
9.2
y=x
!Œ0
2
k
k
2
x3
x3
=
⇔
3 0 3
k
ÿ
∫0
E1
.
-b
.FRV .VLQG . 2 ∫
ñ!.: E=
⇔
k
k 3 8-k 3
=
⇒ k 3 =4 ⇒ k= 3 4
3
3
4b 4b
. 2 [ 2 G[
,
∫
0 .
0
.
.
+.2 #Œ
1)2
#I$ #0
⇒
x= Œ
x=0 → [ . → 2
E=4∫
.
2
2
2
9.3 )&1#02!." E=4E1
b
2
∫0 x dx = ∫k x dx
0
b
. 2 [ 2 G[
FRV 2G . 2 ∫
1+cos2
0
4b 4b Œ. 2
I=
=Œ.E
.
. Œ
4
2
Œ
2
9.4 (i) y=cosx, x= , x= , y=0
!
V=Œ ∫" FRV[G[
!
!
Π[VLQ[ ]"
!
( )
(
Π)
2
2
2
V=Œ ∫" ( [ ) [ 2  G[ Œ ∫" [ 2 [ 4  G[


(ii) y=x 2 ,y=4x
#$
1 
16
=Œ  [ 3 [ 5 
5  #%
3
y=4x
y=x 2
4
2048
Œ
15
 VLQ 
G . 2  4  0
2
.2Œ
4
3
9.4 (iii) y=sinx, y=cosx, x=0, x=
V=Œ ∫
y=sinx
&'
0
Œ
4
(FRV [VLQ [ ) G[ Œ ∫
2
2
&'
0
&'
Œ
2
 sin2x 
FRV[G[ Œ 
 2  0
y=cosx
( )
(iv) y= x , y=x
V=Œ ∫ 
0

1
y= x
( [)
2
1
1
 x 2 x3 
[  G[ Œ ∫ [[ 2 G[ Œ  

0
 2 3 0
(
2
)
Œ
6
y=x
1
(v) y=x 2 -2x, y=0
(
)
V=Œ ∫ [ [ G[ Œ ∫
2
0
2
2
2
0
(
2
 x5
4x 3  16Œ
[ [ [ G[ Œ  [ 4 
3  0 15
5
4
3
2
)
2
(vi) y= -3x-x 2 , y=0
(
V=Œ ∫ [[
0
-3
-3
2
)
2
G[ Œ ∫
0
-3
(
0

3
x5 
81Œ
[ [ [ G[ Œ [ 3 [ 4 
2
5  -3 10

2
3
4
)
4
9.5 (i) y=2x-x 2 , y=0
V=2Œ ∫ [I[G[ Œ ∫
2
2
0
0
2
2
x4  8
[ [[ G[ Œ  [ 3 
Œ
3
4
3

0
(
2
)
2
(ii) y=x 2 , x=y 2
V=2Œ ∫ [  [ [  G[ Œ ∫
0
0
1
1
1
2
(
1
 2 5 2 x4 
3
[ [ G[ Œ  [ 
Œ
4  0 10
5
32
3
)
1
(iii) y=x 2 +1, y=x+3, x=0
*
V=2Œ ∫+ [ ( \1 \ 2 ) G[
y=x+3
3
1
y=x 2 +1
2
(
)
V=2Œ ∫ [ ( [) [  G[ Œ ∫


0
0
2
2
2
(
2
 x 3 2 x 4  16
[ [[ G[ Œ  [ 
Œ
4 0 3
3
2
3
)
(iv) y=x 4 , x=1, y=0
1
 x6 
V=2Œ ∫ [\G[ Œ ∫ [ [ G[ Œ  
0
0
 6 0
1
1
1
( )
4
Œ
3
5
9.6
-2
2
(i0!12! 3*!&.Œ)2 .2&x :
2
2
2

x5 
V=Œ ∫  2 [ 2  G[ Œ ∫ [ 4 G[ Œ [ 
-2 
-2


5  -2

(ii 0!12! 3*!&.Œ)20#0. y=4 :
( )
2
(
)
256
Œ
5
2

8
x5 
V=Œ ∫ [ − G[ Œ ∫ [ [ G[ Œ [ [ 3 
-2
-2
3
5  -2

(iii 0!12! 3*!&.Œ)2 .2&y :
2
V=Œ ∫
4
0
(
)
2
2
2
( \ ) G\ Œ ∫
2
4
0
(
2
4
)
512
Œ
15
4
 y2 
\G[ Œ   Œ
 2 0
(iv 0!12! 3*!&.Œ)20#0. y= -1:
2
2
2

x 5 2  1088
2
V=Œ ∫ ( ) [ 2 +  G[ Œ ∫ [ 4 [ 2 G[ Œ  [ [ 3 
Œ
-2 
-2


5 3  -2 15

(v 0!12! 3*!&.Œ)20#0. x=2
(
2
(
)
)
(
V=2Œ ∫ [ [ G[ Œ ∫
2
-2
9.7 y=
2
2
-2
)
2

2x 3
x 4  128
[ [[ G[ Œ [
[ 2 
Œ
3
4  -2 3

(
2
3
)
1
, x=1, x=0. +*!&.Œ)20#0.[ x3
2
1
-1
2
V=2Œ ∫ ( [) \G[ Œ ∫ ( [)
2 1
1
1 
 1 1 
G[ Œ ∫  2 3  G[ Œ  2 
3
1
x
x x 
 x 2x 1
9.8 V=Œ ∫ (\ ) G[ Œ ∫ ([
2
2
2
1
1
1
2
0
1
0
1
1
3
)
G[ Œ ∫
1
0
1
7
Œ
4
 x4 x7 
9
[ [ G[ Œ  [ 
Œ
 2 7  0 14
(
3
6
)
6
9.9 (i) y=
1 2
x +2
3
3
2
L= ∫
0
(
)
32
1+ ( y′ ) dx= ∫
3
0
⇒ y′=x x 2 +2
1+x
2
2
2
0
(ii) 9x 2 =4y3 ⇒ 18xx ′=12y 2 ⇒ x ′=
3
0
3
 x3 
1+x dx=  x+  =12
3 0

( x +2 )dx= ∫ (1+x ) dx= ∫ (
3
2
2
)
2y 2
4y 4 4y 4
2
⇒ ( x ′ ) = 2 = 3 =y
3x
9x
4y
3
14
3 2
2
L= ∫
1+ydy=  (1+y )  =
0
0
3
0 3
3
x
1
1
(iii) y= +
⇒ y′=x 2 - 2
3 4x
4x
L= ∫
3
1+ ( x ′ ) dy= ∫
3
3
1+ ( y′ ) dx= ∫
3
1
=∫
2
2
1
2
3
3
1 
1
1
1
1

1+  x 2 - 2  dx= ∫ 1+x 4 - +
dx= ∫ x 4 + +
dx
4
1
1
2 16x
2 16x 4
4x 

3
2
3 2
 x 3 1  53
1 
 2 1 
x
+
dx=
x
+
dx=


∫1  4x 2   3 - 4x  = 6
4x 2 

1
3
1
(iv) ( y+1) =4x 3 ⇒ 2 ( y+1) y′=12x 2 ⇒ y′=
2
1
⇒ L= ∫
1
0
)
 2 (1+9x )3 2  2 10 10 − 1
1+9xdx= 
 =
9
27
 3
 0
9.10 (i) y= x ⇒ y′=
1
2 x
S=2Œ ∫ \ ( \′ ) G[ Œ ∫
4
(
6x 2
36x 4 36x 2
2
⇒ ( y′ ) =
=
=9x
y+1
( y+1)2 4x 3
2
1
4
1
[ 4
1
12
G[ Œ ∫ ([ ) G[
1
4x
4
 2 (1+4x )3 2 
17 17-5 5
=Œ 
 Œ
4
6
 3
1
x3 1
1
(ii) y= +
⇒ y′=x 2 - 2
3 4x
4x
2
 x3 1 
1 

S= ∫  +  1+  x 2 - 2  dx
1
4x 

 3 4x 
3
3
2 x
2 x
1 
1
1  4 1
1
4 1
=2Œ ∫   [ G[
Œ
G[

 [ ∫
4
1
1
2 16x
2 16x 4
 3 4x 
 3 4x 
2
2
3
3
2 x
2 x
1  
1 
1 
1 
=2Œ ∫    [ 2 2  G[ Œ ∫    [ 2 2  G[
1
1
4x 
4x 
 3 4x  
 3 4x  
5
2 x
1
1 
515
=2Œ ∫  [
G[ ..=
Œ

3
1
64
 3 3 16x 
7
9.10 (iii) y=x 3 ⇒ y′=3x 2
S=2Œ ∫ [ 3 [ 4 G[
1
0
=
1 1
Œ ∫ [ 3
18 0
Œ
145 145-10 10
27
(
(iv) y= 2x-x 2 ⇒ y′=
S=2Œ ∫
12
=2Œ ∫
[[
1
12
2
2-2x
2x-x 2
1-x
=
2x-x 2
2
 1-x 
1
1+x 2 -2x

G[ Œ ∫
[[ 2 G[

12
2
2x-x 2
 2x-x 
2x-x 2 +1+x 2 -2x
dx =2Œ ∫ G[ Œ [[ ]1 2 Œ
1
0
1
12
2x-x 2
2
3
S=2Œ ∫ ([ )
2



1
)
1
2
9.11 (i) y= x 3 2 - x1 2 ⇒ y′=x1 2 9
)
32
2
[[
1
(
4

1  2 1+9x
4
[ G[
Œ
18 
3

1
4x1 2
2
9
1 
1 1

 [1 2 1 2  G[ Œ ∫ ([ ) [ G[
0
2 16x
4x 

2
9
9
1
1
1 
1 


=2Œ ∫ ([ )
[
G[ Œ ∫ ([ )  [1 2 1 2  G[ Œ ∫ ([ )  [1 2 1 2  G[
0
0
0
2
16x
4x 
4x 


9  35
9
738

=2Œ ∫  [1 2 1 2 [ 3 2  G[
Œ
0
5
4x
 4

9
9.12 y 2 =4x ⇒ y=2 x ⇒ y′=
1
x
OA = 12 +22 = 5
(
p 1 1+ 1 dx=...= 2+ln 1+ 2
OA=
∫0 x
ñ!. "2) #02)!. #:
)
(
5+ 2+ln 1+ 2
)
9.13 (i) y=cosh2x, y=sinh2x, x=0, x=5
(
)
V=Œ ∫ FRVK 2 [VLQK 2 [ G[ Œ ∫ G[ Œ
5
0
5
0
(ii) y=sechx, y=0, x=0, x=ln2
V=Œ ∫ VHFK 2 [G[ Œ [ WDQK[ ]0
ln2
ln 2
0
(iii) y=e x . y=0, x=0, x=2
2
1 
V=Œ ∫ H G[ Œ  H 2x 
0
 2 0
2 2x
ŒWDQK (OQ ) Œ
Π4
H 2
(
)
eln2 -e-ln2
eln2 +e-ln2
3Œ
5
8
1
, y=0, x=1, x=b
1+x 4
b
b
x
Œ

-1 2 b

V=2Œ ∫ [\G[ Œ ∫
G[
Œ
WDQ
[  Œ  WDQ -1E 

1
1 1+x 4
1
4

Œ   Œ Œ  Œ2

lim V= lim Œ  WDQ -1E  Œ  − 
b →∞
b →∞ 
4 2 4 4
9.14 y=
9.16 y=
2
2cosec2x
=
cos2x-sin2x cot2x-1
5, -/.
0 /1 2
3541/2 4cosec 2 2x
2 
 2
2
 2 
I[ ] G[ Œ ∫
G[
Œ
Œ
[

2


4 6
4 6 (cot2x-1)
 cot2x-1  46
 - 3-1 0-1 
V=Œ ∫
5
 2

=Œ 

 - 3-1 